数学模型课程设计 减肥模型.doc

课 程 设 计 报 告 书 专 用 纸1 引言随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条，因而减肥并不是口头话题，更有人花很多时间和金钱去实施减肥。这也造成了各种减肥药、减肥器械和治疗方法的巨大市场。各种假药或对身体有害的药品，夸大疗效的虚假广告等等也就应应运而生理念，对老百姓造成了不必要的伤害 。所以，如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。2 模型的提出2.1 背景知识根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知： (1) 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。(2)人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。(3)人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。(4)一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。(5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。2.2 模型分析通常,当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，一部分用于代谢和运动消耗，若有剩余则转化为脂肪存储起来，导致体重的增加。如果要想体重减少，必须使吸收的热量小于消耗的热量，从而使机体代谢存储的脂肪。这可以通过减少摄入和增加消耗来实现，即减少进食量，增加运动量。但每天的进食不仅提供能量，还提供人体必需的营养物质，所以进食量不能过少。这里，以天为单位，来计算人体的代谢变化，选用离散事件模型差分方程来讨论。2.3 模型假设1. 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式,而且也是减肥的主要目标.对于一个成年人来说体重主要有三部分组成:骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，不妨以人体脂肪的重量的变化作为体重变化的标志。已知脂肪的能量转化率为100%，每千克脂肪可以转换为能量，记，作为脂肪的能量转化系数。2. 人的体重仅仅看成是时间t的函数w(t),而与其他因素无关，这意味着在研究减肥过程中忽略了个体差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。3. 体重是随时间连续变化的，即w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。4. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。5. 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作为所消耗的能量正比于人的体重，即为1kg体重每天消耗的能量。6. 为了安全与健康，每天热量摄入不能低于5000KJ至7500KJ.3 模型的建立记第k天末体重为w(t),第k周吸收热量为才，热量转化系数为D，代谢消耗系数（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为若增加运动，只需将改为，由运动的时间和形式而定。当时，体重增加，时，可维持体重。4 模型应用4.1 减肥计划的提出某女身高1.60m，体重55kg，在每天摄入能量c=5300kJ 不运动情况下，保持体重不变。试为她制定减肥计划，使其体重减至48kg，并维持下去.减肥可分为两个阶段，减肥阶段和减肥巩固阶段。减肥阶段2个月，体重减至48公斤后，进入第二阶段，此时只需保持摄入量与消耗量基本平衡，就能维持体重。4.2 减肥计划的制定减肥的基本原则就是减少摄入c，增加消耗（其中对于某个个体来说，近似看成是不变的，因而只有增加，即增大运动量。设减肥开始时，k=0，即w(0)=55kg.1) 首先应确定其基础代谢消耗系数，根据她每天摄入c=6500kJ 而体重保持w=55kg不变，由(1)得2) 60天减肥期，假设每天减少相等体重b在保持健康条件下,假定一天摄入量正好维持基础代谢，即有仅仅靠运动来减少重量,则模型化简为如要达到减肥计划,即每天平均减少体重有此时=71.5KJ/kg=17 kcal/kg.经过查资料得到以下各项运动不同时间每公斤体重消耗的热量(单位：kcal/kJ):运动方式时间(分钟)306090120慢走1.432.864.925.72快走2.294.596.879.14滑冰2.515.017.5310.04游泳5.1010.2015.320.4篮球2.955.908.8511.80慢跑3.456.9010.3513.80中速跑5.0010.0015.0020.00乒乓球2.004.006.008.00羽毛球2.254.506.759.00自行车2.144.286.428.56要达到=17kcal/kg,这相当于慢跑2个多小时,或游泳1.5个多小时，且运动量随着时间的延长也要相应增加。3) 在运动时间有限的情况下，则可通过附加节食来达到同样的效果。假设日运动量系数最多为 ，如慢跑半小时，慢走2小时(或自行车1小时)。则相应需减少摄入c:经计算得，c在60天的减肥期，需从4868kJ逐渐减少为3764kJ,这显然已经低于日最低摄入量，长期如此，会对身体造成危害。若运动量维持，摄入维持最低需求c=5000kJ,则减肥第一阶段将会增加至75天。要想达到60天减48kg的目标，经计算运动量系数需达，此时可每天适当增加运动量，如延长跑步30分钟。饮食，既要保证摄入足够的营养，又要避免摄入过多热量。通过查找相关资料，得知日常生活中常见食物的热量系数如下(单位：千卡/100g)米饭117西红柿19猪肉169苹果42小米粥46胡萝卜15牛肉（里脊）90鸭梨39面条109莴笋12肉鸡280桃44燕麦片367大白菜14牛奶54西瓜19玉米106菠菜23鸡蛋119枣118馒头208冬瓜11鲫鱼44香蕉54酸奶105芹菜20对虾53草莓30可通过适当的搭配来达到营养需求。饮食搭配举例:早餐:250g牛奶,一个馒头(约60g),一个鸡蛋(约50g),摄入能量午餐:米饭150g,牛肉100g,大白菜100g,芹菜100g,猪肉50g, 晚餐：小米粥200g，苹果1