证明(三)经典讲义.doc

证明（三）直角三角形钝角三角形三条边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形（正三角形）主要知识点：一、三角形 按角分三角形 按边分二、四边形1. 知识结构如下图（1）弄清定义及四边形之间关系图1：两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形只有一组对边平行一个角是直角一组邻边相等两腰相等有一个角是直角等腰梯形直角梯形一个角是直角一组邻边相等（2）四边形之间关系图2：平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形四边形2、几种特殊的四边形的性质和判定：特殊四边形性 质判 定边角对角线边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等1、有一个角是直角的平行四边形是矩形2、三个角是直角的四边形是矩形3、对角线相等的平行四边形是矩形菱形四边相等对角相等邻角互补对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、有一组邻边相等的矩形是正方形。3、有一个角是直角的菱形是正方形。4、对角线相等的菱形是正方形。5、对角线互相垂直的矩形是正方形。等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两个底角相等对角线相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形。2、在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形3、一些定理和推论：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。推论：夹在两平行线间的平行线段相等。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4、一些思想方法：方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。解证明题的基本方法：从已知条件出发探索解题途径的综合法；从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析综合法）。转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。5、注意：四边形中基本图形梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。典型例题分析例1. 已知：如图，在ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G (1) 求证：ADECBF； (2) 若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论例题2.已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC，PFBC，E、F分别为垂足，求证：AP=EF.例题3.如图：已知在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,点E是BO的中点，DGCE于点G，EFODACBG交OC于点F. 如果正方形ABCD边长为10.求EF的长.例4.如图，菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且B=EAF=60，若BAE=20，求CEF的度数ABCDEO例5. 如图所示，在 中，对角线、交于点，平分的外角，且；求证：ABCEPGD例6.如图所示,为的边的垂直平分线上一点,且的延长线分别交、于点、,；求证：ABCDEFG例7. 如图所示，在正方形中，点在上，点在上，于点；求证：例8.如图，在梯形ABCD中，ADBC， BAD=90，AD+AB=14，（ABAD） BD=10， BD =DC，E、F分别是BC、CD上的点，且CE+CF = 4. (1) 求BC的长； (2) 设EC的长为x，四边形AEFD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD的面积等于40，试求EC的长 .AFEBDC训练题一：一、 填空题1如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB=AE=4，BC=2，则BEC是 度.ABCDPOEFABCDOABCDABCED第2题图第1题图第3题图第5题图2如图，P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点，且PEDB，垂足为E，PFCA，垂足为F，则PE+PF的长是 .3如图，等腰梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，对角线ACBD于O，DC=3，AB=8cm，则梯形的高= cm .第5题图4如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，且AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线的长等于_ cm .5如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为_ .6等腰三角形的两边长为6、8, 则这个等腰三角形的周长为_.7梯形上、下底的比是a : b（ab）,它的中位线长为m,中位线与对角线交于M、N两点,则MN的长为 _.8已知 在ABC中，m为BC边上的中线的长，AB=8，AC=6，那么m的取值范围是_.9等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和17两部分，那么此三角形的底边长是_二、选择题(前四题为单选,其余为多选)1. 如图，O为ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F若BFDE，则图中的全等三角形最多有（ ）A. 2对B. 3对C. 5对D. 6对2. 已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，B45，C120，AB8，则CD的长为 （ ）A. B. C. D. 3. 直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，E是CD中点，且AB=AD+BC，则ABE是 （ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形4. 在ABCD中，AB6，AD8，B是锐角，将ACD沿对角线AC折叠，点D落在ABC所在平面内的点E处若AE过BC的中点，则ABCD的面积等于 （ ） A. 48B. C. D. 5下列各组长度的线段中，可以组成三角形的是（ ）C A6 , 2 , 7 B6 , 2 , 8 C5 , 6 , 7D6 , 2 , 10BAEC6.如图，把直角三角形纸片，沿过顶点B的直线BE折叠，直角顶点C落在AB上。如果EBA是等腰三角形，那么下列结论正确的是（ ）A B.点C与AB中点重合 C. 点E到AB的距离等于CE的长 D.AB=AE7.下列命题中，正确的是（ ）A.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半B.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合C.两个成轴对称的图形一定全等D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形M8.如图，点C是内一点，且CA=CB.下面说法正确的是（ ）OACBNA.点C在的角平分线上B.点C在线段AB的垂直平分线上C.OC是AB的垂直平分线D.OC是MON的角平分线9.如图：已知在中,AB=AC,直角的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）,下列结论始终正确的是（ ）AFEPBCA.AE=CFB.是等腰三角形 C.S=D.EF=AP三、证明题1如图：在梯形ABCD中，AB/CD，中位线EF=7,CEBFAHD对角线ACBD,=30,求梯形的高AH.2如图：已知在平行四边形ABCD中,于点E,BE:EC=1:3,点F、G、H分别是AB、AE、CD的中点,EF=5,GH=21 求（1）AD的长 （2）梯形AECD的面积DAEFBCGH 3. 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点M为CD上一动点（与点C不重合），将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.（1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形）；（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）是否存在点M的位置使BEM=900，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.ABCDEFM 训练题二1如图1，已知BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_(填上一个即可)。2.如图2：四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，点E在正方形外部，那么AED=_度。3如图3：在RtABC中，=90，BD平分ABC交AC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1，则AC=_.ADCBFEDCBEAFEBDACEADBC4.如图4：在ABC中，有一正方形DECF，如果AD=29，DB=19，那么S+S=_. (图1) (图2) (图3) (图4)5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 矩形6. 已知菱形的边长为6，一个内角为60，则菱形较短的对角线是 （ ）A. B. C. 3 D. 6FEOABCD5 已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，且OE=OF. 求证：AEBF.6如图：已知正方形ABCD的边长为5，E是BC上一点，BE : EC=2 : 3,M、N分别在CD、AB上，以M、N为折痕，使点A与AC上的点E重合.求（1）BN的长（2）SCEMBADN单元评估试卷1下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是 （ ）。A一组邻角互补，一组对角相等。 B一组对边平行，一组邻角相等。C一组对边相等，一组对角相等。 D一组对边相等，一组邻角相等。2顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 （ ）。A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形3下列说法错误的是 （ ）。A有一组对边平行但不相等的四边形是梯形。B有一个角是直角的梯形是直角梯形。C等腰梯形的两底角相等。 D直角梯形的两条对角线不相等。4如图1把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D、C的位置。若EFB =65，则AED等于 （ ）。50 55 60 655 ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是 （ ）。ABAD=90，AB=AD BBAD=90，ACBDCACBD，AC=BD DAB=AC，BAD=BCD6.如图2，ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为 （ ）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.67.给出下列命题:四条边相等的四边形是正方形；两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4 如图2 如图38、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ） A 2 对 B 3对 C 4对 D 5 对9、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ） A .内角和是360； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直.10、如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF的值为 （ ）A.B.C.2D.二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）11在ABCD中，已知ABC=60，则BCD=_。12.任意四边形的四边中点依次相连构成的四边形是_ 矩形四边中点依次相连构成的四边形是_ 菱形四边中点依次相连构成的四边形_ 对角线互相垂直的四边形四边中点依次相连构成的四边形_-13已知ABC中，AB=12，BC=10，AC=8，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则DEF的周长为_cm。14菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为6和10，则菱形的面积是_2。BACD图415如图2，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果AOD=60，那么AD=_。 16已知正方形ABCD的对角线长为9,则正方形ABCD的面积为_2。17菱形ABCD中，若周长是20，对角线AC=6，则对角线BD=_。18如图3，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，则下面的结论：AO=CO；ABCD；ACBD；ABBC。其中正确的结论有：_。19、如图4，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件_，就可以判定它是一个菱形三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）20、求以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长。21、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，求BEF的面积。22、矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，AOB的周长比BOC的周长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？23、若等腰梯形两底的差等于一腰的长，求最小的内角是。24、如图8，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AOD=60，AB=，AEBD于点E，求OE的长？四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分）25、如图9，点D是ABC中 BC边上的中点，DFAC，DEAB，垂足分别为E、F，且BE=CF。 （1）求证：ABC是等腰三角形；（2）当A=90时，试判断四边形AEDF是怎样的四边形，证明你的结论。26、如图10，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H。（1）求证：BCGDCE；BHDE。（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由。综合题1.如图四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F.(1) 在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2) 求证：AE=FC+EF.2. 如图在正方形ABCD中，PBC、QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM3.如图在梯形中，过对角线的中点作，分别交边于点，连接（1）求证：四边形是菱形；（2），若，OF：AO=2：5求四边形的面