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数学分析上册教案 第三章 函数极限 武汉科技学院理学院2函数极限的性质教学章节：第三章 函数极限2函数极限的性质教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：引言在1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、；2、；3、；4、;5、；6、.它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质性质1（唯一性） 如果存在，则必定唯一.证法一 设，,则当时， , (1)当时， . (2)取 ，则当时（1）和（2）同时成立.因而有 , (3)由的任意性，（3）式只有当时，即时才成立.证法二 反证,如，且，取，则，使当时，,即矛盾.性质2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界.证明 取, 由 , , 当时, 有,即 ，说明在上有界，就是一个界.性质3（保序性） 设，.1）若，则，当时有；2）若，当时有，则.（保不等式性）证明 1） 取即得.2）反证，由1）即得.注 若在2）的条件中, 改“”为“”, 未必就有 以 举例说明.推论（局部保号性） 如果且，则使当时与同号.性质4（迫敛性）设，且在某内有，则.证明 , 由，使得当时，有，即 . 又由，使得当时 ，有，即. 令，则当时，有即 ，故 .性质6（四则运算法则） 若和都存在，则函数当时极限也存在，且 1）；2）. 又若，则当时极限也存在，且有 3）.3）的证明只要证，令，由，使得当时，有， 即 . , 仍然由，, 使得当时，有. 取，则当时，有即 .二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1求.例2求.例3 求.例4 注 关于的有理分式当时的极限. 参阅4P37.例5 利用公式.例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 参阅4P69.作业 教材P5152 1 -7，8(1)(
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