第一章 函数、极限与连续.doc

第一章 函数、极限与连续1.1、函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解一、函数概念1、定义设有变量和数集，若对任一，按一定法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的（单值）函数，记为。以上定义的仅仅是单值函数，即：“每个”。例如在表达式及中，均非的函数。函数完全同定义域和函数关系这两要素确定。例如对于下列两对函数前一对函数不相同，而后一对相同。2、分段函数例1、 例2、设，求的定义域及，并做的图形。解：，注：分段函数是一个而不是几个函数。二、函数的几种性质1、有界性有界性有下列两种等价定义：定义1：若有，使，则称在上有界。定义2：若有、，使,则称在上有界，和分别称为在上的一个下界和上界。例如，。2、单调性定义：设、为区间上任两点，若当时，有，则称在区间上单调增加（减少）。注：这里定义的是严格单调性。3、奇偶性定义：对任一，若，则称为奇（偶）函数。例3、判断的奇偶性。解：非奇非偶（定义域不对称）。 奇函数 奇（偶）函数的图形关于原点（轴）对称。 按奇偶性分类，函数可分为4、周期性定义：若有，使，则称为周期函数，称为周期，通常指最小正周期。三、反函数定义：对，给定，若总有唯一的与之对应，则也是的函数，称为的反函数，记为或， 单调函数必有反函数，且其反函数也单调。 函数与其反函数的图形关于对称。 1.2、初等函数一、基本初等函数1、 幂函数 2、 指数函数 3、 对数函数 4、 三角函数5、 反三角函数注：等不是初等函数。二、复合函数与初等函数1、若的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，且（全部或部分），则通过中间变量，也是的函数，称为复合函数，记为。例如，可复合成，而不能复合。2、由基本初等函数和常数经有限次四则运算和有限次复合而成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。一般地，分段函数不是初等函数。（是）三、双曲函数与反双曲函数双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 反双曲正弦 反双曲余弦 反双曲正切 例4、判断的奇偶性，并作的图形。解：，即为奇函数。1.3、数列的极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解预备知识 点的邻域 点的去心邻域 取整函数不超过的最大整数。例如，一、数列极限的定义1、引例：考察数列时的极限。任给正数（无论它多么小），总可找到一个正整数，使得从第项起以后的所有项，均满足，即，此时可取。例如，2、定义：若对任意给定的正数，总存在正整数，使得对满足的所有，不等式均成立，则称为数列的极限或称数列收敛于，记为或，否则称数列无极限或发散。简记为：“” 关键点：的存在性。出发点：不等式3、定义的几何解释记，则定义可表述为“”即“邻域外最多只有个点”例1、证明证：第一步：由确定。第二步：完整地写出定义的四句话。对任意，只要取，则当时，就有成立，故例2、证明证：对任意，存在，当时，故二、收敛数列的性质定理1：收敛数列的极限是唯一的。证：设根据极限定义，对任意，存在，当时，即，取，则其变为，显然若取，则当时，上述两不等式同时成立，矛盾，故得证。定理2：收敛的数列有界，即收敛有界。证：设，由极限定义对任意，存在，当时，从而令，则对任意，均有，即数列有界。注：有界的数列不一定收敛，即有界收敛，例如。定义：在数列中任意抽取无限多项并保持其先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列。例如数列有两个子数列和。定理3、数列收敛于数列的任一子数列均收敛于。推论：若数列的两个子数列收敛于不同的极限，则数列发散。例如，对，故数列发散。1.4、函数的极限一、（有限值）时的极限1、引例：考察当时的极限。如图，当时，事实上，当任意小时，也任意地小。2、（）定义：设在的某一去心邻域内有定义，若对任意，存在，当时，不等式，则称为当时的极限，记为或。注：当时，有无极限、极限为何值与在处有无定义、定义值为何值无关。例1、证明证：第一步：由推出（求）第二步：写出定义中的四句话。对任意，只要取，则当时，就有 故例2、证明证：对任意，只要取，则当时，就有 故3、函数极限的二条性质定理1、（局部保号性）若，且，则存在的某一去心邻域，在其内。定理2、（极限保号性）若在的某一去心邻域内，且，则。4、左右极限定义：若当从左边趋于时，则称为当时的左极限，记为或，同理可定义右极限、。定理：当时的极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，即 推论：若左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等，则极限不存在。例3、求解：，故极限不存在。二、（无限值）时的极限定义：对任意，存在，当时，有，则。例4、证明：；证：对任意，存在，当时，有，故。 对任意，存在，当时，有，故。例5、求解：，故不存在。1.5、无穷小与无穷大教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量以及有量之间的关系，掌握它们的性质教学重点：无穷小量和无穷大量的概念教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质一、无穷小1、定义：若在某极限过程中，一数列或函数的极限为零，则称此数列或函数在该极限过程中为无穷小。例如，均为无穷小。注：无穷小绝不是很小的数。2、无穷小与极限的关系定理1：为一个无穷小。证：，即的极限为零，从而其为无穷小。二、无穷大1、定义：若当时，无限增大，则称当时为无穷大，习惯上称其“极限为无穷大”，记为 类似地可定义注：无穷大“”不是很大的数，仅仅是一个符号。2、无穷大与无穷小的关系定理2、若，则在同一极限过程中。1.6、极限运算法则教学目的：掌握极限的性质及运算法则教学重点：掌握不同类型的未定式的不同解法教学难点：计算一、无穷小的性质1、 有限个无穷小的和仍为无穷小。2、 有限个无穷小的积仍为无穷小。3、 常数与无穷小的积仍为无穷小。4、 有界函数与无穷小的积仍为无穷小。（重要）二、极限的四则运算法则定理：若，则 推论：注：只有极限存在时，上述运算法则才成立。 上述法则可推广到有限项，但对无限项不成立。例1、求 （重要）误解：解：，即例2、求解： ，即例3、求误解：原式解：原式 运算法则对无限项不成立。 无限个无穷小的和不一定仍为无穷小。三、两类简单极限1、例如，2、例如，例4、求极限 （重要结果）1.7、极限存在准则与两个重要极限教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法教学重点：利用两个重要极限求极限教学难点：利用第二重要极限求极限的方法1、准则（夹逼性）定理1：若例1、证明：证：即而，故2、第一个重要极限证：如图，即得，而，由夹逼性注：此极限应理解为3、准则定理2：单调有界数列必有极限或的数列必有极限。例2、求数列的极限。解：令则，得，即单增。又则，得。由准则，有极限，不妨令为，从而可在两边取极限，得，即4、第二个重要极限注：此极限的一般形式为例3、求极限（注意格式） 解：原式原式原式1.8、无穷小的比较一、定义设、为无穷小如，则称是比高阶的无穷小，记为。如，则称是比低阶的无穷小。如，则称与是同阶无穷小。特别地，时，称与是等价无穷小，记为。二、等价无穷小代换法则（重要）定理：若证：即在极限的计算过程中，若某无穷小与其余部分为乘或除的关系，则可用其等价无穷小代换。注：和、差中的无穷小不可代换。三、常用的几个等价无穷小代换注：下面的应理解为某个无穷小。1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 例如，例1、求极限 1.9、函数的连续性与间断点教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类一、函数的连续性1、增量的自变量从变到，相应地由变到，称、为在处的自变量增量、函数增量。2、函数连续性的定义设在的某邻域内有定义定义1：若当。因，故有定义2：若，。例1、 证明在内连续。证：任取，则由夹逼性知，即在内连续。3、左、右连续定义：若，则称在处左（右）连续。定理：在处连续在处既左连续又右连续。注：在开区间内、闭区间上的连续性见P77二、函数的间断点据此可将间断点分类如下：第一类间断点（左、右极限都存在）第二类间断点（左、右极限至少有一个不存在）例2、下列点是否为间断点，为何种间断点？ 解：故为第一类跳跃间断点。，故为第一类可去间断点。，故为可去间断点。注：对可通过重新定义，对可通过补充定义，使成为新函数的连续点。（可去的含义）故为第二类无穷间断点。，故为第二类振荡间断点。1.10、连续函数的运算及初等函数的连续性教学目的：了解初等函数的连续性，并会应用这些性质 教学重点：初等函数的连续性教学难点：初等函数的连续性定理1：若、。定理2：由连续函数复合而成的复合函数也连续。定理3：基本初等函数在其定义域内均连续；初等函数在其定义区间内连续。推论：若为初等函数，为其定义区间内一点，则例2、求极限 例3、设，为何值时，内连续。解：显然内连续。又要，即故，从而在内连续。例4、讨论下列函数的连续性，如有断点，指明类型。 解：。时，故处跳跃间断，在其它点处连续。从而时连续，在处跳跃间断。1.11、闭区间上连续函数的性质教学目的：了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：闭区间上连续函数的性质及其应用教学难点：闭区间上连续函数的性质及其应用定理1（最值定理）：闭区间上的连续函数一定有最大值、最小值，即若，则有、。定理2（有界性定理）：闭区间上的连续函数一定有界。定理3（零点定理