抛物线的简单几何性质pppt课件.pptVIP

2 3 2抛物线的几何性质 07 01 05 1 前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质 它们都是通过标准方程的形式研究的 现在请大家想想抛物线的标准方程 图形 焦点及准线是什么 一 复习回顾 2 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 3 练习 填空 顶点在原点 焦点在坐标轴上 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 4 一 抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 1 范围 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 5 2 对称性 6 定义 抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点 由y2 2px p 0 当y 0时 x 0 因此抛物线的顶点就是坐标原点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 顶点 7 4 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由抛物线的定义 可知e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 8 5 开口方向 抛物线y2 2px p 0 的开口方向向右 X x轴正半轴 向右 X x轴负半轴 向左 y y轴正半轴 向上 y y轴负半轴 向下 9 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 10 二 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 11 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 并用描点法画出图形 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 三 例题讲解 12 作图 1 列表 在第一象限内列表 2 描点 3 连线 13 变式题 求并顶点在坐标原点 对称轴为坐标轴 并且经过点M 抛物线的标准方程 三 例题讲解 14 三 例题讲解 练习 顶点在坐标原点 焦点在y轴上 并且经过点M 4 的抛物线的标准方程为 15 三 例题讲解 练习2 顶点在坐标原点 对称轴是X轴 点M 5 到焦点距离为6 则抛物线的标准方程为 16 变式题2 已抛物线C的顶点在坐标原点 焦点F在X轴的正半轴上 若抛物线上一动点P到A 2 1 3 F两点的距离之和最小值为4 求抛物线的标准方程 三 例题讲解 17 课本例4P61 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 三 例题讲解 课本例题推广 直线l经过抛物线y2 2px的焦点 且与抛物线相交于A B两点 则线段AB的长 AB x1 x2 P 18 练习3 已知过抛物线y2 9x的焦点的弦长为12 则弦所在直线的倾斜角是 三 例题讲解 19 练习4 若直线l经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于A B两点 且线段AB的中点的横坐标为2 求线段AB的长 三 例题讲解 20 课本例5P62 已知抛物线的方程为y2 4x 直线l经过点P 2 1 斜率为k 当k为何值时 直线与抛物线 只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 三 例题讲解 21 变式题3 已知直线y a 1 x与曲线y2 ax恰有一个公共点 求实数a的值 三 例题讲解 22 练习5 已知直线y kx 2与抛物线y2 8x恰有一个公共点 则实数k的值为 三 例题讲解 23 例4 已知过点Q 4 1 作抛物线y2 8x的弦AB 恰被Q平分 求弦AB所在的直线方程 三 例题讲解 练习6 求以Q 1 1 为中点的抛物线y2 8x的弦AB所在的直线方程 24 三 例题讲解 变式题4 求过点P 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线方程 25 三 例题讲解 例5 求抛物线y2 64x上的点到直线4x 3y 46 0的距离的最小值 并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标 26 三 例题讲解 练习7 抛物线y x2上的点到直线4x 3y 8 0的距离的最小值是 27 三 例题讲解 练习8 抛物线y2 x和圆 x 3 2 y2 1上最近的两点之间的距离是 28 三 例题讲解 例6 已知抛物线y 2x2上两点A x1 y1 B x2 y2 关于直线y x m对称 若x1x2 1 2 则m的值为 29 三 例题讲解 变式题6 已知直线y x b与抛物线x2 2y交于A B两点 且OA OB O为坐标原点 求b的值 30 三 例题讲解 例7 习题2 3B组2P64 正三角形的一个顶点位于原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个三角形的边长 分析 观察图 正三角形及抛物线都是轴对称图形 如果能证明x轴是它们的公共的对称轴 则容易求出三角形的边长 31 32 33 三 例题讲解 变式题7 复习参考题A组7P68 正三角形的一个顶点位于抛物线y2 2px p 0 焦点 另外两个顶点在抛物线上 求这个三角形的边长 分析 观察图 正三角形及抛物线都是轴对称图形 如果能证明x轴是它们的公共的对称轴 则容易求出三角形的边长 34 课堂练习 求适合下列条件的抛物线的方程 1 顶点在原点 焦点F为 0 5 2 顶点在原点 关于x轴对称 并且经过点M 5 4 35 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程及焦点的位置 F y x O 解 如图所示 在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系 使反光镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 A B 设抛物线的标准方程是 由已知条件可得点A的坐标是 40 30 代入方程可得 所求的标准方程为焦点坐标为 36 补充 1 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 37 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y