2019_2020学年高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差（第1课时）离散型随机变量的均值学案北师大版.docx

第1课时离散型随机变量的均值学 习 目 标核 心 素 养1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值(重点)2会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题(难点)通过对离散型随机变量均值的学习，培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.1离散型随机变量的均值(1)设随机变量X的分布列为P(Xai)pi(i1,2，r)，则X的均值为a1p1a2p2arpr.(2)随机变量的均值EX刻画的是X取值的“中心位置”2均值的性质(1)若X为常数C，则EXC.(2)若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且EYE(aXb)aEXb.(3)常见的离散型随机变量的均值分布名称参数均值超几何分布N，M，nn二项分布n，pnp思考：两点分布与二项分布有什么关系？提示(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生(2)不同点：随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1, 二项分布中随机变量的取值X0,1,2，n. 试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验1设随机变量XB(40，p)，且EX16，则p等于()A0.1B0.2C0.3D0.4DEX16，40p16，p0.4.故选D.2已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望EX_.EX123.3若随机变量X服从二项分布B，则EX的值为_EXnp4.4设EX10，则E(3X5)_.35E(3X5)3EX5310535.离散型随机变量均值的性质【例1】已知随机变量X的分布列为：X21012Pm若Y2X，则EY_.由随机变量分布列的性质，得m1, 解得m，EX(2)(1)012.由Y2X，得EY2EX，即EY2.母题探究1本例条件不变，若Y2X3, 求EY.解由公式E(aXb)aEXb及EX得，EYE(2X3)2EX323.母题探究2本例条件不变，若aX3, 且E，求a的值解EE(aX3)aEX3a3，a15.1该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EXx1p1x2p2xnpn求解2对于aXb型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aXb)aEXb；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便求离散型随机变量的均值【例2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X, 乙击中目标的次数为Y，(1)求X的概率分布列；(2)求X和Y的均值解(1)已知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)C .则P(X0)C；P(X1)C；P(X2)C；P(X3)C.所以X的概率分布列如下表：X0123P(2)由(1)知EX01231.5，或由题意XB，YB，EX31.5，EY32.求离散型随机变量的均值的步骤(1)根据的实际意义，写出的全部取值.(2)求出的每个值的概率.(3)写出的分布列.(4)利用定义求出均值.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识.1在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值解只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).从而知的分布列为01234P所以E01234.离散型随机变量均值的实际应用探究问题1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？提示随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X0)0.3，P(X1)0.7.2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？提示每次平均得分为0.8.3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？提示在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思路探究：解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)EX60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为，EX60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，EX4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论2某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及均值E()解(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”P()(10.4)30.216，P(A)1P()10.2160.784.(2)的可能取值为200元，250元，300元P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.10.10.2，因此的分布列为200250300P0.40.40.2E2000.42500.43000.2240(元)1求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值(2)计算随机变量取每一个值对应的概率(3)写出分布列，求出数学期望2离散型随机变量均值的性质(1)Ecc(c为常数)；(2)E(aXb)aEXb(a，b为常数)；(3)E(aX1bX2)aEX1bEX2(a，b为常数). 1若随机变量XB(5,0.8)，则EX()A0.8 B4C5D3BEXnp50.84.故选B.2设随机变量X的分布列为P(Xk)，k1,2,3,4，则EX的值为()A2.5B3.5 C0.25D2AEX12342.5.3马老师抄录的一个随机变量的概率分布列如下表：123P？！？尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此可得E_. 2设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E1x2(12x)3xx24x3x2.4已知XB，则E(2X3)_