量子力学第七章.ppt

第七章量子力学的矩阵形式与表象变换 7 1坐标表象与动量表象 7 2本征值为分立的力学量表象 7 3表象变换 7 4狄拉克符号 7 1坐标表象与动量表象 一 x表象 1 状态 2 力学量 3 QM公式 i 运动方程 ii 定态方程 iii 正交归一条件 iv 一般解 v 平均值 4 基函数 x表象的基函数是坐标算符的本征函数 二 p表象 1 状态 几率密度 2 力学量 i ii 同理 3 QM公式 i 运动方程 ii 定态方程 若 可分离变量 若 则 iii 正交归一 iv 一般解 4 基函数 p表象的基函数是动量算符的本征函数 v 平均值 例1 在p表象计算一维谐振子的定态能量和波函数 解 求解过程略 例2 在p表象中求解 势阱的束缚定态能量和波函数 计算和 验证测不准关系 解 定态方程 代入原积分方程得 1 波函数 2 力学量 3 基函数 三 表象和表象 四 态矢及其表象 1 状态可看成Hilbert空间中的矢量 2 选定一组基 就是选定一个表象 3 波函数是态矢在基上的投影或分量 五 力学量完全集 1 力学量变量 力学量的测值可作为波函数的变量 2 力学量变量的个数等于自由度数 3 作为波函数变量的力学量必须相互对易 4 力学量完全集 一组线性无关相互对易的力学量 如 5 守恒量完全集与好量子数 包含哈密顿的完全集 称为守恒量完全集 对应的量子数都是好量子数 7 2本征值分立的力学量表象 一 一维运动的Q表象 1 力学量完全集 任一力学量 其中 且 2 基函数 设为Q 3 代表力学量Q的测值为的几率 4 Q表象中态矢用列矩阵表示 i 归一化条件 ii 态矢的内积 iii 本征态的正交归一 比如 坐标算符本征值连续 基函数是 函数 态矢也可写成列矩阵 为方便 直接以 矩阵元 描述状态 iv 的本征值连续 态矢形式上仍可写为列矩阵 5 Q表象中力学量的表示方法 i 力学量算符在Q表象中用方阵F表示 令 则 即 ii Q表象中表示力学量的矩阵是厄密矩阵 b 证明 a 厄密矩阵满足 即 iii 自身表象中力学量为对角矩阵 对角元是本征值 6 运动方程在Q表象中的形式 i 薛定谔方程 若H不显含t ii 定态方程 iii 一般解 若 则 7 力学量的平均值 二 三维运动的 ABC 表象 完全集 基函数 态矢 力学量 公式等与Q表象中完全相同 三 量子力学的两种数学形式 波动力学 矩阵力学 状态 力学量 波函数 列矩阵 方阵 算符 运动方程 平均值 例1 在一维谐振子能量表象中写出坐标x与动量p的矩阵表示 解 重新标记基函数 可见 可见 直接验证可得 例2 测值的所有态 采用表象 与的矩阵 求其本征问题 解 对角元素为零 的本征问题 令 归一化 即时 即时 即时 同理 讨论 1 验证可知 2 的本征值均是 但这并不意味着它们可同时取确定值 例3 Q表象 基 求定态解 解 解久期方程得 分析 其中 讨论 但却有一个共同的本征函数 若 则和有共同本征矢系 ii 若 则和没有共同本征矢系 Q表象中 7 3表象变换 一 平面直角坐标系的变换 将新基在老基下的列矩阵排列起来就是S矩阵 可证 二 表象变换 1 态矢量列矩阵的变换 A表象 老表象 B表象 新表象 其中 2 变换矩阵是幺正矩阵 即 证明 或 新基 于是 3 S矩阵的计算 ii 在老表象中写出所有新基的列矩阵 并按列排列 i 老基 证明 证明 4 力学量方矩阵的变换 5 表象变换不改变的本征值 设在老表象中 新表象中 例 求l 1的表象到表象变换的S矩阵 并将表象中的的本征态矢及矩阵变换到表象 解 在表象中的本征矢 表象 表象 的本征值和本征矢 表象 表象 的本征值和本征矢 表象 表象 的本征值和本征矢 表象 表象 的矩阵 的矩阵 的矩阵 例 若粒子处于具有确定值 取 0和几率均为的态 求的可能取值及其几率 解 在表象中态矢列矩阵 在表象中态矢列矩阵 解法二 的可能取值是 对应的几率 直接在表象内按的本征矢展开 练习 试由上题的条件 求 解 在表象中态矢 7 4狄克拉符号 量子力学 也有不依赖于表象的描述方法 这就是狄拉克符号 利用狄拉克符号可使理论表述和计算大为简化 一 右矢 ket 和左矢 bra 经典力学 牛顿第二定律在不同坐标系中有不同的形式 但也有不依赖坐标的形式 1 右矢表示Hilbert空间的一个矢量 即表示量子态 记为 2 若标志某指定的态 则在括号内标上某种记号 如 i 表示用波函数描述的状态 ii 表示x坐标的本征态 本征值 iii 表示动量的本征态 本征值 iv 或表示能量的本征态 本征值 v 表示的共同本征态 本征值分别为和 4 力学量算符作用在右矢得到另一个右矢 3 7 用右矢或左矢标记的只是一个抽象的态矢量 不涉及具体的表象 5 左矢表示共轭空间的一个抽象矢量 如是的共轭矢量 是的共轭矢量 6 须注意 左矢只能和左矢相加 右矢只能和右矢相加 或没有意义 如 只有在具体的表象中 算符才有具体的运算形式 这里共轭是说左矢与右矢互为相伴 在不同具体表象中表现出不同的数学上的关系 二 内积 3 正交归一性 1 定义 2 与正交 归一化 三 态在具体表象中的表示 1 Q表象中右矢用列矩阵表示 以为基矢 Q表象 3 基矢完备性公式 2 x表象中右矢用波函数表示 以为基矢 x表象 i 投影算符 ii 基矢完备性公式 的完备性 投影算符 的完备性 同理 的完备性 4 Q表象中左矢用行矩阵表示 对任意的右矢和 5 x表象中左矢对应波函数的复数共轭 对任意的右矢和 四 算符在具体表象中的表示 记 则 1 算符在Q表象中用方阵表示 2 算符在x表象中的表示 i 坐标算符在x表象中的表示 x表象中 或写成 设 ii 动量算符在x表象中的表示 点击见详细过程 点击见详细过程 i 动量算符在p表象中的表示 3 算符在p表象中的表示 p表象中 或写成 ii 坐标算符在p表象中的表示 点击见详细过程 点击见详细过程 的计算 点击可跳过此页 的计算 点击可跳过此页 的计算 点击可跳过此页 的计算 点击可跳过此页 例1 给出x表象中基矢的完备性公式 解 本征函数的封闭性 例2 将定态方程过渡到Q表象 x表象与p表象 解 1 Q表象基矢 2 x表象基矢 点击见过程 3 p表象基矢 点击见过程 的计算 点击可跳过此页 的计算 点击可跳过此页 设 则 的计算 点击可跳过此页 例3 若 证明在Q表象中 证法一 证法2 例4 试证 其中是哈密顿算符 是定态 证明 证毕 例5 证明求和规则 其中和是定态能量 证明 请计算对易关系 狄拉克 PaulAdrieMaur