量子力学小结.ppt

量子力学 小结 第一章绪论 小结 第二章波函数和薛定谔方程 小结 第三章量子力学中的力学量 小结 第四章态和力学量的表象 小结 第五章微扰理论 小结 第七章自旋与全同粒子 第一章绪论 小结 1 经典物理的困难黑体辐射 光电效应 原子光谱线系 2 旧量子论普朗克能量子论爱因斯坦对光电效应的解释 光的波粒二象性 光电效应的规律 爱因斯坦公式 光子能量动量关系 玻尔的原子理论量子化条件 定态的假设 频率条件 3 微观粒子的波粒二象性 德布罗意关系 戴维孙 革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系 4 量子力学的建立 物质波 薛定谔方程 非相对论量子力学 相对论量子力学 量子场论 第二章波函数和薛定谔方程 小结 1 量子力学中用波函数描写微观体系的状态 2 波函数统计解释 若粒子的状态用描写 表示在t时刻 空间处体积元内找到粒子的几率 设是归一化的 3 态叠加原理 设是体系的可能状态 那么 这些态的线性叠加 也是体系的一个可能状态 若体系处于态 我们讲体系部分处于态 4 波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出 当势场不显含时 其解是定态解 满足定态薛定谔方程 其中 定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 5 波函数的归一化条件 相对几率分布 波函数存在常数因子不定性 相位因子不定性 6 波函数标准条件 波函数一般应满足三个基本条件 连续性 有限性 单值性 7 几率流密度 与几率密度 满足连续性方程 8 一维无限深方势阱 本征值 本征函数 若 则本征值 本征函数 9 三维无限深方势阱 可以用分离变量法求解得到 本征值 本征函数 10 一维谐振子 本征值 本征函数 11 可以用分离变量法求解得到 在笛卡尔坐标中 三维各向同性谐振子的能级和波函数 12 势垒贯穿 隧道效应 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 称为隧道效应 第三章量子力学中的力学量 小结 1 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示 并且要求该算符的本征函数构成完备系 2 厄米算符A的定义 厄米算符的本征值是实数 厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交 力学量算符的本征函数系满足正交 归一 完备等条件 3 力学量的测量值 在力学量F的本征态中测量F 有确定值 即它的本征值 在非的本征态中测量F 可能值是F的本征值 将用算符F的正交归一的本征函数展开 则在态中测量力学量F得到结果为的几率为 得到结果在范围内的几率为 力学量的平均值是 或 4 连续谱的本征函数可以归一化为函数 5 简并 属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个 这种现象称为简并 简并度 算符的属于本征值的线性无关的本征函数有f个 我们称的第n个本征值是f度简并的 6 动量算符的本征函数 即自由粒子波函数 正交归一性 7 角动量分量本征函数的本征值8 平面转子 设绕轴旋转 哈密顿量能量本征态能量本征值 9 有共同的本征函数 球谐函数 中心力场中 势场 角动量为守恒量 1 10 中心力场中 定态薛定谔方程选为体系的守恒量完全集 其共同的本征函数为11 氢原子 类氢离子12 守恒力学量的定义 若 即力学量的平均值不随时间变化 则称为守恒量 力学量的平均值随时间的变化满足因而力学量为守恒量的条件为 且 13 宇称算符宇称算符的定义 本征值 本征函数 14 对易式定义 15 对易式满足的基本恒等式 Jacobi恒等式 16 一些重要的对易关系 17 若算符对易 即 则和有共同的本征函数系 在和的共同的本征函数表示的态中测量 都有确定值 若算符不对易 即 则必有简记为特别地 第四章态和力学量的表象小结 1 表象是以的本征函数系为基底的表象 在这个表象中 有 算符F对应一个矩阵 方阵 矩阵元是 选定表象后 算符和量子态都用矩阵表示 平均值公式是 归一化条件是 本征值方程是 2 在量子力学中 两个表象之间的变换是幺正变换 满足 态的变换是 算符的变换是 幺正变换不改变算符的本征值 3 量子态可用狄拉克符号右矢或左矢表示 狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论 而且运算简洁 基矢的封闭性 坐标表象狄拉克符号 4 粒子占有数表象以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿 的本征态为基矢的表象 粒子数算符 湮灭算符 产生算符 第五章微扰理论小结 1 定态微扰理论适用范围 求分立能级及所属波函数的修正 适用条件是 一方面要求的本征值和本征函数已知或较易计算 另一方面又要求把 的主要部分尽可能包括进去 使剩下的微扰比较小 以保证微扰计算收敛较快 即 1 非简并情况 其中 能量的一级修正等于态中的平均值 2 简并情况能级的一级修正由久期方程即给出 有个实根 记为 分别把每一个根代入方程 即可求得相应的解 记为 于是得出新的零级波函数2 变分法选择尝试波函数 计算的平均值 它是变分参量的函数 由极值条件定出 求出 它表示基态能量的上限 相应能量为 3 与时间有关的微扰理论 1 由的跃迁几率是 在一级近似下 此公式适用的条件是 对于 2 能量和时间的测不准关系 3 偶极跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则 例题1 设在H0表象中 的矩阵为 试用微扰论求能量的二级修正 解 本题的意义在于 并不知道无微扰算符 微扰和总的 一级近似 哈氏算符的形式 也不知道零阶近似波函数的形式 知道的是在表象中的矩阵 但仅仅根据这矩阵的具体形式 按习惯用代表字母的涵义 可以知道几点 1 能量本征值是分立的 因为用分立矩阵表示 若是连续能量本征值 不能用此表示法 无微扰能量本征值有三个 本征函数 因 2 微扰算符的的矩阵是 根据无简并微扰论 一级能量修正量是 从 2 中看出 对角位置的矩阵元全是零 因此一级修正量 又二级能量公式是 所需的矩阵元已经直接由式 2 表示出 毋需再加计算 因而有 例2 设在H0表象中 用微扰论求能量修正量 到二级近似 严格求解与微扰论计算值比较 解 直接判断法 题给矩阵进行分解 有 从矩阵 3 知道一级修正量 用对角矩阵元 和二级修正量 用非对角矩阵元 仿前一题 直接写出两个能级 正确到二级修正量 严格求解法 这就是根据表象理论 分立表象中 本征方程可以书写成矩阵方程式形式 并可以求得本征值和本征矢 用单列矩阵表示 我们设算符H 1 具有本征矢 本征值是 列矩阵方程式 展开后成两式 又假设本征矢是归一化的 5 式有非平凡解的条件是 7 后一式可展开 8 7 是正确本征值解 共有二个 以符号来区别 8 的级数展开式可分写为 中断在第三项的时侯便是二阶近似值 这由对比便能知道两个能级近似值的绝对误差是有下述上限的 第七章自旋与全同粒子 1 电子自旋电子自旋假设的两个要点 1 2 内禀磁矩的值即玻尔磁子的值 斯特恩 盖拉赫实验证明了原子具有磁矩和电子自旋 2 自旋算符和自旋波函数 1 自旋算符与Pauli矩阵 对易关系 单位算符 2 自旋波函数 200 203页 考虑电子的自旋后 电子的波函数是二行一列矩阵 当电子的自旋与轨道相互作用可以忽略时 电子的波函数可以写为 的本征函数 3 两电子体系的自旋波函数 算符 3 两个角动量的耦合 若是两个独立的角动量 则也是角动量 C G系数的性质 j的取值 4 全同粒子 1 量子力学中 把内禀属性 静质量 电荷 自旋 磁矩 寿命等 相同的粒子称为全同粒子 2 全同性原理 由于全同粒子的不可区分性 使得全同粒子所组成的体系中 二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 全同性原理或表述为交换对称性 任何可观测量 特别是Hamilton量 对于任何两个粒子交换是不变的 这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制 即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性或者交换反对称性 3 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系 玻色子 自旋为整数倍 的粒子 波函数对于两个粒子交换总是对称的 例如介子 光子 它们遵守Bose统计 称为Bose子 费米子 自旋为半奇数倍 的粒子 波函数对于两个粒子交换总是反对称的 例如电子 质子 中子等 它们遵守Fermi统计 称为Fermi子 由 基本粒子 组成的复杂粒子 例如粒子 氦核 或其它原子核 如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变 即内部自由度完全被冻结 则全同性概念仍然适用 也可以当成一类全同粒子来处理 如果它们是由Bose子组成 则仍为Bose子 如它们由奇数个Fermi子组成 则仍为Fermi子 但如由偶数个Fermi子组成 则构成Bose子 4 Pauli不相容原理 不容许有两个或两个以上的全同Fermi子处于同一个单粒子态 例题1 设自由粒子的动能为 粒子的速度远小于光速 求其德布罗意波长 例题2 如果把坐标原点取在一维无限深势阱