静力学第二章.doc

第二章平面汇交力系教学内容及基本要求：平面汇交力系的合成与平衡的几何法。平面汇交力系的合成与平衡的解析法。熟悉平面汇交力系的合成与平衡的几何法，能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理有清晰的理解。能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。学时分配：2 B A 工程实例：由此可引出平面汇交力系(Coplanar concurrent force system)的概念：各力的作用线都在同一平面内，且汇交于一点的力系，叫做平面汇交力系。2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 D D C C O A A B B 一、 平面汇交力系合成的几何法这个多边形叫做力多边形(Force polygon)。代表合力矢量的边叫力多边形的封闭边。以力多边形求合力的作图规则，称为力多边形法则。这种方法称为几何法。结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力(Resultant)，其大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点。即合力等于各分力的矢量和（几何和）。用矢量式表示为符号称为连加号，表示右端的量按其下标由到逐项求和。注意：1、 选择恰当的比例尺。2、 作力多边形时，可以任意变换力的次序，虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结果并不改变。3、 力多边形中诸力应首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。二、 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然，平面汇力系平衡的充分必要条件是该力系的合力等于零。用矢量式表示为当合力等于零时，力多边形的封闭边变为一点，即第一个力的起点与最后一个力的终点重合，构成一个封闭的力多边形。所以平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行封闭。例2-1、运输用的架空索道，钢索的两端分别固结在支架的和端，如图所示。设钢索长为，最大垂度为。如略去钢索的重量以及滑车沿钢索的摩擦，试求当重为的载荷停留跨度中间时钢索的张力。 A h B C l 解：以滑车为研究对象。受力如图。组成一平面汇交力系。由几何条件，力三角形自行封闭，且是一个等腰三角形，应用三角公式，求得故得由上式可知，垂度越小，绳子的张力越大。当时，。说明架索道时不可以将钢索拉成一条直线。2-2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 y b B Y a A a X b x一、平面汇交力系合成的解析法1、力在坐标轴上的投影设力在平面内，由力的起点和终点分别向两轴作垂线；，则线段和分别称为力在和轴上的投影，通常分别用和表示。设和表示力与轴和轴正向间的夹角，则由图可知：反之，若已知在轴和轴上的投影和，由几何关系可求出为便于计算，通常采用力与坐标轴所夹的锐角计算余弦，并且规定：当力的投影，从始端到末端的指向与坐标轴的正向相同时，投影值为正，反之为负。 y Y X x 可以看出，当沿正交的轴分解为两力时，两个分力的大小分别等于力在两轴上投影的绝对值，但当两轴不相垂直时，则沿两轴的分力，在数值上不等于力在两轴上投影。注意：力在轴上的投影为代数量，而力沿轴的分量为矢量，二者不可混淆。2 合力投影定理合力投影定理建立了合力的投影与各分力的投影的关系。图示为由平面汇交力系所组成的力多边形，是封闭边，即。任选，将合力和各分力分别向轴投影，得： y D Ry Y3 C Y2 A Y1 B a b d c x X1 X2 Rx X3由图可知：故得同理得合力在轴上的投影：其中分别为力在轴上的投影。推广到个力组成的平面汇交力系中，可得即合力在任意轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，称为合力投影定理。3 合成的解析法算出合力的投影和后，就可按公式求出合力的大小和方向余弦为：式中和分别表示合力与轴和轴正向间的夹角。 y B 8 A C x 6 利用力在直角坐标轴上的投影求合力的大小和方向的方法叫做求平面汇交力系合力的解析法。例2-2、铆接薄钢板在孔心和处受三力作用，如图所示。已知，沿铅垂方向；，沿方向；，沿水平方向。在水平和铅垂方向的投影分别为厘米和厘米。求力系的合力。解：选取钢板为研究对象，其受力图如图所示，建立如图所示的坐标系合力二、平面汇交力系平衡方程及其应用从前面知道，平面汇交力系的平衡条件是合力为零，即所以即平面汇交力系平衡的解析条件是各力在轴和轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程(Equations of equilibrium of coplanar cocurrent force system)，运用该平衡方程，可求解两个未知量。当用解析法求解平衡问题时，未知力的指向可先假设，如计算结果为正值，表示所假设力的方向与实际指向相同，反之为负。例2-3、 如图所示为一拔桩装置。在木桩的点上系一绳，将绳的另一端固定在点，在绳的点系另一绳子，将它的另一端固定在点。然后在绳的点作用一人重的力，并使绳段水平，段铅直；段与水平线夹角，求绳作用于桩上的拉力（拔桩力）。解：先以点为研究对象，受力如图，建立如图所示的直角坐标系 C y E x D B 解得再以点为研究对象，受力如图解得与互为作用和反作用力，所以。所得拔桩力为人体重的倍，相当可观。例2-4、 轮和，各重为，杆长为，连接两轮，可自由地在光滑面上滚动，不计杆的质量。试求当物体系处于平衡时，杆与水平线的夹角。解：先以点为研究对象，受力如图，建立如图的坐标 A B y x 解得再以点为研究对象，受力如图解得又解得 O E A A D O1 E O例2-5、长为的均质杆放在半径为的半球状光滑碗内，求平衡时的角。解：