清华大学 物理中的数学方法第三次作业...pdf

物 理 中 的 数 学方 法 第 三 章 作 业 2 仿照两个函数的情形 我们来看三个函数的情况 假设三个函数 123 y x yx y x都具有二阶导 数 那么定义它们的朗斯基行列式 123 123123 123 y xyxyx y yyyxyxyx yxyxyx 证明 如果 123 y x yx y x线性相关 则 123 y yy处处为零 由此可推n个函数的类似的结论 证明 因为 123 y x yx y x线性相关 所以一定存在不同时为零的常数 123 c c c 使得 1 1223 3 0c y xc yxc y 再分别求一阶和二阶导数 得到 1 12233 0c yxc yxc y x 1 1223 3 0c yxc yxc yx 如果上述关于 123 c c c的线性方程组存在非零解 则系数行列式 123 0y yy 也就是上述 123 y xyxyx构成的朗斯基行列式为零 对于 n 个函数的情形 方法完全一样 证毕 8 说明 贝塞尔方程 2 22 0 x yxyxvy和球贝塞尔方程 2 2 2 1 0 x yxyxl ly都不属于多项式的斯图姆 刘维尔系统 证明 对于贝塞尔方程 2 22 0 x yxyxvy 其中 2 B xx A xx 所以 2 exp exp B xx P xdxdxx A xx P x 没有 x 的任意次幂都更快的趋向于零 对于球贝塞尔方程 2 2 2 1 0 x yxyxl ly 其中 2 2 B xx A xx 所以 2 2 2 exp exp B xx P xdxdxx A xx P x 没有 x 的任意次幂都更快的趋向于零 所以二者均不是多项式的斯图姆 刘维尔系统 9 证明 若 B x 常数而 A x 是二次多项式时 那么当 x 时 p x 不能比 x 的任意次方的倒数都更快地趋于零 证明 因为 B x是常数 我们可以假设 1B x A x是二次多项式 假设为最简单的 2 1A xx 所以 2 1 exp exp 1 1 1 B x P xdxdx A xx x x 当x时 1P x 并不趋近于零 证毕 15 从勒让德多项式 n P x的母函数关系出发 证明下列递推关系 n 1nn 1 nnn 1 n 1nn 1 nn 1n 1 n 1 P 2n 1 P nP0 nPP P0 nPP xP0 2 1 PP P0 x 证明 母函数关系是 2 0 1 12 n n n t P x txt 两边关于 t 求导 得到 32 1 2 0 12 n n n xt ntP x txt 两边同乘以 2 12 txt 得到 21 2 0 12 12 n n n xt txtntP x txt 把 2 0 1 12 n n n t P x txt 带入上式左边得到 21 00 12 nn nn nn xtt P xtxtntP x 比较两边 n t的系数 得到 111 11 1 2 1 1 21 0 nnnnn nnn xP xPxnPxxnP xnPx nPxnxP xnPx 也就是 11 1 21 0 nnn nPxnxP xnPx 1 我们继续对母函数 2 0 1 12 n n n t P x txt 两边关于 x 求导数 得到 32 0 12 n n n t t Px txt 两边同乘以 2 12 txt 得到 2 2 0 12 12 n n n t txtt Px txt 再把 2 0 1 12 n n n t P x txt 带入右边 得到 2 00 12 nn nn nn tt P xtxtt Px 比较两边 1n t的系数 我们得到 11 2 0 nnnn P xPxxPxPx 2 对式 1 求导 得到 11 1 21 21 0 nnnn nPxnP xnxP xnPx 3 然后把式 2 1 n式 3 11 11 1 1 1 2 1 1 1 21 21 0 0 nnnn nnnn nnn nP xnPxnxPxnPx nPxnP xnxPxnPx nP xxPxPx 也就是 1 0 nnn nP xxPxPx 4 然后把式 2 21 n式 3 2得到 11 11 11 21 21 2 21 21 2 1 2 21 2 21 2 21 0 nnnn nnnn nnn nP xnPxnxPxnPx nPxnP xnxPxnPx nP xPxPx 也就是 11 21 0 nnn nP xPxPx 5 22 证明 2 0 2 1 1 2 12 n n n t T xT x t xtt 证明 因为母函数关系式 2 0 1 12 n n n xt T x t xtt 并且 0 1T x 所以 0 2 1 1 12 n n n xt T xT x t xtt 2 22 1 1 1 1212 n n n xtxtt T x t xttxtt 所以 2 2 1 22 2 12 n n n xtt T x t xtt 222 0 22 1 2 2 222212 2 1 1212 1 12 n n n xttxttxtt T x tT x xttxtt t xtt 证毕 23 证 明 第 二 类 切 比 雪 夫 函 数 n Ux与 切 比 雪 夫 多 项 式 n T x的 关 系 为 2 1 n n dT xx Ux ndx 证 明 n Ux具 有 带 权 函 数 2 1 1 x x 的 正 交 性 1 2 1 1 2 1 nmn m Ux Ux dx x 证明 因为 1 cos cos n T xnx 所以 1 2 1 2 1 sin cos 1 sin cos 1 n dT x nx n dx x n nx x 所以 22 11 2 11 sin cos sin cos 1 n n dT xxxn nxnxUx ndxn x n Ux的带权正交性 11 11 22 11 11 sin cos sin cos 11 nm Ux Ux dxnxmx dx xx 当nm时 11 11111 2 11 1 11 1 11 sin cos sin cos cos cos cos cos cos 2 1 111 sin cos sin cos 2 0 nxmx dxnmxnmx dx x nmxnmx nmnm 当nm时 11 1121 22 11 1 1 2 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 sin cos sin cos sin cos 11 11 1cos 2 cos 2 1 1 1cos 2 cos cos 2 11 cossin 2 cos 24 1 0 0 22 nxmx dxnx dx xx nx dx x nx dx xnx n 也就是带权的正交 1 2 1 1 2 1 nmnm Ux Ux dx x 证毕 28 从厄米多项式的多项式 n Hx表示出发 推得 n Hx的奇偶性关系 证明 因为 2 2 0 1 2 0 1 2 3 2 n knk n k n Hxxn k nk 所以 2 2 0 2 22 0 2 22 0 2 22 0 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 n knk n k n knknk k n knknk k n nkknk k n Hxx k nk n x k nk n x k nk n x k nk 我们知道 2 1 1 k 所以 22 222 00 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 nn nkknknknk kk n n nn xx k nkk nk Hx 证毕 29 从厄米多项式 n Hx的 n Hx母函数关系出发 i 证明下列递推关系 11 1 1 1 220 2 20 0 nnn nn nnn nnn HxHnH HnH HxHH xHnHnH ii 求出 x 0 点的值 221 0 0 nn HH 证明 因为母函数关系式 2 2 0 xt tnn n Hx et n 1 两边对 t 求导 得到 2 21 0 22 xt tnn n Hx xt ent n 再把 1 式带入上式左边得到 1 00 11 000 22 2 2 1 nnnn nn nnnnnn nnn HxHx xttnt nn xHxHxHx ttt nnn 比较左右两边的 n t的系数 就得到 11 220 nnn HxHnH 2 对 2 2 0 xt tnn n Hx et n 的两边 x 求导 得到 2 2 0 2 xt tnn n Hx tet n 再把 1 式带入上式左边得到 1 0000 2 2 nnnnnnnn nnnn HxHxHxHx ttttt nnnn 比较两边 n t的系数 就得到 1 2 nn HnH 3 同样比较两边 1n t的系数 就得到 1 2 1