积分公式.doc

2.基本积分公式表(1)0dx=C (2)=ln|x|+C(3) (m-1，x0)(4) (a0,a1)(5) (6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=-cosx+C(8)sec2xdx=tanx+C(9)csc2xdx=-cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C (11)cscxcotxdx=-cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注(1)不是在m=-1的特例(2)=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|) =1/x事实上，对x0，(ln|x|) =1/x；若x0)解.原式= = .例2.5.14 求(a0).解.原式= = . 例2.5.15求. 解.原式= = = =. 例2.5.16secxdx. 解.原式= (换元u=sinx)= = = (代回u=sinx)= = =ln|secx+tanx|+C . 公式:secxdx=ln|secx+tanx|+C . 例.2.5.17求cscxdx . 解.原式= = =ln|cscx-cotx|+C . 公式:cscxdx=ln|cscx-cotx|+C .凑微分法是不定积分换元法的第一种形式，其另一种形式是下面的第二换元法 5.第二换元法不定积分第一换元法的公式中核心部分是fj(x)j(x)dx=f(u)du 我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=j(x)与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另一种形式，称为第二换元法即若f(u),u=j(x),j(x)均连续,u=j(x)的反函数x=j-1(u)存在且可导,F(x)是fj(x)j(x)的一个原函数,则有f(u)du =fj(x)j(x)dx =F(x)+C =Fj-1(u)+C .第二换元法常用于被积函数含有根式的情况例2.5.18求 解.令 (此处j(t)=t2)于是原式= = =(代回t=j-1(x)=)注.你能看到，换元=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然后积分第二换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，(a0)的被积函数的积分被积函数含根式换元方法运用的三角公式x=asect sec2t-1=tan2t x=atant tan2t+1=sec2t x=asint1sin2t=cos2t 例2.5.19求. (a0)解.令x=asect，则dx=asect tant dt,于是原式=sectdt=ln|sect+tant|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsec，但这种做法较繁下面介绍一种直观的便于实施的图解法：作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，满足：sect= 由此，原式=ln|sect+tant|+C1= = . 注C1是任意常数,-lna是常数,由此C=C1-lna仍是任意常数例2.5.20求. (a0)解.令x=atant，则dx=asec2tdt，于是原式=sectdt=ln|sect+tant|+C1 图解换元得原式=ln|sect+tant|+C1 = . 公式:. 例2.5.21求. (a0)解.令x=asint，则dx=acostdt，于是原式= =+C . 图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有一个重要的积分公式，即分部积分公式思考题.在第二换元法公式中，请你注意加了一个条件“u=j(x)的反函数x=j1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=vdu+udv 两边积分，即d(uv)=vdu+udv由此导出不定积分的分部积分公式udv=uv -vdu 下面通过例子说明公式的用法例2.5.22求x2lnxdx 解.x2lnxdx = (将微分dlnx算出)= =.例2.5.23求x2sinxdx.解.原式=x2d(-cosx) (凑微分) =-x2cosx-(-cosx)d(x2) (用分部积分公式)=-x2cosx+2xcosxdx =-x2cosx+2xdsinx (第二次凑微分)=-x2cosx+2xsinxsinxdx (第二次用分部积分公式)=-x2cosx+2xsinx+2cosx+C . 例2.5.24求exsinxdx.解.exsinxdx=sinxdex (凑微分)=exsinx-exdsinx (用分部积分公式)=exsinx-excosxdx (算出微分)=exsinx-cosxdex (第二次凑微分)=exsinx-excosx-exdcosx (第二次用分部积分公式)=ex(sinx-cosx)-exsinxdx (第二次算出微分)由此得：2exsinxdx=ex(sinx-cosx)+2C 因此exsinxdx=(sinx-cosx)+C 注.(1)此例中在第二次凑微分时，必须与第一次凑的微分形式相同否则若将excosxdx凑成exdsinx,那将产生恶性循环，你可试试(2)积分常数C可写在积分号一旦消失之后例2.5.25求arctanxdx解.此题被积函数可看作x0arctanx，x0dx=dx，即适合分部积分公式中u=arctanx，v=x故原式=xarctanx - xd(arctanx) (用分部积分公式)=xarctanx - dx (算出微分)=xarctanx - (凑微分)=xarctanx - ln(1+x2)+C . 小结.(1)分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctanx，x3lnx 幂函数与反正切或对数函数x2sinx，x2cosx 幂函数与正弦,余弦x2ex 幂函数与指数函数exsinx,excosx 指数函数与正弦,余弦等等(2)在用分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分dv，一般应选择容易凑的那个例如被积函数 凑微分dvx3arctanx，x3lnx arctanxd，lnxd x2sinx，x2cosx，x2ex x2d(-cosx)，x2dsinx，x2dexexsinx，e xcosx sinxdex，cosxdex 我们已学习了不定积分的几种常用方法，除了熟练运用这些方法外，在许多数学手册中往往列举了几百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之用，称为积分表思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使用的规律，特别是第一步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使用除了基本积分公式之外，在许多数学手册中往往列举了几百个补充的积分公式，构成了积分表下面列出本节已得到的基本积分公式(1)0dx=C (2)=ln|x|+C(3) (m-1,x0)(4) (a0,a1)(5) (6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=- cosx+C(8)sec2xdx=tanx+C(9)csc2xdx=- cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C (11)cscxcotxdx=- cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C(14)tanxdx=- ln|cosx|+C (15)cotxdx=ln|sinx|+C(16)= (a0)(17)= (a0)(18)(a