自动控制原理第4章根轨迹法(史小平主讲课件).ppt

1 第四章根轨迹法 4 1引言 系统的闭环极点 系统的稳定性 系统的动态性能 高阶方程情形下求解很困难 系统参数 如开环放大倍数 的变化会引起其变化 针对每个不同参数值都求解一遍根很麻烦 2 一一对应关系 如开环放大倍数 参数连续变化 闭环极点在复平面内画出相应的轨迹 伊凡思 W R Evans 提出根轨迹法 以方便系统设计和调试 3 4 2根轨迹的基本概念 根轨迹 系统中某个参数由0变化到时 闭环极点在s平面内画出的轨迹 开环放大倍数从0时 闭环极点的轨迹 称为一般根轨迹 4 闭环传递函数 特征方程 此方程的根即为闭环极点 5 开环传递函数 开环零点 开环极点 特征方程写为 6 根轨迹的幅值条件 模条件 根轨迹的相角条件 幅角条件 7 举例 给定开环传递函数 开环零点 开环极点 8 复平面内的试验点 若成立 则说明点在根轨迹上 规定逆时针幅角为正 反之为负 9 然后根据根轨迹的幅值条件求取相应的参数值 由 得 当参数取该值时 反过来说 10 绘制根轨迹的主要步骤 把系统的开环传递函数写成零极点形式 在s平面上画出开环零点和开环极点 在s平面上找出满足幅角条件的点 对于根轨迹上的一些必要的点 11 4 3绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的分支数等于开环零点数目与开环极点数目中的较大者 根轨迹是连续的 并且是关于实轴对称的 根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 12 若开环极点数目大于开环零点数目 则当时 13 渐近线与实轴的夹角为 渐近线与实轴交点的横坐标为 14 实轴右方开环零点和开环极点数目之和为奇数的线段是根轨迹 实轴右方开环零点和开环极点数目之和为偶数的线段不是根轨迹 15 16 例4 1 负反馈系统的开环传递函数为 绘制根轨迹的大致图形 17 18 例4 2 负反馈系统的开环传递函数为 绘制根轨迹的大致图形 19 20 其中开环传递函数为 21 附加规则 条根轨迹进入并离开汇合分离点时 相邻两条根轨迹间的夹角为 若 则相邻两条根轨迹间的夹角为 22 例4 3 求例4 1中根轨迹的汇合分离点A的坐标 23 例4 4 求例4 2中根轨迹的汇合分离点A和B的坐标 24 25 思考题 例4 2中根轨迹的中间部分是否是一个圆 为什么 解答 26 当时 27 共轭虚数闭环极点 以第II象限的闭环极点为例 28 29 由式 2 可得 3 由式 1 可得 4 式 4 代入式 3 并整理可得 30 5 由于位于第II象限 因此 31 本次课内容总结 根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的规则1 规则6 32 根轨迹的入射角与出射角 出射角 入射角 33 34 36 绘制根轨迹的基本规则 续 始于开环虚数极点的根轨迹的出射角为 终止于开环虚数零点的根轨迹的入射角为 37 注意 以上两式只给出了和的出射角和入射角 若计算其他开环虚数零 极点处的入射 出射角 只要将该点的编号改为1即可 绘制根轨迹时 横 纵坐标的单位长度必须一致 由根轨迹关于实轴对称的原则 则与之共轭 的开环虚数零 极点的入射 出射角即可推得 38 例4 5 负反馈系统的开环传递函数为 绘制该系统的根轨迹 出射角 汇合分离点 39 根轨迹与虚轴的交点坐标 由代数方程组 所确定 40 例4 6 41 42 开环放大倍数的求取 根轨迹上某一点满足模条件 43 开环传递函数的两种等价形式 44 不考虑积分环节 45 计算 根轨迹上任意一点对应的参数的值可由 并由下式求出开环放大倍数 0 I II型系统 46 所有闭环极点的总和等于 所有闭环极点的连乘积等于 其中 闭环系统的特征方程为 47 例4 7 当根轨迹与虚轴相交时 求该系统临界稳定时的开环放大倍数 48 例4 8 给定负反馈系统的开环传递函数 绘制该系统根轨迹的大致图形 49 50 例4 9 给定负反馈系统的开环传递函数 绘制该系统根轨迹的大致图形 51 52 例4 10 给定负反馈系统的开环传递函数 绘制该系统根轨迹的大致图形 53 54 4 4用根轨迹法分析控制系统的性能 55 例4 11 给定负反馈系统的开环传递函数 用根轨迹法分析系统的性能 56 57 本次课内容总结 绘制根轨迹的规则7 规则10 用根轨迹法分析控制系统的性能 58 利用根轨迹分析控制系统的性能 续 例4 12 给定负反馈系统的开环传递函数 用根轨迹法分析系统的性能 59 60 4 5用MATLAB绘制根轨迹 用MATLAB软件可以很方便地绘制系统的根轨迹 并可以求出根轨迹上任何一点处的特征参数 4 5 1用MATLAB绘制根轨迹 在MATLAB环境下 输入命令 rlocus G 或 rlocus num den 除了参数以外的开环传递函数 61 输入命令 axisequal 可以使根轨迹图的实轴和虚轴具有相同的比例尺 注 在用MATLAB绘制根轨迹时 62 例4 13 用MATLAB软件绘制负反馈系统的根轨迹 系统的开环传递函数为 解 在MATLAB环境下 编制文件 G tf 1 1 2 2 0 axisequal rlocus G 63 运行该文件 得结果 64 例4 14 用MATLAB软件绘制负反馈系统的根轨迹 系统的开环传递函数为 解 在MATLAB环境下 编制文件 num 1 1 den conv 1 1 0 1 4 16 rlocus num den axisequal 65 运行该文件 得结果 66 例4 15 已知负反馈系统的开环零点为 开环极点为 用MATLAB软件绘制该系统的根轨迹 解 在MATLAB环境下 编制文件 z 2 p 0 3 1 2j 1 2j k 1 G zpk z p k rlocus G 67 运行该文件 得结果 68 4 5 2用根轨迹图分析控制系统 用MATLAB软件绘制根轨迹图以后 求根轨迹上任意一点的特征参数 在根轨迹上相关点处单击鼠标 显示该点的特征参数 这些特征参数包括 69 70 例4 16 给定负反馈系统的开环传递函数 绘制该系统的根轨迹 解 在MATLAB环境下 编制文件 G tf 1 1 4 5 0 rlocus G 71 运行该文件 得结果 72 73 74 75 在根轨迹上绘出等阻尼比的射线 命令格式 grid 画出根轨迹后 键入此命令 76 77 在根轨迹上求闭环极点和相应的值 命令格式 k p rlocfind G 移动鼠标 光标定位式显示的值和所有闭环极点 78 例4 17 对于上例的系统 解 在MATLAB中显示上图以后 键入 k p rlocfind G 并将光标移动到根轨迹与的交点处 79 80 k 4 1963p 2 7321 0 6340 1 0649i 0 6340 1 0649i 81 例4 18 单位负反馈系统的开环传递函数 若令闭环系统靠近虚轴的虚数极点的阻尼比为 试用MATLAB作出该系统的单位阶跃响应 82 解 在MATLAB中编写M文件 G tf 1 2 1 5 9 5 0 rlocus G grid k p rlocfind G 并将光标移动到根轨迹与的交点处 运行该M文件 83 84 Selectapointinthegraphicswindowselected point 0 3500 0 7923ik 1 9649p 2 1412 0 7626i 2 1412 0 7626i 0 3588 0 7949i 0 3588 0 7949i 85 根据得到的闭环零 极点 输入闭环传递函数模型 z 2 sys zpk z p k step sys 运行该文件 得结果 86 87 4 6特殊根轨迹 前面讨论的根轨迹是一般根轨迹 又称为常规根轨迹 一般根轨迹有下列特点 参数由0变化到 闭环极点的运动轨迹 闭环系统是负反馈系统 88 4 6 1正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程为 或 89 正反馈系统的根轨迹方程 模条件 幅角条件 90 绘制正反馈系统的根轨迹时 正反馈系统的根轨迹又称为0度根轨迹 因此 而负反馈系统的根轨迹又称为180度根轨迹 91 在绘制正反馈系统的根轨迹时 若开环极点数目大于开环零点数目 则当时 渐近线与实轴的夹角为 渐近线与实轴交点的横坐标与负反馈情形相同 92 实轴右方开环零点和开环极点数目之和为偶数的线段是根轨迹 实轴右方开环零点和开环极点数目之和为奇数的线段不是根轨迹 93 始于开环虚数极点的根轨迹的出射角为 终止于开环虚数零点的根轨迹的入射角为 94 由代数方程组 所确定 95 例4 19 正反馈系统的开环传递函数为 绘制该系统的根轨迹 96 97 例4 20 反馈系统的方块图如下 绘制该系统的根轨迹 98 99 100 101 注释 在绘制反馈系统的根轨迹时 以便确定依据哪一套规则作图 102 4 6 2参数根轨迹 为了区别 103 在开环传递函数中 假设系统的闭环特征方程为 104 若有一个负反馈系统的开环传递函数为 则其闭环特征方程也是 于是称为原系统的等效开环传递函数 105 在等效开环传递函数中 106 例4 21 反馈系统的方块图如下 试画出该系统在参数时的根轨迹图 107 108 注释 须求出原闭环系统的零点 109 在等效开环传递函数中 在这种情况下 共有条根轨迹 110 例4 22 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制以为参变量的根轨迹图 111 112 本次课内容总结 113 4 7基于根轨迹法的串联超前校正 系统的动态指标设计要求 114 115 116 控制系统的闭环零点很容易求得 对于单位反馈系统 开环零点就是闭环零点 举例 117 对于非单位反馈系统 举例 118 119 具有个闭环极点 个闭环零点的系统 闭环传递函数可以写为 其中 120 对于单位阶跃输入信号 输出拉氏变换为 121 其中 对求拉氏反变换 得输出 122 结论 系统的暂态分量由个分量叠加而成 对于稳定的闭环系统 其闭环极点全部位于s平面的左半平面 相应的暂态分量衰减越快 123 如果有一对闭环零 极点相互非常接近 则该极点对动态过程的影响很小 124 超调量增大 如果闭环系统有一对虚数主导极点 125 在设计控制系统时 通常希望有一对虚数主导极点 并计算动态性能指标 也仍然可以近似地作为主导极点处理 必要时可以用MATLAB作出准确的阶跃响应曲线 并求出动态过程的各项指标 126 在设计控制系统时 根据式 可将对的要求转化为对闭环主导极点位置的约束 127 128 根据式 可将对的要求转化为对闭环主导极点的约束 也是对阻尼比的约束 129 130 一般来说 131 如果靠近虚轴有闭环零点 则会引起超调量增大 这时可以适当地减小角 以保证满足设计要求 如果对动态品质的要求还包括其他指标 132 例4 23 单位负反馈系统的开环传递函数为 若要求闭环系统的动态性能指标为 秒 求闭环主导极点所在的区域 133 134 135 如果单位负反馈系统的开环传递函数为 同样要求闭环系统的动态性能指标为 秒 再求闭环主导极点所在的区域 137 4 7 2增加开环零 极点的作用 加入校正环节以后 138 增加开环零点的作用 选取校正环节为PD校正 即 其中 139 140 141 结论 1 在实轴上适当的位置增加开环零点 2 增加开环零点使增大 渐近线的条数减少 渐近线与实轴的夹角增大 3 在实轴上适当的位置增加开环零点 使根轨迹向左弯曲 142 4 举例 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 144 在原系统中增加开环零点后 新的开环传递函数为 增加开环零点以后的根轨迹如下图所示 146 增加开环极点的作用 147 148 加入开环极点以后 根轨迹的汇合分离点向右移动 甚至会导致闭环系统不稳定 149 本次课内容总结 闭环零 极点与系统动态性能的关系 增加开环零 极点的作用 150 如果串联校正环节为 则称为串联超前校正 151 即 152 A点是原根轨迹上的点 153 原根轨迹一定是搬家了 156 根轨迹向左弯曲 改善了系统的动态品质 157 在设计控制系统时 则可以用串联超前校正 158 用根轨迹法设计串联超前校正的步骤 根据动态性能指标的设计要求 159 画出该系统校正前的根轨迹 就可以产生希望的闭环极点 否则 就需要设计超前校正 160 对于希望的闭环主导极点 161 确定超前校正的零点和极点 确定以后 另外 还应尽量使和向左远离虚轴 以便使尽可能成为主导极点 163 165 计算串联超前校正环节的和 166 根据求对应的开环放大倍数 首先 进而 0 I II型系统 最后求出串联超前校正环节的放大倍数 167 168 对于设计好的串联超前校正装置 这一步工作可以借助MATLAB进行 169 例4 24 闭环控制系统如下图所示 171 172 例4 25 要求系统为I型 超调量 求串联超前校正装置的参数和 173 175 176 177 178 4 7 4串联超前校正装置 通常采用运算放大器和RC网络构成串联超前校正装置 179 本次课内容总结 串联超前校正的作用 串联超前校正的设计 串联超前校正装置 180 4 8根轨迹法的串联迟后校正 串联超前校正虽然能改善系统的动态性能 但是对开环放大倍数没有多少改善 它能在不改变原有动态性能的条件下 从而减小稳态误差 181 串联迟后校正环节的传递函数为 限制条件 和的值都很大 的值很大 182 4 8 1附加开环偶极子的作用 它们的特点 和十分接近 都在实轴上靠近原点处 在右 在左 与超前校正恰好相反 的值很大 183 不难看出 184 假设是原系统根轨迹上的一点 原系统的开环零点 原系统的开环极点 185 加入串联迟后校正环节以后 点的幅角条件仍然近似成立 所以有 即与十分接近 186 所以 点仍然满足根轨迹的幅角条件 或者只有微小的变动 结论 在原系统中加入串联迟后校正的一对开环偶极子以后 对原系统根轨迹远离原点部分没有明显的影响 对原系统的动态品质也没有明显的影响 187 对于根轨迹上的点来说 加入串联迟后校正以后 点对应的值变为 188 所以 即值的变化不大 然而 开环放大倍数的变化却很大 分别为 189 由于前面已设定的值很大 所以 结论 在原系统中加入串联迟后校正以后 190 4 8 2串联迟后校正 增大闭环主导极点处的开环放大倍数 减小系统的稳态误差 所以 在作串联迟后校正以前 使系统先满足动态过程的设计指标 191 串联迟后校正的具体设计步骤 并求出点对应的开环放大倍数 192 根据系统的设计要求 为了使点的开环放大倍数由增大到 串联迟后校正的参数应满足 193 和充分接近 并靠近原点 影响根轨迹的形状 此外 在选择和时 要做到 居左 居右 194 求迟后校正环节中的 至此 串联迟后校正环节的参数 和全部计算完毕 195 检验 绘制校正以后的新的根轨迹 求出闭环主导极点处的开环放大倍数 检验是否满足稳态误差的设计指标 作出闭环系统的单位阶跃响应或单位斜坡响应 检验各项设计指标 196 例4 26 要求闭环系统满足下列性能指标 1 开环放大倍数 2 超调量 3 调整时间 求串联校正环节及其参数 197 的根轨迹 199 最后求得串联迟后校正环节的传递函数为 校正后前向通道的传递函数变为 被控对象传递函数为 200 画出校正后系统的新的根轨迹 num 20 1 den conv 200 1 1 3 2 0 rlocus num den axisequal 编写MATLAB命令代码 204 对校正后的闭环系统进行单位阶跃响应仿真试验 205 num 20 1 den conv 200 1 1 3 2 0 G tf 10 num den Fai feedback G 1 1 step Fai 206 207 例4 27 控制系统如图所示 要求闭环主导极点对应 在输入时 稳态误差 求串联校正环节的参数 208 的根轨迹 211 4 8 3串联迟后校正装置 212 本次课内容总结 附加开环偶极子的作用 串联迟后校正的设计步骤 串联迟后校正装置 213 4 9基于根轨迹法的串联超前 迟后校正 改善系统的动态性能 减小系统的稳态误差 214 串联超前 迟后校正的具体设计步骤 如果缺少积分环节 则首先追加一定数量的积分环节 一并计入中 再进行后续的设计步骤 注意 在全部设计完成之后 不要忘记增加这些