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三角形中线长公式引发的思考 南京市第三高级中学 张永安 2006年是江苏省全面使用新课程教学的第二年，工作十一年，参加过许多教材教法培训，但是06年8月参加的南京市教研室组织的新教材培训，感触很深。随后通过近半年的新课程教学实践，我深刻体会到新课程改革从理念、内容到实施的变化。而要实现教学改革目标，教师是关键。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源研发的重要力量。教师对新教材的认识、体会与钻研程度，对教师如何使用教材，运用科学的教学方法与手段去引导，组织学生参与到学习活动中尤为重要，作为教师就必须对课本中每个问题要认真钻研，体会其作用。苏教版课本必修5第16页例三角形中线长公式课堂教学之后，回味无穷，此题对于高一、高二、高三学生均有学习价值。题目是这样的：例如图-，是中边上的中线，求证： 证法一：作AHBC，垂足为H，在RTHC与RTHB中，利用勾股定理：HHH（MCMH）HHH（MBMH）M是BC中点MBMC2（HMH2）2即：，因此， 点评：此题证法通过作三角形底边上的高，化斜（三角形）为直（三角形），构造出三个RT三角形，再利用RT三角形勾股定理，证出结果。此种证法学生只需要掌握平面几何知识，即可证明。证法二：以M为坐标原点，BC为X轴，建立如图所示坐标系XOY，（ac）2b2（ac）2b22a2b2，4 c22（a2b2c2）2（a2b2c2），因此， 点评：南京市对必修教材教学顺序进行了调整，顺序为必修1、4、5、2、3，因此必修5第16页例，实际上这个例题按照正常顺序，可以用解析法的思路，将几何问题转化为代数计算，先建立平面直角坐标系，再利用距离公式计算对应线段的长，随即完成证明。为尊重原著，故此法按照教材顺序放置于此。证法三：由向量加法的三角形法则2（）（）222（）（）2222222即：，因此， 点评：向量在平面几何中的应用也比较广泛。本方法先将三角形边转化为向量，线段长转化为向量的模。而模的平方转化为向量的数量积。运用了转化的思想方法。证法四：由向量加法的平行四边形法则可知：（）22（）（）（222）（222COSBAC）（2222）（2222）因此， 点评：将平面几何转化为向量问题是常用的思想方法，本方法同时也结合了余弦定理的边角关系。体现了知识的综合应用。证法五：（课本方法）设，则在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得（）因为（）， ，所以，因此， 点评：利用余弦定理解三角形。此方法利用了、C中与的互补关系，在两个三角形中运用余弦定理，再将相关余弦式相加，得到结果。证法六：设复数，由复数几何意义得：22222，222222222（2）22222即：，因此， 点评：利用选修教材中复数知识证明此题，将线段长度转化为复数的模，再利用复数的运算与性质。通过本题的分析，使我回想到在苏教版必修4第83页习题2.4中感受理解第5题：题目：求证：（）如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？又联系到平行四边形的一个性质：平行四边形两条对角线的平方和等于其四边平方和。其实在新教材中有很多经典的问题，稍加研究，发现不少问题的解决方法贯穿整个数学的各个学习阶段。关键是教师要打破原有教学思想观念的束缚，用新的教育理念来武装自己，不断对新教材的深入认识、体会与钻研。在课堂教