数学建模案例分析--最优化方法建模4运输、投资与聘用.doc

4 运输、投资与聘用 钢铁、煤炭、粮食等物资有若干生产基地和消费点，如何根据已有的交通网安排运输方案，使总运费最少，是典型的运输问题。例7 某种物资有个生产地点（称产地）和个消费地点（称销地）。已知的供应量为，的需求量为，从到的运价（单位物资）为，问如何制定运输方案，即从到的运量为多少，使总运费最少。设从到的运量为，则二者之间的运费为，记总供应量为，总需求量为，如果，即该物资产销平衡，则问题很容易归纳成 （1） （2） （3） （4）其中（2）式表示从运往各销地的物资之和恰为的供应量，（3）式有相对应的含义。这显然是线性规划模型，其约束条件（3）、（4）的系数矩阵比较简单，这类问题求解比较简单。 如果，即产大于销时，（2）式应改为或可设一个虚拟销地，其需求量（实际上是贮存量）为，令从到的运价为零，从而化为产销平衡问题。 运输问题还可以有更复杂的情况，譬如可以将各产地的物资集中在若干点再运出，可以先集中运往若干销地再分散；除产、销地外，还可以设若干中间站进行转运。这时应知道各产地、中间站及各销地之间的运价（不存在运输线路时可设运价为一充分大的正数，同一地点的运价设为零）。若有个中间站，记，则可扩大为有个产地和个销地的运输问题。因为原有的产地、销地及增加的中间站，在扩大的问题中都既是产地，又是销地，记运价为，运量为，则目标函数与（1）类似： （1）而在产销平衡条件下，约束条件（2）、（3）应改为 (2) （3）即原有产地的供应量增加总产量，同时设其需求量也为；中间站的供应及需求均为；原有销地的需求量增加，同时设其供应量也为。（1）（3），（4）仍可用运输问题的方法求解。 如何投放资金使一段时间后获得最高的回报，是金融活动中的问题之一，这里只讨论最简单的情况。例8 现有一笔资金，今后5年内有以下项目的投资可供选择：项目A：若每年初投资1元，则两年后收回本利共元；项目B：只能在第2年初投资，第5年末收回本利的倍，但投资额不能小于；项目C：只能在第3年初投资，第5年末收回本利的倍，但投资额不能超过；项目D：每年初可购1年期债券，利率。问如何确定每年初这些项目的投资，使年末的本利总额最大。用分别表示第年初这4个项目的投资额，我们逐年讨论：，手中资金只能投资A，D，并且D可每年回收，故不应留有闲滞资金，于是 （1），第1年末只有D可收回，而A，B，D均可投资，有 （2），第2年末A可收回，D可收回，可投资A，C，D，有 （3），类似地有 （4），只能投资 （5）再加上对B、C投资额的限制 （6）及 （7）第5年末的本利总额应为 （8）问题归结为在条件（1）（7）下求，使（8）最大的线性规划模型。 部门如何聘用雇员使效率最高或费用最少，其思路与投资问题相近，用下例说明。例9 邮局一周中每天需要不同数目的雇员，设周至少人，又规定应聘者连续工作5天，问邮局每天聘多少雇员才能满足需求，又使聘用总人数最少。考虑进一步的问题：上述指全时雇员（每天工作8小时）。如果邮局也可以聘用半时雇员（每天工作4小时，也需连续工作5天），设全时和半时雇员的工资分别为每小时3元和2元，并且限制半时雇员的工作量不应超过总工作量的四分之一，问邮局如何安排聘用方案，使所付工资总额最少。由于每个雇员需连续工作5天，邮局聘用总人数不是每天聘用人数之和。定义周一开始工作的雇员为。目标函数聘用总人数为 （1）由于除了周二和周三开始工作的之外，其余都会在周一工作，所以周一至少应有人的约束应表示为 （2）类似地有 （3） （4） （5） （6） （7） （8）为正整数 （9）形成在条件（2）（9）下求（1）式的Z最小的整数线性规划模型。对于进一步的问题，设上述的为全时雇员人数，类似地记为半时雇员人数，则目标函数总工资为 （10）其中3和2分别是全时和半时雇员的小时工资，8和4为小时数，而5是（连续）工作的天数。约束条