高二 函数学案.doc

第5讲 函数的性质一、奇偶性与周期性（一）知识归纳：1奇偶性： 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.2周期性： 如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数. 注意：f(x+T)= f(x)常常写作 若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期. 若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为.3、单调性：1定义：如果函数y= f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、x2时， 都有f(x1) f(x2)，则称f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f(x)称单调函数.2设复合函数y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集，若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数.3若函数y= f(x)在定义域l内的某个区间上可导 ，若f(x)0，则f(x)在这个区间上是增函数；若f(x)0与a 0时， ，当a 0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数.【例】解答下述问题：（I）已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式.解析由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数， 当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2 ， 4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)， f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7; 综上，（II）已知f(x)的图象关于直线x=a 对称，又关于点（m ,n）对称（ma），求证：f(x)是周期函数.由条件得，am , f(x)是周期T=4（am）的周期函数.（）已知定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x+1)=f(x)，且当x0，1时，f(x)=3x1，求 的值.解析 f(x+2)=f(x+1)= f(x) ， f(x)是周期为2的周期函数，【例】解答下述问题：（I）讨论函数的单调性.解析 函数的定义域为（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示.（II）解析 f(x) 的定义域是， 当a0时，而f(x)在端点x=2连续，当a0时，f(x)在定义域内为增函数；当a0时，令 令；当a0时f(x)的单调递增区间是而单调递减区间是【例】解答下述问题：（I）讨论函数的单调性.解析 函数的定义域为（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示.（II）解析 f(x) 的定义域是， 当a0时，而f(x)在端点x=2连续，当a0时，f(x)在定义域内为增函数；当a0时，令 令；当a0时f(x)的单调递增区间是而单调递减区间是函数图象知识归纳：1函数图象的基本变换：学习函数图象的变换是进一步作出各种函数图象，以及运用函数图象解决问题的重要基本功.（变换1）的图象与的图象关于轴对称；（变换2）的图象与的图象关于轴对称；（变换3）：因为，所以将在轴上方的图象保留不变，而将在轴下方的图象对称到轴的上方，得到的图象；（变换4）：因为，所以将的轴右方的图象保留不变（但在轴左方的图象要擦去），并且将在轴右方的图象对称到轴左方，得到的图象，注意，是偶函数；（变换5）：将的图象向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的图象；（变换6）：将的图象向右（时）或向左（时）平移个单位，得到的图象；（变换7）：将图象各点的纵坐标伸长（），或缩小到原来的倍；（变换8）：将图象各点的横坐标缩短（），或缩小到原来的倍.2函数图象的对称性：对于函数，若对定义域内的任意都有：（或，则的图象关于直线对称；（或，则的图象关于点对称.【例】将下列变换的结果填在横线上：（1）将函数的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数的图象向右平移3个单位，得到函数 的图象；（3）将函数的图象作变换，得到函数 的图象；（4）将函数的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（5）将函数的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象.(解析)（1）关键是答案为，还是，可以取一个点检验，将函数的图象向右平移2个单位后点（1，3）变为（1，3），故答案为，即（2）关键是答案为，还是，注意到偶函数向右平移3个单位后不再是偶函数，故答案为；（3）与（2）不同，经过变换后函数变为偶函数，故答案为；（4）关键是答案为，还是，注意到的图象向左平移2个单位后（1，1）变