大学基础物理学答案(习岗)第2章.doc

第二章 气体动理论第二章 气体动理论本章提要1. 气体的微观图像与宏观性质气体是由大量分子组成的，1mol气体所包含的分子数为。分子之间存在相互作用力。分子在做永不停息的无规则的运动，其运动程度与温度有关。在分子层次上，理想气体满足如下条件：（1）分子本身的大小与分子之间平均距离相比可以忽略不计，分子可看作质点。（2）除碰撞的瞬间以外，分子之间的相互作用力可以忽略不计，分子所受的重力也忽略不计。（3）气体分子间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞为完全弹性碰撞。2. 理想气体压强与温度理想气体的压强公式其中， ，称分子平均平动动能，它表征了分子运动的剧烈程度。理想气体的温度公式温度公式表明，温度是大量分子热运动剧烈程度的标志。3. 阿伏伽德罗定律在相同的温度和压强下，各种气体在相同体积内所包含的分子数相同。4. 道尔顿分压定律混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。5. 麦克斯韦速率分布在平衡态下，气体分子服从如下麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦速率分布函数其表征了处于起点速率为的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。6. 分子速率的三种统计值 从麦克斯韦速率分布规律可以导出分子速率的三种统计值最概然速率表明气体分子速率并非从小到大平均分配，速率太大或太小的分子数很少，速率在附近的分子数最多。平均速率平均速率是描述分子运动状况的重要参量，为所有分子的速率之和除以总分子数。方均根速率7. 能量均分定理描述一个物体空间位置所需的独立坐标数称该物体的自由度。单原子分子的自由度为3，刚性双原子分子的自由度为5，非刚性双原子分子的自由度为6。能量均分定理在温度为T的气体中，分子热运动动能平均分配到分子的每个自由度上，每个自由度的平均动能都是。8. 理想气体的内能 每个气体分子的热运动动能以及分子与分子之间相互作用势能的和构成了气体的总能量，这个能量称为气体的内能。 1mol理想气体的内能为质量为M，摩尔质量为m 的理想气体的内能为由此可见，对于一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。9. 气体分子的输运规律气体的黏滞现象牛顿黏滞定律对气体同样适用其中，为气体黏度，f为作用在相互接触的两气层上的作用力，为两气层的作用面积。气体的热传导现象气体的热传导遵守如下的傅立叶热传导定律该定律表明，单位时间内沿x方向通过面积的热量与该方向上的温度梯度成正比，与面积也成正比。负号表示传热的方向与温度梯度的方向相反。其中的比例系数称热导率。气体分子的扩散气体扩散的基本规律是菲克扩散定律，其表达式为其中，D为比例系数，称扩散系数，负号表示气体分子扩散的方向与分子数密度梯度的方向相反。思考题 2-1 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为，分子数密度为，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。答：在球形容器内，分子运动的轨迹如图2-1中带箭头实线所示。设分子i的速率为，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动方向，不改变速度的大小，并且，“入射角”等于“反射角”。对分子i来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为，所以，该分子每秒内作用在器壁上的作用力为qqOR图2-1viq对于总数为N的全部分子（分子是全同的，每一个分子的质量均为m。）来说，球形内壁每秒内所受到的总作用力等于由于球形内壁的总面积为，气体的体积为。所以，按照压强的定义得证毕。2-2 对汽车轮胎打气，使之达到所需要的压强。在冬天与夏天，打入轮胎内的空气质量是否相同？为什么？答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高，空气分子的平均平动能较大；冬天气温低，空气分子的平均平动能较小。根据理想气体的压强公式可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。2-3 根据理想气体的温度公式，当K时，0。由此可推断，K(即273)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。答：这种看法是错误的。因为理想气体的温度公式只适用于理想气体，而在273时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自然也就是错误的。事实上，即使达到273，分子也还在作微小的振动，运动仍不会停止。2-4 范德瓦耳斯方程是从理论上推出的，更精确的昂内斯方程则是一个半经验方程。从形式上看，范德瓦耳斯方程可视为昂内斯方程的一个特例，请证明之。式（2-31）是由体积表达的昂内斯方程，你能否给出由压强表达的昂内斯方程？答：（1）由得整理得 令则，把、带入 此式即为昂内斯方程。（2）以压强展开的昂内斯方程为 2-5 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言，速率分布函数还可以有其他形式。但是，无论何种形式，它们的意义是相同的。设为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：（1） ； （2）； （3）； （4）。答：（1）表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的百分比。（2）表示速率分布在区间内的气体分子数。（3） 表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的百分比。（4） 表示速率分布在区间内的气体分子数。2-6 若引入无量纲的量，试证明麦克斯韦速率分布规律可表达为并由此说明的分子数与总分子数之比与温度无关。答：令，则带入麦克斯韦速度分布公式可得令，即有的分子数与总分子数之比即为u从01的分子数与与总分子数之比。于是，其比率为用分布积分法可解出由此可见，的分子数与总分子数之比与温度无关。2-7 气体分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个最大？那个最小？答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。在数值上，此三个速率大小关系是2-8 1mol的水蒸汽（H2O）分解成同温度的氧气和氢气，内能增加了百分之几？（提示：将水蒸汽视为理想气体，不计振动自由度，水蒸汽的自由度为6）答：由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为 根据理想气体的内能公式，分别计算H2O、H2、O2的内能为 根据化学方程式可知水分解后的内能E2为 水分解前的内能为 分解前后内能增量为于是，内能增加的百分比为2-9 若盛有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强和分子数密度各减为原来的一半，气体的内能和分子平均动能是否改变？为什么？答： 根据理想气体的温度公式由于温度不变，气体分子平均动能没有改变。但由于分子数密度减少了，容器中的气体质量减小，根据理想气体的内能公式 可知，气体的内能减少。2-10 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移？分子热运动和分子碰撞在迁移现象中起什么作用？答：在气体的迁移现象中本质上是气体的动量、能量或质量从一部分向另一部分的定向迁移。动量、能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰撞实现的。练习题2-1 每秒有1023个氧分子以500ms-1的速度沿与器壁法线成45角的方向撞在面积为m2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大? 解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为 每秒内全部N个分子对器壁的作用冲量，即冲力为根据压强定义式得：2-2 目前，真空设备内部的压强可达Pa，在此压强下温度为27时1m3体积中有多少个气体分子?解：由 得2-3 一个容器内储有氧气，其压强为Pa，温度为27，计算:(1)气体分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子平均平动动能；（4）分子间的平均距离（设分子均匀等距排列）。 解：由题意知 、（1） 分子数密度可由下式求出：（2） 设氧气分子的密度为，每个分子的质量为m,则 设分子的摩尔质量为，1mol气体所含的分子数为（阿伏伽德罗常数），则，将其带入上式得（3） 分子平均平动动能可由温度公式求出（4） 由分子数密度可知每一个分子所占据的空间为此空间为正方体，相邻的两个分子的间距即为2-4 kg的氢气装在m3的容器内，当容器内的压强为Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？解：由理想气体状态方程解出将其带入理想气体的温度公式可得 2-5 某些恒星的温度可达到K，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。在此温度下的恒星可视为由质子组成。试求（1）质子的平均动能；（2）质子的方均根速率。（提示：大量质子可视为由质点组成的理想气体）解：（1）将质子视为理想气体，由理想气体的温度公式得质子的平均动能为（2）质子的方均根速率可由下式求出2-6 在容积为1 m3的密闭容器内，有900g水和1.6kg的氧气。计算温度为500时容器中的压强。解：在500时，水变为水蒸汽，容器内的压强为 带入已知条件可得 2-7 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在地球表面上的逃逸速率（ ms-1），各需要多高的温度？若等于它们在月球表面上的逃逸速率（ ms-1），各需要多高的温度？解：已知氢气的摩尔质量为，氧气的摩尔质量为，由得当时，由上式可解出氢气分子所需要的温度为 氧气分子所需要的温度为当时，可解出氢气分子所需要的温度为 氧气分子所需要的温度为2-8 CO2气体的范德瓦耳斯常量，。0时其摩尔体积为，计算其压强。如果将其当作理想气体，压强又为多少？ 解：（1）由范德瓦耳斯方程解得带入已知数据得（2）若将气体当作理想气体，由可得2-9 质量为g的粒子悬浮在27的液体中，观测到它的方均根速率为1.40 cms-1 。（1）计算阿伏伽德罗常量；（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布，计算该粒子的平均速率。解:（1）将在液体中的粒子运动看作理想气体的运动，则由理想气体的温度公式可得由此解得（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布，由麦克斯韦速率分布规律可求出粒子的平均速率为2-10 由麦克斯韦速率分布计算速率倒数的平均值。解: 由麦克斯韦速率分布函数可得2-11 有N个粒子，其速率分布函数为 （0）（1） 画出该粒子的速率分布曲线（2） 由求出常量Ovf(v)Cvo图2-2（3） 求粒子的平均速率解: （1）粒子的速率分布曲线如图2-2所示（2） 由于由分布函数的归一化条件 ，得则（3） 粒子平均速率为2-12 用流体静力学原理及理想气体压强公式导出等温条件下单位体积中大气分子数随高度的变化为其中，为0处单位体积的分子数，为分子平均摩尔质量。解:由流体静力学可知，大气压强随高度的增加而减小，并且满足 其中，p为大气压强、Z为高度、为大气分子的密度、g 为重力加速度。将上式分离变量，可写为 设分子质量为m、分子数密度为n，则。将其带入上式，得由理想气体压强公式p=nkT，考虑到等温条件，可得dp=kTdn。将其带入上式 ，整理后可得 积分上式，并考虑到Z=0时，n=n0，可得 2-13 假定海平面处的大气压为Pa，大气等温并保持0，那么，珠穆朗玛峰顶（海拔8882m）处的大气压为多少？ 解：由大气压强公式可得：带入已知数据可得：2-14 储有氧气的容器以速率100ms-1运动，假设容器突然停止运动，全部定向运动的动能转变为气体分子热运动动能，容器中氧气的温度将上升多少? 解:设每一个分子的质量为m，1mol气体的质量为，总分子数为N，则全部分子的定向运动动能为 按照能量均分原理，每一个分子的热运动动能为 N个分子的热运动动能为温度变化时，热运动动能的增量为按题意，并考虑到氧气的自由度为5，可得即2-15 在容积为的容器中，有内能为J的刚性双原子分子理想气体。（1）计算气体的压强；（2）设分子总数为个，计算气体的温度和分子的平均平动动能。 解：（1）由理想气体状态方程和理想气体内能公式再考虑到，可得（