规律探寻与函数思想方法.doc

函数思想方法在规律探寻与简便计算中的应用 梁作印函数让数和形完美地结合在了一起，借助于函数解析式我们可以清晰地看到诸变量之间的数量关系。本文将重点探讨函数思想方法在规律探寻和简便计算方面的应用。3k+b=1804k+b=360我们先以多边形内角和公式的探究来体验函数思想方法的运用。先猜想多边形的内角和s与边数n是否成一次函数关系式：设内角和s与边数n的函数关系式是：s=kn+b。因为n=3时，y=180；n=4时，y=360。即解得k=180,y=-360即y=180n-360 验证：当n=5时，s=540,；n=6时，s=720均符合题意。此即n边形的内角和公式是：s=180n-360=（n-2）.180运用举例一，在规律探寻中的应用例一、右下图是按一定顺序排列的自然数，求第14行第二个数是多少？把问题转化为探究第n行的第一个数y与其所在行数n之间的函数关系式。12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28- - - - - - 先尝试一次函数关系式：y=nx+b。检验：把n=1，y=1；n=2，y=2带入解得k=1，b=0，即y=x，显然不符合题意于是尝试二次函数，设y=an2+bn+c把n=1，y=1；n=2，y=2；n=3,y=4带入y=an2+bn+c解得 a=,b=-,c=1即y=n2-n+1检验：把n=4带入得y=7,把n=5带入得y=11，符合题意。所以当n=14时，y=92，即14行的第二个数就是93.新学号（y）15913旧学号（x）1234例二、新学期开学后，学生的新旧学号发生了如下对应的变化：试问旧学号是30的同学现在的学号是多少？先看是否满足一次函数关系，设y=kx+b把x=1,y=1,x=2,y=5带入解得：k=4,b=-3.即y=4x-3.验证：把x=3带入y=4x-3解得y=9；把x=4带入得y=13.符合题意。所以y=4x-3即为所求函数关系式。把x=30带入y=4x-3得y=117，旧学号是30的同学新学号是117.例三、下图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，按此规律摆下去，则第n个图案要多少个小棒分析：设小棒的个数y与n的关系是y=kn+b显然当n=1时，y=4；当n=2时，y=10，带入y=kn+b解得k=6，b=-2.即y与n的关系是y=6n-2检验：当n=3时，y=16；n=4时，y=22.均符合题意故第n个图案需要6n-2个小棒。图形周长581114梯形个数1234练习： 观察图形和所给表格中的数据回答，当梯形的个数是16时，梯形的周长是多少？ 应用2：在简便计算中应用例1、求2+4+6+8+10+12+-+1000值。分析：原式可化为y=2（1+2+3+4+-+500）k+b=22k+b=6设和（y）与项数（x）之间的函数关系式是y=kx+b把x=1,y=2,x=2,y=6带入y=kx+b得解得：k=4,b=-2.即y=4x-2验证：当x=3时，y=10与题意不符。尝试二次函数关系式：设y=kx2+bx+c把x=1,y=2；x=2,y=6；x=3,y=12带入y=kx2+bx+c解得k=1，b=1，c=0.即y=x2+x把x=500带入y=x2+x=5002+500=2505002、两个人握手，握一次；三个人两两握手握三次；四个人两两握手握6次-探究50个人两两握手我多少次？分析：先猜想握手次数s与人数n成一次函数关系s=kn+b。把n=2，s=1；n=3，s=3带入s=kn+b解得：k=2，b=-3即s=2n-3检验：当n=4时，s=24-3=56，与事实不符。尝试二次函数关系式：y=an2+bn+c把n=2，s=1；n=3，s=3；n=4，y=6带入y=an2+bn+c解得a=,b=-,c=0；所以y=n2-n=n（n-1）检验：把n=5、n=6分别带入y=n（n-1）得y=10和y=15均符合题意。所以当n=50时，s=n（n-1）=50（50-1）=1225.练习：1、计算1+3+5+7+-+999值（提示：总项数n=（首数+尾数）2） 答案：y=n2=（）2 2、从同一端点发出两条射线，构成一个角，发出三条射线构成三个角-用函数思想方法探究角的个数s与射线条数n之间的关系。（提示：类比握手问题答案：s=n（n-1） 拓展：借助于下图规律探寻我们可以得出连续自然数的平方和公式，即计算：12+32+42+52+- - - - -+n2如图：当边长为11时,正方形的个数为1个，当正方形的边长为22时正方形的个数为5个-如图：试探究正方形的个数y与大正方形边长x之间的关系通过尝试可以发现正方形的个数y与边长x之间不是一次函数关系，也不是二次函数关系，故可设y=ax3+bx2+cx+d其中有四个未知数，所以要用四对有序实数(x，y)带入y=ax3+bx2+cx+d反解出a、b、c、d的值。过程略答案：y=（2n3+3n2+n）=n(n+1)(2n+1)归纳：综上所述，我们发现在运用函数思想方法探究规律时， 大致遵循以下流程：尝试一次函数关系 验证 与题意不符 尝试二次函数关系式 与题意不符 尝试三次函数关系（待定系数式为y=ax3+bx2+cx+d）由于这是一种不完全归纳，所以一定要对所探究的函数关系式进行验证。因为我们所探究的规律一般不会超过四次，所以在我们的难度要求范围内，再验证任意2对点基本上就可以了。函数的本质是讨论数与数之间的关系，所以很多实际问