一维反铁磁的高斯模型_王利东.pdf.doc

首都师范大学学报(自然科学版)第 28 卷 第 2 期Journal of Capital Normal UniversityNo .22007 年 4 月(Natural Science Edition)Apr .2007一维反铁磁的高斯模型王利东1 孔祥木2 姜宏伟1 郑 鹉1 王艾玲1 刘立峰1(1 .首都师范大学物理系, 北京 100037 ;2.中科院交叉科学理论研究中心, 北京 100080)摘要利用求严格解和坐标空间重正化群两种方法, 研究了只考虑近邻相互作用的一维反铁磁高斯模型, 发现一维 反铁磁高斯系统同一维铁磁高斯系统一样, 也存在有限大小温度的相变.利用傅里叶变换的方法计算出了严格的 配分函数, 进而求出了系统的自由能, 由自由能函数的奇异点, 得到了系统的临界温度.应用坐标空间重正化群和 自旋重标相结合的方法求出了系统的临界温度, 得到了与严格计算相同的结果.关键词:高斯模型, 反铁磁, 相变, 重正化群.中图分类号 :O4690 引 言一维 Ising 模型 1 是 Ising 于 1925 年解决的 ,证明了一维情况没有相变.二维模型首先是Onsager 于 1944 年所解, 而三维模型至今未解出 2 .高斯模型 对解释二维的铁磁系统的相变现象给出了与平均场 理论一样的结果 ,但高斯模型有一个优点就是可以 严格求解.七十年代,Wilson 建立了重正化群理论 , 在统计物理基础上论证了标度假设, 提供了从微观 上计算临界指数的系统方法 3 .因此高斯模型也可 用坐标或动量空间重正化群的方法求解 .人们对自旋变量取连续值的铁磁高斯模型已做 了大量的研究, 本文研究的是一维反铁磁的高斯模 型.一维高斯模型 4 是指在一维正规晶格的每个格 点上放置一个高斯自旋, 自旋变量取实数,而且自旋 变量取值有一定的几率 .自旋变量可以用 S 表示 , 两个自旋变量 S1 和 S2 之间的相互作用能为 -JS1 S2 ,J 为交换积分 .当 J 0 时 , 如果自旋取向 一致, 此时能量取值最低 , 称这个系统为铁磁性系 统.当 J 0 时, 如果自旋取向相反, 此时能量取值 最低 ,称此系统为反铁磁性系统.本文研究的是只考 虑近邻自旋变量之间相互作用的反铁磁高斯模型 . 对反铁磁系统是否存在相变还存在争议, 有报道称收稿日期:2006-11-08一维长程作用下反铁磁伊辛系统在任意有限温度下 均不能发生相变,与铁磁情况不同 5 .为了解决这个 问题下面分别用两种方法求严格解和坐标空间重 正化群来计算 .1 一维反铁磁高斯系统的严格解求严格解的方法是通过直接计算配分函数求出 自由能函数,进而由函数的奇异性来分析反铁磁高 斯系统的相变情况 .1.1 一维反铁磁高斯模型设一维反铁磁高斯系统是由 N 个格点组成的 一维点阵 ,自旋变量用 Si (i =1 .2.3N)来表示.体 系任意一个具体微观状态在无外磁场存在下的哈密顿量为 H =-J SiSj(-Si , Sj +, J 0).其中 表示对一切最近邻自旋变量相互 作用能的求和 .高斯模型的几率函数为Nb 2P = i=1e-2 s i(b 0, - Si +),则系统的正则配分函数 6为 iZ= -+ -+ dSie -HP =-+-+NdSiexp K SiSj -bS2i . (1)2 ii令K =kJBT , K 为简化的近邻相互作用参量, kB 为28第 2 期王利东等:一维反铁磁的高斯模型Boltzman 常数 , T 是热力学温度 .因为一维晶格的配 位数(即与一格点最近邻的格点数)为 2 , 我们可取 有效哈密顿量为1bN2H =i,jK(xi -xj )SiSj -iS i .221.2 配分函数通过傅里叶变换把(1)式系统配分函数中的指数项转换成平方项的和, 从而把配分函数直接积分 出来 ,这一步很关键 ,积分出的结果将直接决定反铁 磁高斯系统有没有相变.对自旋变量进行傅氏变换得NSi =1qSqeiqxi , Sq =a i=1Sie-iqxi . (2)=Na 为总体积 , N 为元胞总数 , a 为元胞体积,对 i 求和遍及N 个元胞 , 对 q 求和遍及倒格子空间的 第一布里渊区, 所以-qi .(3)aa由周期性边界条件得 qNa =2 n 代入上式得 -a2 n -N n 0 , a 为晶格常数).(8)1.3 自由能体系的总自由能 7 表示为F =-kB TlnZ =-1kBT qln(b -K(q)+2C (C 为常数项).(9)K(q)=K e-iqij , 显然 ij =(a ,0),ijK(q)=K(e-iqa +eiqa )=2Kcosqa . (10) (9)式中自由能函数存在奇异性, 奇异性出现在 b -K(q)0 时(b 0)由(10)知当 q =-时 ,K(q)最a大为 -2K , b =-2K , K =-b, 即-J=bTc =kBTc22-k2BJb(J 0)(设 Tc 为一维反铁磁高斯系统的相变 温度),所以一维反铁磁斯系统存在相变现象.2 用重正化群方法来研究反铁磁高斯 模型重正化群的基本思想 7 是:在临界点 ,关联长度 趋于无穷大.因此 , 体系应具有尺度变换下的不变 性.由此, 不去直接计算配分函数 , 而是找出尺度变 换下的不变性 ,从而确定临界点.对一维高斯模型可29首都师范大学学报(自然科学版)2007 年简单的叙述为:将一维链格点偶数位置上的自旋去 掉后其形状仍然与变换前的形状相似, 只是自旋间 的距离变大了一些, 通常也称为“粗粒化” .通过此变 换找出变换前后有效哈密顿量对应项前面的系数关 系即 K与K 关系, 即找出重正化群变换公式 , 从而 确定不动点,找出发生相变时的临界温度 Tc .2.1 Decimation 方法Decimation 方法即通过选择性求和 ,消去某些自 旋变量.本文选择两个相邻格点自旋构成集团 ,规定 单数格点位置上的自旋作为集团的自旋变量 , 而把 双数位置上的自旋视为“内部自由度” , 并通过求和 消去 .集团间的最小距离变为 2a ,即变换尺度 L =2 .总集团数 N=LNd =N2 , d 为维数, 本文讨论的是一维情况即 d =1 . 消内部自由度即对配分函数偶数位置上的自旋积分 ,由(1)式得+b2NZ = - - dSiK SiSj -S i2 ii+=-dS1 dS3 dS5 -dS2 dS4 dS6 exp K(S1 S2+S2 S 3+S 3 S4 +)-b2222-(S 1 +S 2 +S 3+SN ) ,2偶数项的积分类似, 以积 dS2 为例 ,与 S 2 无关的可以直接提到前面 ,+dS2 e-K(S 1+S3)S2 -b2 S22 -K23+22K2=e 2b(S1 +S3)-dS2 e-bS 2+b (S 1+S3)K222 12 .=e 2b(S1+S3)b所以体系的配分函数变为2 N+Z =4-dS1 dS3 dS5bb22K 22+2e-2(S1+S 3+)+2b(S +S3)+(S 3+S5) +(SN +SN+1)2 N+=4-dS1 dS3 dS5bK2b2K2i jeb-2Si+bSi Sji =1 ,3 ,5 , i , j =1,3 ,5 , .(其中用到周期性边界条件, S 1 =SN +1), S 1 , S3 , S 5 , S7 分别 x1 , x2 , x3 , x4 代替, 有效哈密顿量 变为K2K2b2H = b i,jxixj +-ixi. (11)b2高斯模型的几率函数自旋平方项前面的系数应保持 不变仍为 -b2 ,所以需要自旋重标 .令新的自旋变量 为:Si=xi , 为待定的实系数 ,有效哈密顿量变为b2H=K SiSj-Si与(11)比较等号右边的2i,ji第二项可得-b =K2-b 得22b2= 1 -2K2-1K0 即 J 0 ,经过重正化群变换后, 反铁磁高斯系统变成了 铁磁高斯系统 .因此要确定反铁磁高斯系统的不动 点, 需要首先确定出铁磁高斯系统的不动点 ,而此不 动点已经解出 ,其计算过程与前面的类似, 设铁磁高 斯系统经过重正化群变换后的新参量为 KK=J,J0 , 其重正化群变换公式为 K= kB T2bbK,令 K=K代入前式得K=(0 , -b 要22b -2K2舍去),K为铁磁高斯系统的不动点,将 K代入(13) 式得 K =-b2 b2 舍去 此时 K 即为反铁磁高斯系 统的不动点.3 结 论由第二种方法得到 K =-b2 与前一种方法求得 的结果一致,K =kBJTc (J 0 , Tc 设为临界温度)求得T =-2J 0 .如果配分函数不能直接积出或积分ckBb很困难的 ,重正化群则是一种方便的方法.两种方法 都得到了一维反铁磁系统存在相变 ,这与考虑长程30第 2 期王利东等:一维反铁磁的高斯模型相互作用的一维铁磁高斯模型 8 得到的结果一样.参 考 文 献 1 高执棣, 郭国霖.统计热力学导论 M .北京:北京大学出版社, 2004 :344-360 . 2 伍法岳, 杨展如.相变与临界现象()-Ising 模型 J .物理学进展, 1981, 1 :10-26. 3 Stanley H E.Introdudtion to Phase Transitious and Critical Phenomena J .物理学进展, 1985, 5:1-28 . 4 北京大学物理学量子统计物理学编写组.量子统计物理学 M .北京:北京大学出版社, 1987:380-406. 5 张金珊.一维长程相互作用反铁磁伊辛系统的相变问题.北京师范大学学报 J .1999 , 59(9):356-360. 6 汪志诚.热力学与统计物理 M .北京:高等教育出版社, 1982:107 -144. 7 苏汝铿.统计物理学 M .北京:高等教育出版社, 2004:380 -401. 8 王春阳, 孔祥木.长程系统作用下 Gass 系统的临界温度 J .物理学报, 2005, 59(9):4365-4369 .NE-Dimentional AntiferromagneticGaussian ModelWang Lidong1 Kong Xiangmu2 Jiang Hongwei1 Zhengwu1 Wang Ailing1 Liu Lifeng1(1 Department of Physics , Capital Normal University, Beijing 10037 , China;2 Department of Physics and Engineering, Qufu Teaching University , Shangdong 273165 , China)AbstractBy utilizing two methods of asking strict solution and coordinate space renormalization ,study ferromagnetic Gaussian model of one dimension which only considers near neighbour s interaction ,find the antiferromagnetic Gaussian model of one dimension is similar to the ferromagnetic Gaussian model of one dimension , which has limited temperature phase transition .Calculate out the strict partition function in method of utilizing Fourier to spin variable ,and then has asked out the systematic free energy ,through the singular point of free energy function , have got the systematic critical temperatrue . Use coordinate space renomalization and spin replot combined together to ask out the systematic critical temperature again , have got the same result to the one by the method of caculating strictly .Key words:the Gaussian model , Antiferromagnetic , Phase transition , Renormalization .(上接第 101 页)Des