2010高考试题分类-函数(教师).doc

第一部分 函数的概念及表示方法 函数的定义域 值域 1 1 20102010 广东文数 广东文数 2 函数 1lg xxf的定义域是 A 2 B 1 C 1 D 2 解 01 x 得1 x 选 B 2 2010 湖北文数 湖北文数 5 函数 0 5 1 log 43 y x 的定义域为 A 3 4 1 B 3 4 C 1 D 3 4 1 1 3 2010 湖北文数 湖北文数 3 已知函数 3 log 0 2 0 x x x f x x 则 1 9 f f A 4B 1 4 C 4D 1 4 答案 B 解析 根据分段函数可得 3 11 log2 99 f 则 2 11 2 2 94 f ff 所以 B 正确 4 2010 重庆文数 4 函数164xy 的值域是 A 0 B 0 4 C 0 4 D 0 4 解析 40 0164161640 4 xxx 5 2010 山东文数 山东文数 3 函数 2 log31 x f x 的值域为 A 0 B 0 C 1 D 1 答案 A 6 6 20102010 天津文数 天津文数 10 设函数 2 2 g xxxR 4 g x xx g x g xx x g x f x 则 f x的值域是 A 9 0 1 4 B 0 C 9 4 D 9 0 2 4 答案 D 解析 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法 属于 难题 依题意知 22 22 2 4 2 2 2 xxxx f x xx xx 2 2 2 12 2 12 xxx f x xxx 或 7 2010 浙江理数 浙江理数 10 设函数的集合 2 11 log 0 1 1 0 1 22 Pf xxab ab 平面上点的集合 11 0 1 1 0 1 22 Qx y xy 则在同一直角坐标系中 P中函数 f x的图 象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 A 4 B 6 C 8 D 10 解析 当 a 0 b 0 a 0 b 1 a 2 1 b 0 a 2 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 时满足题意 故答案选 B 本题主要考察了函数的概念 定义域 值域 图像和对数函数的相关知识点 对数学 素养有较高要求 体现了对能力的考察 属中档题 8 8 20102010 陕西文数 陕西文数 13 已知函数f x 2 32 1 1 xx xax x 若f f 0 4a 则实数 a 2 解析 f 0 2 f f 0 f 2 4 2a 4a 所以 a 2 9 2010 重庆文数 12 已知0t 则函数 2 41tt y t 的最小值为 解析 2 411 42 0 tt ytt tt 当且仅当1t 时 min 2y 1010 20102010 天津文数 天津文数 16 设函数 f x x 1 x 对任意 x 1 f m x m f x 0恒 成立 则实数 m 的取值范围是 答案 m0 由复合函数的单调性可知 f mx 和 mf x 均为增函数 此时不符合题意 M1 解得 m0 所以 m f 2 0 故 正确 经分析 容易得出 也正确 命题意图 本题考查函数的性质与充要条件 熟练基础知识是解答好本题的关键 14 2010 上海文上海文 2222 本题共有 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 5 5 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分 分 若实数x y m满足xmym 则称x比y接近m 1 若 2 1x 比 3 接近 0 求x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数a b 证明 22 a bab 比 33 ab 接近2ab ab 3 已知函数 f x的定义域 D x xkkZ xR 任取xD f x等于 1 sin x 和1 sin x 中接近 0 的那个值 写出函数 f x的解析式 并指出它的奇偶性 最 小正周期 最小值和单调性 结论不要求证明 解析 1 x 2 2 2 对任意两个不相等的正数 a b 有 22 2a babab ab 33 2abab ab 因为 22332 2 2 0a babab ababab abab ab 所以 2233 2 2 a babab ababab ab 即 a2b ab2比 a3 b3接近2ab ab 3 1sin 2 2 1 sin 1sin 2 2 xxkk f xx xk xxkk k Z f x 是偶函数 f x 是周期函数 最小正周期 T 函数 f x 的最小值为 0 函数 f x 在区间 2 kk 单调递增 在区间 2 kk 单调递减 k Z 第三部分 一次函数和二次函数 函数与方程 1 1 20102010 辽宁文数 辽宁文数 4 已知0a 函数 2 f xaxbxc 若 0 x满足关于x的方 程20axb 则下列选项的命题中为假命题的是 A 0 xR f xf x B 0 xR f xf x C 0 xR f xf x D 0 xR f xf x 解析 选 C 函数 f x的最小值是 0 2 b ff x a 等价于 0 xR f xf x 所以命题C错误 2 2010 浙江文数 浙江文数 9 已知 x 是函数 f x 2x 1 1x 的一个零点 若 1 x 1 0 x 2 x 0 x 则 A f 1 x 0 f 2 x 0 B f 1 x 0 f 2 x 0 C f 1 x 0 f 2 x 0 D f 1 x 0 f 2 x 0 解析 选 B 考察了数形结合的思想 以及函数零点的概念和零点的判断 属中档题 3 2010 四川理数 四川理数 4 函数 f x x2 mx 1 的图像关于直线 x 1 对称的充要条件是 A 2m B 2m C 1m D 1m 解析 函数 f x x2 mx 1 的对称轴为 x 2 m 于是 2 m 1 m 2 答案 A 4 4 20102010 天津文数 天津文数 4 函数 f x 2 x ex 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 C 解析 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用 属于容易题 因为 f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 选 C 温馨提示 函数零点附近函数值的符号相反 这类选择题通常采用代入排除的方法求 解 5 2010 安徽理数 安徽理数 6 设0abc 二次函数 2 f xaxbxc 的图象可能是 6 D 解析 当0a 时 b c同号 C D 两图中0c 故0 0 2 b b a 选项 D 符合 方法技巧 根据二次函数图像开口向上或向下 分0a 或0a 两种情况分类考虑 另 外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位 置等 6 6 20102010 福建理数 福建理数 4 函数 2 x 2x 3 x0 x 2 lnx x 0 f 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 当0 x 时 令 2 230 xx 解得3x 当0 x 时 令2ln0 x 解得100 x 所以已知函数有两个零点 选 C 命题意图 本题考查分段函数零点的求法 考查了分类讨论的数学思想 7 2010 湖南理数 湖南理数 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 f xxbxc b cR 对任意的xR 恒有 fx f x 证明 当0 x 时 2 f xxc 若对满足题设条件的任意 b c 不等式 22 f cf bM cb 恒成立 求 M 的最小值 解析 解析 第四部分 指数与指数函数 对数与对数函数 幂函数 1 2010 四川理数 四川理数 3 2log510 log50 25 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 2log510 log50 25 log5100 log50 25 log525 2 答案 C 2 2 20102010 陕西文数 陕西文数 7 下列四类函数中 个有性质 对任意的x 0 y 0 函数f x 满足 f x y f x f y 的是 C A 幂函数 B 对数函数 C 指数函数 D 余弦函数 解析 本题考查幂的运算性质 yxfaaayfxf yxyx 3 3 20102010 辽宁文数 辽宁文数 10 设25 ab m 且 11 2 ab 则m A 10 B 10 C 20 D 100 解析 选 A 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 又0 10 mm 4 2010 安徽文数 安徽文数 7 设 232 555 322 555 abc 则 a b c 的大小关系是 A a c b B a b c C c a b D b c a 7 A 解析 2 5 yx 在0 x 时是增函数 所以ac 2 5 x y 在0 x 时是减函数 所以 cb 方法总结 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来 5 5 20102010 天津文数 天津文数 6 设 5 54 alog 4blogclog 2 5 3 则 A a c b B b c a C a b c D b a c 答案 D 解析 本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法 属于容易题 因为 5 0log 41 所以b af a 则实数 a 的取 值范围是 A 1 0 0 1 B 1 1 C 1 0 1 D 1 0 1 答案 C 解析 本题主要考查函数的对数的单调性 对数的基本运算及分类讨论思想 属于中 等题 由分段函数的表达式知 需要对 a 的正负进行分类讨论 2112 22 0a 0 logloglog log a f afa aaaa 或 00 1 10 11 2 aa aa aa a 或或 温馨提示 分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解 解对数不等式既要注意真 数大于 0 同事要注意底数在 0 1 上时 不等号的方向不要写错 7 7 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 7 已知函数 lg f xx 若ab 且 f af b 则 ab 的取值范围是 A 1 B 1 C 2 D 2 7 C 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在 做本小题时极易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a b 1 2a a 从而错选 D 这也是命题者的用苦良心之处 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 1 b a 所以 a b 1 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 1 2 即 a b 的取值范围是 2 解析 2 由 0 a b 且f a f b 得 01 1 1 a b ab 利用线性规划得 01 1 1 x y xy 化为 求zxy 的取值范围问题 zxyyxz 2 11 1yy xx 过 点 1 1时 z 最小为 2 C 2 第五部分 函数的图像 函数的应用 1 2010 山东文数 山东文数 11 函数 2 2xyx 的图像大致是 答案 A 2 2010 山东文数 山东文数 8 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 3 1 81234 3 yxx 则使该生产厂家获得最大年利润的年产 量为 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案 C 3 2010 湖南文数 湖南文数 8 函数 y ax2 bx 与 y log b a x ab 0 a b 在同一直角坐标系 中的图像可能是 D 4 4 20102010 陕西文数 陕西文数 10 某学校要招开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表人数y与该 班人数x之间的函数关系用取整函数y x x 表示不大于x的最大整数 可以表示为 B A y 10 x B y 3 10 x C y 4 10 x D y 5 10 x 解析 法一 特殊取值法 若 x 56 y 5 排除 C D 若 x 57 y 6 排除 A 所以选 B 法二 设 90 10 mx 时 1010 3 10 3 60 x mm x 1 10 1 10 3 10 3 96 x mm x 时当 所以选 B 5 5 20102010 江西理数 江西理数 12 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水 面 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 00S tS 则导函数 yS t 的图像大致为 答案 A 解析 本题考查函数图像 导数图 导数的实际意义等知识 重点考查的是对数学的 探究能力和应用能力 最初零时刻和最后终点时刻没有变化 导数取零 排除 C 总面积 一直保持增加 没有负的改变量 排除 B 考察 A D 的差异在于两肩位置的改变是否平 滑 考虑到导数的意义 判断此时面积改变为突变 产生中断 选择 A 6 2010 湖南理数 湖南理数 8 用表示 a b 两数中的最小值 若函数 的图像关于直线 x 1 2 对称 则 t 的值为 A 2 B 2 C 1 D 1 7 7 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 15 直线1y 与曲线 2 yxxa 有四个交点 则a的取值 范围是 8 2010 浙江文数 浙江文数 16 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元 预测六月份 销售额为 500 万元 七月份销售额比六月份递增 x 八月份销售额比七月份递增 x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元 则 x 的最小值 答案 20 9 2010 江苏卷 江苏卷 14 将边长为 1m 正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记 2 S 梯形的周长 梯形的面积 则 S 的最小值是 解析 考查函数中的建模应用 等价转化思想 一题多解 设设剪成的小正小正三角形的边长为x 则 22 2 3 4 3 01 1133 1 1 22 xx Sx x xx 方法一 利用导数求函数最小值 方法一 利用导数求函数最小值 2 2 4 3 13 x S x x 22 22 4 26 1 3 2 1 3 xxxx S x x 22 2222 4 26 1 3 2 42 31 3 1 1 33 xxxxxx xx 1 0 01 3 S xxx 当 1 0 3 x 时 0 S x 递减 当 1 1 3 x 时 0 S x 递增 故当 1 3 x 时 S 的最小值是 32 3 3 方法二 利用函数的方法求最小值 方法二 利用函数的方法求最小值 令令 11 1 3 2 3 3 2 xt t t 则 则 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt 故当 131 83 x t 时 S 的最小值是 32 3 3 10 2010 湖北文数 湖北文数 19 本小题满分 12 分 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a 单位 m2 其中有部分旧住房需要 拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10 建设新住房 同事也拆除面积 为 b 单位 m2 的旧住房 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30 则每 年拆除的旧住房面积 b 是多少 计算时取 1 15 1 6 11 2010 湖北理数 湖北理数 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物 每年的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足关系 C x 010 35 k x x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 第六部分 导数 导数运算 导数的其应用 定积分与微积分基本定理 1 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 7 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程是 10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 解析解析 A A 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线在切线 10 xy 1b 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的 三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 答案 A 命题意图 本试题主要考查求导法则 导数的几何意义 切线的求法和三角形的面积 公式 考查考生的计算能力 解析 33 22 11 22 yxka 切线方程是 13 22 1 2 yaaxa 令0 x 1 2 3 2 ya 令0y 3xa 三角形的面积是 1 2 13 318 22 saa 解得64a 故选 A 3 3 20102010 辽宁文数 辽宁文数 12 已知点P在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点P处的切线的倾 斜角 则 的取值范围是 A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 解析 选 D 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即1tan0 3 4 4 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x x 3 3ax 2 3x 1 设 a 2 求 f x 的单调期间 设 f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求 a 的取值范围 解析解析 本题考查了导数在函数性质中的应用 主要考查了用导数研究函数的单调区间 本题考查了导数在函数性质中的应用 主要考查了用导数研究函数的单调区间 极值及函数与方程的知识 极值及函数与方程的知识 1 1 求出函数的导数 由导数大于 求出函数的导数 由导数大于 0 0 可求得增区间 由导数小于 可求得增区间 由导数小于 0 0 可求得减区间 可求得减区间 2 2 求出函数的导数 求出函数的导数 fx 在 在 2 2 3 3 内有极值 即为 内有极值 即为 fx 在 在 2 2 3 3 内有一个零 内有一个零 点 即可根据点 即可根据 2 3 0ff 即可求出 即可求出 A A 的取值范围 的取值范围 5 2010 安徽文数 安徽文数 20 本小题满分 12 分 设函数 sincos1f xxxx 0 2 x 求函数 f x的单调区间与极值 命题意图 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值的方法 考查综 合应用数学知识解决问题的能力 解题指导 1 对函数 sincos1f xxxx 求导 对导函数用辅助角公式变形 利用导数等于 0 得极值点 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负 判断区间的 单调性 求极值 12 4 23 0 422 xx xxxx xx 解 由f x si nx cosx x 1 0 x0 为单调递增区 间 最大值在右端点取到 max 1 1 2 ffa 7 7 20102010 重庆文数 重庆文数 19 19 本小题满分本小题满分 1212 分分 小问小问 5 5 分 分 小问小问 7 7 分分 已知函数 32 f xaxxbx 其中常数 a b R g xf xfx 是奇函数 求 f x的表达式 讨论 g x的单调性 并求 g x在区间 1 2 上的最大值和最小值 8 8 20102010 天津文数 天津文数 20 本小题满分 12 分 已知函数 f x 32 3 1 2 axxxR 其中 a 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析 本小题主要考查曲线的切线方程 利用导数研究函数的单调性与极值 解不等 式等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 当 a 1 时 f x 32 3 xx1 2 f 2 3 f x 2 33xx f 2 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 f x 2 333 1 axxx ax 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 11 0a2 a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x A 极大值A 当 1 1 xfx 2 2 时 0等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 11 0 a2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0 等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a0 由已知得 x alnx 1 2 x a x 解德 a 2 e x e2 两条曲线交点的坐标为 e2 e 切线的斜率为 k f e2 1 2e 切线的方程为 y e 1 2e x e2 2 由条件知 当 a 0 时 令h x 0 解得 x 2 4a 所以当 0 x 2 4a时 h x 2 4a时 h x 0 h x 在 0 2 4a 上递增 所以x 2 4a是h x 在 0 上的唯一极致点 且是极小值点 从而也是h x 的最 小值点 所以 a h 2 4a 2a aln 2 4a 2 当 a 0 时 h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故 h x 的最小值 a 的解析式为 2a 1 ln2a