虚位移原理(1).ppt

1 虚位移原理 教案2005 5 26 2 内容提要 14 1 1 约束的分类约束的定义双面约束与单面约束定常约束与非定常约束完整约束与非完整约束14补充 自由度与广义坐标自由度广义坐标 14 1 2 虚位移14 1 3虚功14 1 4 理想约束理想约束的定义光滑接触面连接两刚体的光滑铰链连接两质点的无住重刚杆 3 14 1 1 约束 1 约束及其分类 当质点或质点系中的某些质点运动时 受到某些事先给定的几何上或运动学上的限制条件 这些限制条件称为质点或质点系的约束 1 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束 限制质点或质点系运动情况的运动学条件 称为运动约束 4 例14 1 圆盘C在粗糙的平面上作纯滚动 y R表示圆盘C受到几何上的限制 vc R 表示圆盘C受到运动学上的限制 约束是指事先给定的限制条件 它与作用力 起始条件以及运动的其他条件无关 5 受有约束的质点系为非自由质点系 约束加于质点或质点系的限制条件 可以利用几何学和运动学知识 写成具体的数学表达式 这样的数学表达式称为约束方程 例14 2 曲柄连杆机构的约束方程为 x12 y12 r2 x1 x2 2 y12 l2y2 0 不受任何约束的质点系为自由质点系 它可以在主动力作用下作空间任意运动 6 右图中摆锤A的约束方程为x2 y2 l2 在约束方程中用严格的等号表示的约束为双面约束 这种约束如能限制物体向某一方向运动 则必能限制向相反方向运动 在约束方程中用不等号表示的约束为单面约束 这种约束只能限制物体某个方向的运动 而不能限制相反方向的运动 左图中摆锤A的约束方程为 2 双面约束与单面约束 7 如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的 或包含坐标对时间的导数但能积分成有限形式的 则这种约束称为完整约束 如上面所举各例 完整约束方程的一般形式为 x1 y1 z1 xn yn zn t 0 1 2 s 如果在约束方程中不显含时间t 既约束不随时间而改变 这种约束称为定常约束 如上面所举二例 如左图圆周的半径随时间改变 约束方程为x2 y2 r at 2 如果在约束方程中显含时间t 既约束随时间而改变 这种约束称为非定常约束 如上面举例 4 完整约束与非完整约束 3 定常约束与非定常约束 8 如果约束方程中不仅含有坐标 还含有坐标对时间的导数 且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式 则这种约束称为非完整约束 其一般形式为 因为完整约束方程中仅含坐标 它表现为对质点系的几何位置起限制作用 所以这种约束又称为几何约束 因为非完整约束方程中包含有速度投影量 它仅表现为对质点速度所加的限制 所以这种约束又称为运动约束 x1 y1 z1 xn yn zn t 0 1 2 s 本单元内容只涉及定常的 双面的完整约束 9 解 由质点距离不变的条件写出M1和M2的约束方程 x1 x2 2 y1 y2 2 l2 由点C的速度vc必须沿杆的方向的条件写出约束方程 或 例题14 3 平面上两个质点M1和M2质量相等 由一长为l不计质量的刚性杆连接 运动中杆中点C的速度只可以沿着杆的方向如图所示 写出质点M1和M2及中点C的约束方程 10 补充 自由度与广义坐标 1 自由度在完整约束的条件下 用来确定质点系在空间的位置所需独立坐标的个数 称为质点的自由度或自由度数 一个由n个质点组成的质点系在平面内的位置 在直角坐标系中需用2n个坐标来确定 如果质点系受有s个完整约束 则质点系的2n个坐标必须满足s个约束方程 因此质点系只有k 2n s个坐标是独立的 例题14 4 确定右图所示系统的约束数 xo 0yo 0yB 0 xA2 yA2 r2 xA xB 2 yA2 l2k 2 3 5 1 11 例题14 5 求右图所示双摆的自由度 系统由3个质点组成 受4个约束 xO 0yO 0 xA2 yA2 l12 xA xB 2 yA yB 2 l22 k 2 3 4 2 12 2 广义坐标 唯一地确定质点系位置的独立参数 称为广义坐标 例题14 4 确定右图的广义坐标 xA l1sin 1yA l1cos 1xB l1sin 1 l2sin 2yB l1cos 1 l2cos 2 解 可取 1和 2为广义坐标来确定系统的位置 这时A和B点的直角坐标与广义坐标的关系为 13 在一般情况下 若一个由n个质点组成的质点系 受s个定常的完整约束 则系统具有k 2n s个自由度 如以q1 q2 qk表示所选定的广义坐标 则质点系中任一质点Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数 xi xi q1 q2 qk yi yi q1 q2 qk i 1 2 n ri ri q1 q2 qk i 1 2 n 显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数 14 例题14 5 分别确定下列结构的自由度和广义坐标 1 长为l的刚杆 2 用三根长为l的刚杆铰接的三角形结构 3 用四根长为l的刚杆铰接的四边形结构 解 1 约束方程为 xA xB 2 yA yB 2 l2 自由度为 k 2 2 1 3 广义坐标为 x y rA xi yj rB x lcos i y lsin j x y 15 2 约束方程为 xA xB 2 yA yB 2 l2 xA xC 2 yA yC 2 l2 xB xC 2 yB yC 2 l2 自由度为 k 2 3 3 3 广义坐标为 x y rA xi yj rB x lcos i y lsin j rC x lcos 60o i y lsin 60o j 显然用三根长为l的刚杆铰接的三角形结构可以视为一根刚杆 x y 16 3 约束方程为 xA xB 2 yA yB 2 l2 xA xD 2 yA yD 2 l2 xB xC 2 yB yC 2 l2 广义坐标为 x y rA xi yj rB x lcos i y lsin j rC x l cos sin i y l sin cos j xC xD 2 yC yD 2 l2 rD x lsin i y lcos j x y 17 14 1 3 虚位移 虚位移 质点或质点系在给定瞬时 为约束所容许的任何微小的位移 称为质点或质点系的虚位移 记为 r 虚位移只是一个几何概念 它完全由约束的性质及其限制的条件所决定 它只是约束所容许的可能发生而实际不一定发生的位移 它与作用力无关 与时间无关 它可以有多种不同的方向 它必须是微小量 实位移是质点或质点系在力的作用下 在一定时间间隔内实际发生的位移 它有确定的方向 它可以是微小量 也可以是有限量 18 例题14 6 铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图所示 画出点A的实位移和虚位移 dr d r1 1 2 r2 在定常的几何约束的情形下 约束的性质与时间无关 微小的实位移是虚位移之一 19 r r 对于非定常约束 由于它的位置或形状随时间而改变 而虚位移与时间无关 实位移却与时间有关 所以微小的实位移不再是虚位移之一 dr 例题14 7 物块B搁置于三棱体A上 摩擦不计 画出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移 20 1 几何法 在定常约束条件下 微小的实位移是虚位移之一 可以用求实位移的方法来建立质点虚位移之间的关系 I 1 rB rA 2 2 例题19 5 求图示机构A点和B点的虚位移 解 应用几何学求A点和B点的虚位移 rA和 rB OA杆作定轴转动 AB杆作平面运动 I为瞬心 21 当然也可以取 1的转向为顺时针转向 画出虚位移图得出的 rA和 rB的表达式与转向为逆时针是一致的 由 1 2 式得 22 2 解析法 利用广义坐标的概念 可以得到任意质点系中各质点的虚位移表示为广义坐标的变分的关系式 即解析法 解 xA l1cos yA l1sin xB l1cos l2cos l1sin l2sin x y 例题14 9 求图示机构A点和B点的虚位移 OA l1 AB l2 xA l1sin yA l1cos 23 rA i xA j yA l1 isin jcos rB i xB i l1sin ctg tg l1cos l2cos xB l1sin l2sin 可以证明用几何法和解析法所得的结果是一致的 24 14 1 4虚功 1 力作虚功 W F r Fx x Fy y 2 力矩或力偶矩作虚功 W MO F W m 例题14 10 计算上图中力偶矩作的虚功解 W M 1 W M 2 W MI F 25 14 1 4 理想约束 以Ni表示质点系中质点Mi的约束反力的合力 ri表示该质点的虚位移 则质点系的理想约束条件可表示为 Ni ri 0 1 理想约束的定义 如果约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零 则这种约束称为理想约束 26 2 光滑接触面 N r 光滑接触面的约束反力恒垂直于接触面的切面 而被约束质点的虚位移总是沿着切面的 即N r N N r 3