2011绵阳市二诊理数答案.doc

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13 x0x3 14（）或 1512 16三、解答题：本大题共6小题，共74分17解 （） ， a2bsinA = 0，由正弦定理得 sinA2sinB sinA = 0 3分 0A，B，Cp， ，得 或 6分（） ABC是锐角三角形， ，于是 = 9分由 及 0C，得 结合0A， ，得 ， ，即 12分18解 连结BP，由已知得APB = 45 2分设P（x，y），则 ，由PA到PB的角为45，得，化简得 x2 +（y1）2 = 2 10分由已知，y0且0，故点P的轨迹方程为x2 +（y1）2 = 2（x1，y0） 12分法二 连结BP，由已知可得APB = 45， 点P在以AB为弦，所对圆周角为45的圆上设该圆的圆心为D，则点D在弦AB的中垂线上，即y轴上，且ADB = 90， D（0，1），DA=，圆D的方程为x2 +（y1）2 = 2由已知，当点C趋近于点B时，点P趋近于点B；当点C趋近于点A时，点P趋近于点（1，2），所以点P的轨迹方程为x2 +（y1）2 = 2（x1，y0）19解 （）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A，则 5分（）x 的可能值为0，1000，2000 7分， 10分x010002000P所以 12分答：略20解 （） h (x) = f (x)g (x) =+ 6x3 ln x（x0）， 2分 函数h (x) 有两个极值点， 方程，即ax2 + 2x1 = 0应有两个不同的正数根，于是 1a0 6分（）方程 g (x) = x f (x)3（2a + 1）x 即为 6x + 3 ln x = 3ax23（2a + 1）x，等价于方程 ax2 +（12a）xln x = 0 设 H（x）= ax2 +（12a）xln x，转化为关于函数H（x）在区间（0，+）内的零点问题（即函数H（x）图象与x轴有无交点的问题） 8分 H (x) = 2ax +（12a），且a0，x0，则当x（0，1）时，H (x)0，H（x）是减函数；当x（1，+）时，H (x)0，H（x）是增函数 10分因为 x 0（或者x +）时，H（x） +， 要使H（x）图象与x轴有无交点，只需H（x）min = H（1）= a +（12a）= 1a0，结合a0得 0a1，为所求 12分21解 （1）设椭圆C的方程为（ab0），则 ，由 ，即 ，得 于是 a2 = b2 + c2 = 21 + 7 = 28，椭圆C的方程为 5分（2）若直线l的斜率不存在，即lx轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x = y代入中，得，则点P（，），Q（，），于是点O到l的距离为 7分若直线l的斜率存在，设l的方程为y = kx + m（k，mR），则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标是方程组的两个实数解，消去y，整理，得（3 + 4k2）x2 + 8kmx + 4m284 = 0， =（8km）24（3 + 4k2）（4m284）= 12（28k2m2 + 21）0， ， 9分 OPOQ， kOP kOQ =1，即 ，x1x2 + y1y2 = 0于是 x1x2 +（kx1 + m）（kx2 + m）=（1 + k2）x1x2 + km（x1 + x2）+ m2 = 0 将 x1 + x2，x1x2 代入上式，得 ，（k2 + 1）（4m284）8k2m2 + m2（4k2 + 3）= 0，化简，得 m2 = 12（k2 + 1） 代入满足，因此原点O到直线l的距离 12分22解 设等差数列 an 的公差为d，等比数列 bn 公比为q（） ， ，而 a1 = b1 = 1，则 q（2 + d）= 12又 b2是a1，a3的等差中项， a1 + a3 = 2b2，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q 联立，解得 或 4分所以 an = 1 +（n1） 2 = 2n1，bn = 3n1；或 an = 1 +（n1）（5）= 65n，bn =（4）n1 6分（） anN*， ，即 qd = 32 8分由（）知 q ( 2 + d ) = 12，得 a1 = 1，anN*， d为正整数，从而根据知q1且q也为正整数， d可为1或2或4，但同时满足两个等式的只有d = 2，q = 3， an = 2