泛函分析作业.docx

泛函分析在地球物理勘探中的应用地球探测科学与技术学院相丽娜2015652005 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。一、泛函分析基本原理 泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函，算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。其中线性泛函分析是发展较成熟的部分，主要包括抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。 1.1 抽象空间理论 抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。 度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质，即称为一个距离。 定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间，泛函中的收敛性与范数有关。进而，若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的，此即完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共轭空间，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。 内积空间是定义了内积运算的线性空间。完备的赋范内积空间，称为希尔伯特（Hilbert）空间，Hilbert空间具有良好的性质。 1.2 线性算子理论 最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。几个重要的线性算子：距离空间上的连续映射(算子)，巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子。 1.3 线性泛函分析的“四大定理” Hahn-Banach泛函延拓定理，该定理研究了如何讲一个算子保范数的从一个子空间延拓到整个空间；共鸣定理（一致有界定理），该定理描述一族有界算子的性质；逆算子定理描述的是两个Banach空间之间相互的算子都是线性有界的；闭图像定理是通过图像定义的闭算子和闭集，说明算子的有界性。 1.4 广义函数 广义函数是某个指定空间上的线性连续泛函。古典函数在描述物理问题中（如在原点放置一个单位质量的质点，求证过数轴上的质量分布线密度）和偏微分方程的求解中存在局限性，因此产生了Dirac函数和偏微分方程的广义解，这都是广义函数的产物。广义函数是古典函数的推广，它的出现从根本上改变了函数概念。如果定义在各点的函数只是一些物理量的近似描述，则广义函数就成为描述很多物理现象的更自然的工具，推动了科学研究的进展。二、泛函分析在地球物理勘探中的应用 2.1基于工程地震模型的反演理论中的泛函分析 在薄储集层地质条件下,由于地震频带宽度的限制,基于普通地震分辨率的直接反演方法,其精度和分辨率都不能满足油田开发的要求。基于模型地震反演技术以测井资料丰富的高频信息和完整的低频成分补充地震有限带宽的不足,可获得高分辨率的地层波阻抗资料,为薄层油(气)藏精细描述创造了有利条件。 方法原理：基于模型地震反演方法思路如图1所示。图1 基于模型反演思路 这种方法从地质模型出发,采用模型优选迭代挠动算法,通过不断修改更新模型,使模型正演合成地震资料与实际地震数据最佳吻合,最终的模型数据便是反演结果。 基于模型地震反演(又称测井约束地震反演)实质上是地震-测井联合反演,其结果的低、高频信息来源于测井资料,构造特征及中频段取决于地震数据。多解性是基于模型地震反演的固有特性,即地震有效频带以外的信息不会影响合成地震资料的最终结果,减小基于模型方法多解性问题的关键在于正确建立初始模型。基于模型反演结果的精度不仅依赖于研究目标的地质特征、钻井数量、井位分布以及地震资料的分辨率和信噪比,还取决于处理工作的精细程度,其主要技术环节有: (1)储集层地球物理特征分析测井资料,尤其是声波和密度测井,是建立初始模型的基础资料和地质解释的基本依据。通常情况下,声波测井受到井孔环境(如井壁跨塌、泥浆浸泡等)的影响而产生误差,同一口井的不同层段,不同井的同一层段误差大小亦不相同。因此,用于制做初始波阻抗模型的测井资料必须经过环境校正。 (2)地震子波提取子波是基于模型反演中的关键因素。子波与模型反射系数褶积产生合成地震数据,合成地震数据与实际地震资料的误差最小是终止迭代的约束条件。迭后地震子波提取常用两种方法,其一是根据已有测井资料与井旁地震记录,用最小平方法求解,是一种确定性的方法,理论上可得到精确的结果,但这种方法受地震噪声和测井误差的双重影响,尤其是声波测井不准而引起的速度误差会导致子波振幅畸变和相位谱扭曲。同时,方法本身对地震噪声以及估算时窗长度的变化非常敏感,使子波估算结果的稳定性变差。目前比较实用有效的方法是多道地震统计法,即用多道记录自相关统计的方法提取子波振幅谱信息,进而求取零相位、最小相位或常相位子波,用这种方法求取的子波,合成记录与实际记录频带一致,与实际地震记录波组关系对应关系良好。 (3)建立初始波阻抗模型建立尽可能接近实际地层情况的波阻抗模型,是减少其最终结果多解性的根本途径。测井资料在纵向上详细揭示了岩层的波阻抗变化细节,地震资料则连续记录了波阻抗界面的深度变化,二者的结合,为精确地建立空间波阻抗模型提供了必要的条件。建立波阻抗模型的过程实际上就是把地震界面信息与测井波阻抗正确结合起来的过程,对地震而言,即是正确解释起控制作用的波阻抗界面,对测井来说,即是为波阻抗界面间的地层赋于合适的波阻抗信息。初始模型的横向分辨率取决于地震层位解释的精细程度,纵向分辨率受地震采样率的限制,为了能较多地保留测井的高频信息,反映薄层的变化细节,通常要对地震数据进行加密采样。 2.2在地震记录反演上的应用 利用Kullback-Liebler信息测度获得一个非常有用的统计函数(即变分函数),此函数的极值点就含有所要求的反射系数序列的信息,并且拟订出求此泛数极值点。 在波动方程的应用 首先应用标量波动方程的逆散射理论推导出反射波场与波慢平方扰动之间满足的非线性积分方程，并阐明波慢平方扰动与反射体之间的关系。然后应用迭代线性化反演算法的理论和具体计算公式，并专门对泛函求导的公式进行详细的推导。最后，还要讨论了这一类反演方法的计算技术及参数选择问题。 在反问题的应用 利用人工地震Pg回折波走时重建区域上地壳三维速度分布的方法。正问题利用经典最小二乘迭代求解垂向速度梯度模型的参数值及相应走时残差。反问题采用泛函空间的最小二乘准则来实现。对速度不需要预先进行参数化处理，可以计算反演区内任意点的速度值。数值计算结果表明了该方法的可靠性。 在反演中压制噪声 在反演过程中利用不同范数准则压制噪声的方法,即在反演过程中先用一种范数准则建立目标泛函并求取梯度、再利用另一种范数准则计算修正步长,并在建立目标泛函和求取梯度时引入了非整数次范数准则.该方法有效地避免了在压制噪声过程中的人为干扰,提高了数据的使用率.从合成数据的反演结果可以看出,该方法对噪声具有很好的压制能力.当然压制的噪声不一定是地震中的，其他方法中也可用。 利用泛函分析方法讨论最小二乘平差问题，泛函投影方法，简单而直观地推导了在具有核函数的希尔伯特空间中的间接平差；根据核函数的性质自然地引入了带权的内积问题；将核函数定义稍加扩展，得出协方差传播的内积表示。泛函分析还能在微分方程中应用。二十世纪数学分析上最重要的成就之一，是函数空间概念的产生，它使我们由考虑一个或多个变数的个