幂函数教学设计--何韬修改稿6--发稿打印.doc

中数会十二五课题图形计算器沈阳会议研讨课“幂函数”教学设计授课人：天津开发区国际学校 何 韬指导教师：沈婕 傅剑2013-10-21幂函数教学设计天津开发区国际学校 何韬一内容与内容解析幂函数为新课标人教A版必修一第二章2.3 第一课时.幂函数模型在生活中是比较常见的课本结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数，给出幂函数的定义，并进一步通过作图观察得到幂函数的一般特点和性质从教材地位看，学生对特殊的正反比例函数和二次函数等已经很熟，幂函数正是对这些在形式上有着共同特征的函数的推广；从研究方法上看本节突出幂指数从特殊到一般的推广，为后续学习做了铺垫同时，幂函数也是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数.通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用图象研究性质，以及利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究函数的意识.而函数这样的核心概念正是在多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解这样的过程中，才能真正掌握，灵活应用.因而本节课是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升教学重点：从五个具体函数归纳一般幂函数的一些性质并简单应用.二目标和目标解析1. 教学目标（1）通过5个具体实例了解幂函数的概念；结合它们的图象，了解一般幂函数的主要特征、性质和变化情况，体会其变化规律、对称性以及探索过程中蕴藏的数形结合、类比和归纳的思想方法.（2）由5个常见幂函数的图象，利用其性质作出其它幂函数的草图.（3）能利用性质解决数学问题，进行简单的应用2. 目标解析（1）具体实例体现出函数模型源于生活，突显出幂函数在数学和生活中的地位和作用； 结合前面研究函数性质数形结合的方法来研究幂函数的特征、性质和变化，这是类比和延续前面研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质，这是函数研究的一般规律和方法；由特殊的具体的幂函数性质归纳出一般幂函数性质，这也是学习和研究数学的重要方法思想.而这个研究过程，又恰好可以适时地体现出分类讨论的思想（2）作图是一个检验学生掌握函数与否的好办法，在作图的过程中，能够检验出学生是否了解了幂函数图象的一般特点，是否能综合运用所发现的性质来辅助作图.快速作出草图，是一个了解到应用的过程，是一个运用性质不断自纠自查的过程（3）幂函数模型源于生活，研究幂函数就得做到能为后续的学习打下知识基础，能在此过程中体会研究思路和方法，并能应用到解决一些问题中去三教学问题诊断分析1学生学情分析：学生已经有了学习指数函数和对数函数的经历，有初中的一次函数、二次函数和反比例函数等作为基础，这为学习幂函数做好了知识和方法上的准备.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.但是，函数性质的研究往往需要借助于图象来研究，幂函数众多的种类，相对较多的图象，对于传统描点手工作图而言是耗时耗力的.而且手工作图如果不标准，还有可能发现不了一些性质或者是得出不正确的性质结论.这就需要采用一些先进的技术来辅助作图.电脑或图形计算器都是不错的选择，而图形计算器因功能足够，而且可以人手一台，方便操作，在学生参与方面更是强过计算机.教学难点：画典型幂函数的图象，由图象概括其性质，并推广到一般幂函数.2教学策略：本节内容非常适合在学生在自我体验的条件下，进行探究学习在教师的组织、引导下，在适当问题引发的猜想和思考下，借助于图形计算器作出多个幂函数的图象，进而归纳（合情推理）出一般幂函数的性质特征.在此基础上，适当地给予证明，体现函数思想，体现数学的课堂魅力.让学生在自我探究的基础上，采用小组合作交流的方式进行学习.这样做能在短时间内作出若干个不同值所对应的幂函数图象，然后通过交流，尽可能地避免可能出现的以偏概全，从而使得合情推理的过程更为完美，总结出来的结论、推广一般幂函数的图象和性质这样的结论更为可信.在此过程体验中，培养学生合作交流、逻辑推理，获取知识，培养能力，培养学生勇于实践的科学探索精神. 教学关键：以学生为中心，积极创设合作学习的氛围，使学生获得提供“观察猜想、探索、交流”的机会.故教师的组织和引导相当重要.要引导学生作图与思考相结合，独立思考与合作交流相结合，充分调动学生的探究热情，使学生经历观察、猜想、分析、操作、归纳、概括的认知过程，渗透数形结合思想. 四教学支持条件分析本节课的重点是学生能正确画出五个具体函数，并通过更多的幂函数图象归纳一般幂函数的基本性质，会简单应用.图形计算器的作用主要体现函数作图功能上，故要求学生能熟练使用计算器的图形模块，或是动态图模块.当每个学生都能快速地作出指数不同的幂函数图象时，通过观察图象，他们在独立思考和小组合作相互交流中就可以将这些图象分门别类，归纳出幂函数的性质.借用这些大量的直观图形，可以更直观、形象地突出重点，突破难点，强化数形结合思想，充分展示数学的美感，激发学生的学习兴趣，带动学生自主进行探究活动.这中间，适当地进行猜想、验证、应用.当然，在比较大小时，学生或许也会使用图形计算器的计算功能，此时不利于学生对幂函数性质特征的学习和领会，只限于在适当的时候用于验证.五教学过程（一）情景引入问题 1：前面我们学习了指数函数，指数函数的一般表达式是怎样的呢？我们研究了它们的哪些性质？通过什么过程？用了哪些方法得到这些性质的？（先做出图象，得出定义域值域，再通过观察图象或研究解析式得出性质）师生活动：师生共同回忆，回答.【设计意图】类比指数函数、对数函数的图象、性质、研究方法、参数的作用，为后面研究幂函数做好铺垫.问题 2：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（都是自变量的若干次幂的形式）（1）购买每本1元的练习本x本，则需支付元，这里y是x的函数. （2）边长为x的正方形面积，y是x的函数；（3）边长为x的正方体体积，y是x的函数；（4）面积为x的正方形边长，y是x的函数；（5）某人x秒内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里y是x的函数；追问1：它们与指数函数有什么区别？追问2：我们把形如y = ax的函数称为指数函数？或许是因为x在指数位置，按照这种方法，你能不能也给形如的函数取个名？ 师生活动：观察函数的共同特征，与指数函数的形式作比较.教师用追问引导，学生思考.【设计意图】通过观察共同特征引出幂函数的一般形式，与指数函数作比较，进而尝试给它取名，实际上回答了为什么叫幂函数，突出了x在底数位置的特征，对幂函数形式加深印象，加强理解.（二）新课学习出示课题 2.3幂函数，并指明本节课的研究内容：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数问题3：类比已有的研究函数性质的方法，你觉得我们可以按怎样的过程和方法来研究幂函数的性质？ 师生活动： 学生回忆，思考，回答.【设计意图】 问题引导，突出类比的思想，有利于学生深入理解科学研究的一般方法，提高学生的科学素养.过渡语：那么，我们在研究幂函数的性质时，也可以先作图.问题4：作出的图象，将草图画在表中.不知道图象的，你可以借助手中的计算器来帮忙.图象定义域RRR值域RR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在,)增在(-,减增增在,)减在(-,增请大家互相查看同桌的图象，看是否与自己的图象一致.观察图象，在表格中填出它们对应的定义域、值域、单调性、奇偶性.如果把这5个图象放到同一个坐标系下，你还会发现哪些特征？师生活动：学生手工作图，或借助于图形计算器作图，同桌核对.观察特征填表，同桌核对后展示.放到同一个坐标系下后继续观察填表，小组讨论.教师巡视.之后小组上台展示交流.【技术使用】图形计算器画出图象.【设计意图】 同一个窗口下显示多个图象，便于在对比中发现图象特征，由此得出相应结论，让学生充分体会系统的研究方法.问题5：综合来看，从这5个图象和表格中，我们可以总结出哪些结论？ （1）函数，的图象都过点（1，1）；（2）函数，是奇函数，函数是偶函数;（3）在（0，）上, 函数，和是增函数，函数是减函数；说明：实际上，在已知奇偶性的前提下，只需要观察函数在（0,+）上的单调性即可（4）在第一象限内，函数的图象向上与 y 轴无限接近；向右与 x 轴无限接近.也可能学生会直接拓展猜想，可做引导；也可能学生会发现如下结论：幂函数，的图象过原点在第一象限，的图象下凹；的图象上凸；的图象下凹.师生活动：观察图象，从图象中得出结论.【设计意图】类比指数函数和对数函数性质的研究方法，从表格和图象中得出结论，感受研究图象性质的一般思路和方法,体会类比的思想.过渡语：以上结论是我们通过图象观察所得，缺乏严谨，还需要证明，下面我们就以其中一个为例给予证明，其余结论大家可以在课后进行证明.例1 证明幂函数在上是增函数 （重点分析分子有理化的理由，化简的方向和最后的化简结果形式）证明：任取 则 = 因为0，0所以，即上是增函数.本题还有其它证法，感兴趣的同学可以课后去尝试。师生活动：学生尝试证明，老师巡视，学生上台板演说明或老师板演.【设计意图】体现数学的严谨性，证明观察所得结论的正确性，同时巩固单调性的证明方法.（三）及时反馈1已知幂函数的图象过点，试求出该函数的解析式并判断其奇偶性、单调性（四）拓展探究到此，我们已经初步了解了幂函数的定义、图象、并观察图象特征得到了一些结论.那么，问题6：像指数函数、对数函数那样，如果我们把推广到一般情形，你认为可以得到哪些性质？按照怎样的过程和方法来推广呢？对于前面得出的结论，大家可以给取若干个值，作一些图象来看看，然后各个小组讨论一下。如果小组得出了推而广之的结论的话，可以上台来给大家展示一下，相互学习一下。结论（2）可猜想当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数.结论（3）可猜想时，幂函数在区间上是增函数时，幂函数在上是减函数结论（4）可猜想在第一象限内，当时，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.等等诸如此类师生活动：教师设置问题引导，学生回顾刚刚学过的内容，思考，猜想，独立思考，小组探究，交流.【技术使用】探究过程需要同学们使用图形计算器作图验证猜想，尤其在小组合作中使用利于互相分享，互相指正.【设计意图】对比前面的发现，重新认识、探究，可以逐步地拓展对幂函数的认识，体现从特殊到一般的探索规律，同时体会到学无止境.通过循环上升式的学习过程，可以激发学生探究兴趣.过渡语：有了计算器上这些精确的图象，我们可以归纳出幂函数的性质.反过来，根据这些性质，我们也应该可以很快地画出各种幂函数的草图.我先示范一个：例如作出函数 的草图.小结：若指数为分数，应先化为根式，再由根式性质求定义域.问题7：作图竞赛. 不用计算器，由学生写出一些幂函数解析式，全体学生一起画草图，看谁画得又快又准.可以讨论，可以利用计算器验证.师生活动：离开计算器，同学之间相互出题，快速作出草图，有问题可以讨论.教师巡视.【技术使用】作图验证自己的作图.【设计意图】作出草图，这是基本图象记忆和运用性质的极好方法，通过相互出题、验证、同学们在此过程中不断记忆、运用和强化本节所学，有利于落实. 学生自己写出解析式，全体学生一起画，看谁画得又快又准，这种竞赛也容易调动学生积极性，掀起课堂高潮。（五）小结提高 内容：幂函数概念、图象及简单性质，性质的应用研究方法：观察图象，先猜后证数学思想：类比、归纳、分类讨论、数形结合、从特殊到一般（六）目标检测1已知幂函数的图象过点，试求函数f(9)的值（答案：3 ）2如图所示，曲线是