D3D,OPENGL视点变换矩阵,投影矩阵(clip space)的推导过程.doc

D3D,OPENGL视点变换矩阵，投影矩阵（clip space）的推导过程此处推导D3D的变换矩阵（采用行向量，行主序存储，右乘矩阵），然后通过调整得出OPENGL中的变换矩阵1. 视点变换矩阵的推导。根据给定的眼睛位置（position），朝向（orientation）来计算最终的视点变换矩阵。投影矩阵的计算见Frustum类计算过程大致如下：设Q代表从世界空间坐标系到眼睛空间坐标系的变换矩阵，V代表一个点故VQ=VMT.其中T:从世界空间坐标系到眼睛空间坐标系的平移变换矩阵，M：从世界空间坐标系到眼睛空间坐标系的旋转变换矩阵。则Q代表视点变换矩阵Q=MT= TM由于M是正交矩阵，故V=Q= TM其中M=Rx Ry Rz 0, T= 1 0 0 0Ux Uy Uz 0 0 1 0 0Dx Dy Dz 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Tx Ty Tz 1 故V=Q= 1 0 0 0* Rx Ux Dx 0 0 1 0 0 Ry Uy Dy 0 0 0 1 0 Rz Uz Dz 0 -Tx Ty Tz 1 0 0 0 1= Rx Ux Dx 0 Ry Uy Dy 0 Rz Uz Dz 0 Wx Wy Wz 1 其中W = - Pos* M对于OPENGL，则有：V=Q=MT其中M=Rx Ux -Dx 0 Ry Uy -Dy 0 Rz Uz -Dz 00 0 0 1T= 1 0 0 Tx 0 1 0 Ty0 0 1 Tz0 0 0 1 故V=Q=Rx Ry Rz WxUx Uy Uz Wy-Dx Dy Dz Wz0 0 0 1其中W = -M* Pos2. 透视投影（perspective projection）矩阵的推导 假设（X,Y,Z,1）为一个点，投影后的点为(Xp,Yp,Zp,1)则根据相似三角形原理，有：Xp/X=Yp/Y=N/Z所以：Xp=N*X/ZYp=N*Y/ZZp=N故投影变换可以表示为齐次坐标形式：(Xp,Yp,Zp,1)=（X，Y，Z，Z/N）对于X和Y:在进行上一步变换后，还要进一步做裁剪变换，即将投影后的坐标映射为-1,1.即：（X*N/Z,Y*N/Z）: (l,r,b,t)(-1,1,-1,1)即：(X*N/Z-l)/(r-l)=（s+1）/2由此可以得到：对于Z,变换稍微复杂一些。Z的初始范围是现要将其变换至0,1。变换虽然可以完成上述变换但并不符合投影变换的规律。因为投影变换是一个非线性的变换，而上述方程是一个线性方程，因此必须采用其他的变换方程。我们可以发现，在进行透视投影之后，原来分布均匀的一条直线上的点，变成了分布不均匀的直线上一串点。下面进行详细分析：假设某线段的两个端点分别为。透视投影后分别对应则原线段上的任意点可表示为 其中投影后的对应点可表示为：其中，上面的式子与裁减变换中的深度值归一化有关，下面的式子与光栅化校正有关。方程（将s=(d-dmin)/(dmax-dmin)代入即可得到）满足透视投影的特点，它是一个非线性的方程，且取值范围是0,1。其中的s满足： 且s0,1因此，可以作为深度值的参考值，因为它蕴含了透视投影的非线性规律。故Zclip=F/(F-N)*(1-N/Z),结合刚才推导出的X,Y的变换公式，可以得到最终的透视投影矩（off center perspective）阵为：P=说明t-b中的b是指bottom。如果投影平面的中心与眼坐标系坐标中心重合，并且投影平面上下，左右分别对称，则r+l=0,b+t=0,故以上矩阵可以简化为：P（D3D）=对于OPENGL的透视投影矩阵，从P(D3D)出发可以推导出来：1. 左手系变换为右手系2. Z的范围由0,1变换为-1,13. 将行主序改为列主序（转置即可）即：P(OPENGL)=（AP(D3D)B）其中，A=1 0 0 00 1 0 00 0 -1 00 0 0 1将Z坐标取负，其实就是左手变换为右手。B=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 -1 1其实就是Z*2-1，将Z值从0,1变换为-1,1P(OPENGL)=最后，视景体还有另外一种表示方法：fov, aspect ratio,near,far他们与l,r,t,b之间的关系为：其中，fov是指Y方向上的视野角度3.正交投影（orthographic projection）矩阵的推导 正交投影的视景体可以用6个参数来表示：l,r,t,b,n,f因此，投影变换实际是：(x,y,z): (l,r,b,t,n,f)(-1,1,-1,1,0,1)变换矩阵可以表示为：P(D3D)=(off center)对于特殊情况(投影平面中心与坐标中心重合，且对称)：对于OPENGL，可以从P（D3D）出发推导出来：P(OPENGL)=(AP(D3D)B)其中，A=1 0 0 00 1 0 00 0 -1 0