第四章 恒定磁场.ppt

第四章恒定磁场 4 1磁感应强度与毕奥 萨瓦定律 4 2磁通及其连续性原理 4 3真空中的安培环路定理 4 4非真空媒质中的安培环路定理 4 5两媒质交界面上磁场的边界条件 4 6磁场中的两个基本定理的微分形式 4 7无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 4 8磁场的矢量磁位及泊松方程 4 10自感及其计算 4 12载电流回路系统的磁场能量及其分布 第四章恒定磁场 4 1 4 1磁感应强度与毕奥 萨瓦定律 1 磁感应强度 2 磁感应强度 图4 1正点电荷运动方向与磁场方向夹角 1 磁场 图4 2电流元 磁场和磁场力方向 3 磁场力 安培力 考察磁场中载流微小线元 4 2 的单位特斯拉 T 1T 1Wb m2 长直螺线管磁场的分布 两根异向长直流导线的磁场分布 两根相同方向长直流导线的磁场分布 仿电力线的作法 可作出恒定磁场的磁感应强度线 2 毕奥 萨瓦定律 4 3 图4 3载流导体外一点的磁感应强度 真空磁导率 0 4 10 7H m 毕奥 萨瓦二人用实验归纳出 微小载流线元在无限大空间某点所产生的磁感应强度为 4 4 闭合载流回路产生的 对于任何其它均匀媒质空间 4 5 空间媒质的磁导率 r 0 媒质的相对磁导率 例4 1试求有限长直载流导线产生的磁感应强度 解 采用圆柱坐标系 取电流Idz 则 当 长直导线的磁场 解 补充例4 1分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生的磁感应强度 例4 2两平行的 轴线间距离为d的半无限长直导线1 2 以直导线3连接 导线为铜线 其半径均为a 通以电流I 试确定连接1 2的导线段3所受的磁场力 解坐标系如图示 在区间 a d a 内任一点x处截取长度元dx 则导线1 2在x处的磁感应强度分别为 图4 7穿过面元的磁感应强度 4 2磁通及其连续性原理 当S为空间闭合曲面时 磁通为 4 7 4 8 作磁场的矢量线 穿过某微小面元的磁感应强度矢量线数简称为磁通量或磁通 其表达式为 1 磁通 2 磁通连续性原理 穿过空间任意闭合曲面S的磁通恒等于零 4 10 磁通连续性原理的积分形式 说明磁场是一个无源场 磁通连续性原理的微分形式 磁场中 空间任一点的磁感应强度矢量的散度恒为零 它说明了磁场是无源场 磁感应强度矢量线处连续而不断 由高斯公式有 补充例4 2判断下列矢量函数是否可能是某区域的磁感应强度 解 依据磁通连续性原理判断 设某磁场磁感应强度为 求c 例4 3无限长直导线通以电流I 直角三角形 A B C 与之共平面 求通过 A B C 的磁通 a 12cm b 7cm d 5cm I 10A 求出数值结果 窄长条上穿进的磁通 解长直导线外任一点的磁感应强度 4 3真空中的安培环路定理 真空媒质中 一般情况下 1 定理 4 14 真空中的安培环路定理 2 物理意义 注意 电流的方向 真空媒质中 磁感应强度沿任意闭合有向曲线l的环路积分 等于与该闭合有向曲线l所交链的电流的代数和与真空媒质磁导率的乘积 磁场的环路积分不恒为零 说明磁场与静电场不同 它的分布具有旋涡形 是非位场 图4 11磁场的有旋性示意 3 应用 利用真空中的环路定理 可以求解一些简单磁场的计算问题 补充例4 3一根细而长的导线沿z轴放置 载有电流I 试用安培定律求出自由空间任一点的磁感应强度 解 由对称知磁力线必为同心圆 沿每个圆的磁场强度是恒定值 对任意半径r有 图4 12长直载流导线的磁场 例4 4空气中无限长直圆柱导体载有电流I 其半径为a 试确定导体内 外的磁感应强度 设空气和导体的磁导率均为 0 解磁场以长直圆柱导体的轴线作对称分布 取半径为r的圆周为闭合曲线l半径为r r a 的圆所交链的仅是电流I的一部分 同理 图4 13例4 4图 4 4非真空媒质中的安培环路定理 媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同 磁偶极子 磁偶极子受磁场力而转动 1 磁偶极子 分子电流I 电流方向与方向成右手螺旋关系 Am2 磁偶极矩 1 媒质的磁化 2 媒质的磁化 无外磁场作用时 媒质对外不显磁性 磁化强度 单位 A m 在外磁场作用下 磁偶极子发生旋转 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致 对外呈现磁性 称为磁化现象 在外磁场作用下 磁偶极子发生旋转 媒质的磁化 若在被磁化的媒质中 截取一微小圆柱体 如图 图4 16磁化强度与媒质表面的磁化电流 设单位体积内所含分子数为N 则包围轴线的磁化电流为 4 17 2 媒质的磁化对磁场的影响 在极限情况下 4 18 4 19 若的取向与方向一致时 4 20 在考虑了媒质边缘处所出现的表面磁化电流 亦可称为束缚电流 之后 可视磁场处于真空媒质之中 安培环路定理说明磁场是有旋场 磁场强度沿任意闭合有向曲线的积分 等于与该曲线所交链的宏观电流的代数和 磁场强度 单位 A m 整理得 3 安培环路定理 4 21 4 22 4 24 令 在非真空媒质中 考虑磁化电流后 可得磁感应强度矢量的环路定理 从式 4 23 有 对于各向同性媒质 根据实验有 4 25 媒质的磁化率 是一个无量纲的纯量 4 微分形式的安培环路定理 由安培环路定理有 微分形式的安培环路定理 说明 空间任一点的磁场强度的旋度等于该点的电流密度矢量 说明磁场是旋涡场 或有旋场 恒定磁场是无源有旋场 小结 恒定磁场的基本方程 恒定电场中能否引入位函数 恒定磁场是否存在拉普拉斯方程与泊松方程 图4 18例4 5图 解设电流依次为I1和I2 则应有I1 I2 I 在钢芯和铝线的分界面上 电场强度轴向分量连续 例4 5空气中有一长直钢芯铝线 钢芯半径为R1 铝线的内外半径分别为R1 R2 钢的电导率为 1 相对磁导率为 r 铝的电导率为 2 设此导线中电流强度为I 求导线内部的磁感应强度及磁化强度 电流作均匀分布 4 26 4 27 在媒质分界面上 包围P点作一小扁圆柱 分界面上B的衔接条件 4 5两媒质交界面上磁场的边界条件 令 可得 根据 1 的边界条件 的法向分量连续 分界面上H的衔接条件 在媒质分界面上 包围P点作一矩形回路l 令 根据 2 的边界条件 3 分界面上的折射定律 当两种媒质均匀 各向同性 且分界面无自由电流线密度K 则 折射定律 小结 在不同媒质交界面处 磁场的边界条件为 补充例4 4分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况 解 它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行 那么在空气侧的磁感应强度可认为近似与分界面垂直 铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射 图4 21例4 6图 解钢内磁感应强度B1的两分量为 例4 6磁场由磁导率 1 1500 0的钢进入空气中 已知钢中B1 15T 87 求分界面空气一侧的B2和 补充例4 5设x 0平面是两种媒质的分界面 分界面上有面电流A m 且A m 试求B1 B2与H2的分布 A m 解 含有K的分界面衔接条件 若面电流 答案有否变化 恒定磁场无电流区域 4 7无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 1 磁场的标量磁位 标量磁位 简称磁位 单位 A 安培 A P两点间的磁压 4 48 4 49 选定P为参考点时 则得A点的磁位函数为 在恒定磁场中 设B点为参考磁位 则 由安培环路定律 推论 磁位与积分路径的关系 为了克服多值性 规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的S面 磁屏障面 这样 就成为单值函数 两点之间的磁压与积分路径无关 2 标量磁位的多值性与磁障碍面 多值性 适用于无自由电流区域 1 微分方程 磁位是否满足泊松方程 3 磁场的拉普拉斯方程 2 边界条件 推导方法与静电场类似 由 推导得 图4 26例4 8图 A P两点间的磁压 例4 8有一载电流I的无限长直圆导线 试求图示导线外A P两点之间的磁压UmAP 解载有电流I的无限长直圆导线外的磁场强度 图4 27例4 9图 解 例4 9通过求解标量磁位的拉普拉斯方程 确定载电流I的无限长直圆导线外的磁场 设定磁场标量磁位的参考点 设A B分别取为 0上 下侧极为邻近的两点 l为自A到B围绕电流I I的方向如图示 的曲线 则 由于 标量磁位只能应用于电流密度为零的区域 有着较大的局限性 不能求解载流导体内部的磁场 由边界条件式得 所以导线外区域标量磁位为 可得磁场分布 r a 得 4 8磁场的矢量磁位及泊松方程 1 矢量磁位 磁矢位 单位 wb m 韦伯 米 2 矢量磁位的泊松方程 矢量磁位的泊松方程 矢量磁位的拉普拉斯方程 令无限远处A的量值为零 参考磁矢位 则各式的特解分别为 矢量合成后 得 在直角坐标系下 可以展开 3 矢量磁位泊松方程的解 同理得 a 围绕P点作一矩形回路 则 磁矢位的边界条件 4 矢量磁位的边界条件 b 围绕P点作一扁圆柱 则 综合两个结论 有 在媒质分界面上磁矢位A是连续的 磁矢位的边界条件 5 磁矢位的应用 1 求磁感应强度 2 求磁通 根据有 图4 30例4 10图 式中 l为积分变量 令t l z 则dl dt 得到 解如图4 30所示 电流I沿z轴方向 任一点P r z 的矢量磁位将只有Az分量 例4 10求长度为2L 通以电流I的直导线外任一点P的矢量磁位 当导线极长时 得 补充例4 6一根50m长的同轴电缆 内导线半径为a 1cm 沿z方向通过电流80A 外导体内半径为b 10cm 试求两导体间包含的总磁通 解两导体间距离员小于电缆长度 可认为电缆内部任意点的磁矢位近似为 图4 32例4 12图 导线外的矢量磁位 例4 12利用矢量磁位重新计算例4 3中通过 A B C 的磁通 对于C A 段的积分 因 故 解如图所示 仍规定 A B C 平面的正法向为垂直进入纸面内 则其周界的绕行方向应为图中箭头所示 通过 A B C 的磁通 对于C B 段 其中点B z a 点A z 0 综合上述结果 同样得到进入纸面内的磁通 对于B A 段 利用 在线性各向同性媒质中 L仅与回路的几何尺寸 媒质参数有关 与回路的电流无关 1 自感定义 单位 H 亨利 4 10自感及其计算 2 自感的计算 设 回路的电流与该回路交链的磁链的比值 自感又分为内自感Li和外自感Le 内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值 外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值 3 内自感与外自感 内磁链与外磁链 解 总自感 设安培环路包围部分电流I 则有 补充例4 7试求图示长为l的同轴电缆的自感L 同轴电缆内导体纵截面 穿过宽度为dr 长度为l的矩形面积的磁通为 同轴电缆截面 1 内导体的内自感 磁链中的匝数 可根据 因此 有 内自感 2 外导体内自感 工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流 故忽略此部分的内自感 故 3 内 外导体间的外自感 总电感为 补充例4 8设传输线的长度为l 试求两线传输线的自感 解 总自感 总自感为 其中 内自感 设I 两线传输线 磁场能量以能量密度的形式 储存于磁场所遍及的整个场域 4 12载电流回路系统的磁场能量及分布 1 磁场能量与磁场能量密度 例4 18内外导体半径