第四章 图形变换1.ppt

第四章图形变换 第一节二维图形的变换 一 二维基本变换 二 二维基本变换矩阵的级联 第二节三维图形的变换 思考题 第一节二维图形变换 一 二维基本变换 二维空间点表现为行向量 和一个阶矩阵相乘得 式中 是变化后的坐标 且 可见变换后点的坐标是由矩阵 1 比例变换 变换矩阵为 则 变换后点的坐标为 可见 a为x方向缩放因子 d为y方向缩放因子 1 若a d 则图形沿x y向等比例放大或缩小 分析A 2 若a d 则图形产生畸变 分析B 2 对称变换 反射变换 1 对X轴的对称变换 其变换矩阵为 图 2 对Y轴的对称变换 其变换矩阵为 3 对45 线的对称变换 4 对 45 线的对称变换 5 对坐标原点的对称变换 3错切变换 变换矩阵特点 a d 1 b c之一为零 1 沿x向错切 其变换矩阵为 当c 0时 沿 x方向错切 当c 0时 沿 x方向错切 图A 设变换矩阵 对四边形A 0 1 B 1 1 C 1 1 D 0 1 沿 X方向进行变换 得 即变换后各点为 变换前后的图形如图所示 特点 各点Y坐标保持不变 X坐标则依赖初始坐标 x y 线性地变化 即 从几何上讲 凡平行X轴的直线变换后仍平行X轴 凡平行于Y轴的直线均沿X轴错切成与Y轴成 角 而y 0的点为不动点 y 0的点沿X向平移了cy的距离 2 沿Y向错切 其变换矩阵为 可见 当b 0时 沿 Y向错切 当b 0时 沿 Y向错切 4旋转变换 绕坐标原点逆时针旋转 角 使矩形ABCD绕坐标原点逆时针旋转30 其各点坐标为 A 0 0 B 2 0 C 2 1 5 D 0 1 5 则变换后各点坐标为 即变换后各点坐标为 变换前后图形如图所示 5平移变换和齐次坐标 1 平移变换矩阵 平移变换时 设 平移变换矩阵 l m分别为x y方向的平移参数 为了增加功能 将3 2矩阵扩充为3 3矩阵 其 平移矩阵为 例如 这种用n 1维向量表示n维向量的方法叫做齐次坐标法 则二维图形变换矩阵的一般形式 二 二维基本变换矩阵的级联变换 由多个基本变换组成复杂变换的方法叫做基本变换的级联或组合变换 相应的矩阵称为基本变换矩阵的级联矩阵或组合变换矩阵 1绕坐标原点以外的任意点的旋转变换矩阵 逆时针旋转 角 如图所示 例1 矩形ABCD绕点 1 将旋转中心平移到中心原点 变换矩阵为 2 使图形绕坐标原点旋转 角 变换矩阵为 3 使旋转中心平移到原来位置 变换矩阵为 故绕任意点的旋转变换为 2级联顺序对图形的影响 因为矩阵乘法不适用交换率 即 所以 级联的顺序一般是不能颠倒的 例2 平移 旋转 可见平移量受旋转量影响 旋转 平移 可见平移量不受旋转量的影响 第二节三维图形的变换 用四维齐次坐标 描述三维空间点 因此 三维空间点的变换为 其中 T为变换矩阵 采用齐次坐标后 T为4 4方阵 将其分为4块 每个子矩阵对图形产生不同的变换 说明 一三维基本变换 1比例变换 主对角线上的元素 的作用是使立体产生比例变换 1 恒等变换 2 沿轴向的比例变换 其中 分别为X Y Z三个方向的缩放因子 若 立体各方向缩放比例相同 若 立体各方向缩放比例不同 立体产生变形 如图所示 3 全比例变换 若 则立体各向等比例放大 若 则立体各向等比例缩小 若 则为对原点的对称 加比例变换 2错切变换 错切变换可使空间立体上某个面沿X Y Z三个方向发生错切变形 其变换矩阵的特点是主对角线上元素全为1 第四行和第四列的其他元素全为零 即 三维错切变换按错切方向的不同 可有六种情况 1 沿X含Y错切 错切平面沿X向移动并离开Y轴 图 2 沿X含Z错切 错切平面沿X向移动并离开Z轴 3 沿Y含X错切 错切平面沿Y向移动并离开X轴 图 4 沿Y含Z错切 错切平面沿Y向移动并离开Z轴 5 沿Z含Y错切 错切平面沿Z向移动并离开Y轴 图 6 沿Z含X错切 错切平面沿Z向移动并离开X轴 3对称变换 1 对XOY坐标平面的对称变换 2 对XOZ坐标平面的对称变换 3 对YOZ坐标平面的对称变换 图 4平移变换 其变换矩阵为 即 5旋转变换 三维旋转变换是指空间立体绕坐标轴旋转 角 角的正负按右手定则确定 右手大拇指指向旋转轴的正向 其余四个手指指向旋转轴的正向 变换前后立体的大小和形状不发生变化 只是空间位置相对于原位置发生了变化 旋转变换矩阵的规律是 绕哪个坐标轴旋转 立体各点在此轴的坐标值不变 1 绕X轴旋转角 2 绕Y轴旋转角 3 绕Z轴旋转角 二三维级联变换 对于较为复杂的三维变换 同样必须通过若干次简单的三维基本变换的级联才能实现 这里以讨论绕通过坐标系原点的任意空间直线为旋转轴的旋转变换为例 来加以说明 绕任意轴旋转变换步骤 1通过两次旋转变换 使ON轴与坐标系和Z轴重合 2使点绕Z轴 即ON轴 旋转 角 3通过两次与上面过程相反的旋转变换 使ON轴回到原来位置 1 绕Z轴旋转 2 绕Y轴旋转 3 绕Z轴旋转 4 绕Y轴旋转 5 绕Z轴旋转 总的绕ON轴旋转变换的矩阵 三三视图的变换矩阵 一 三维物体数学模型的建立 变换方法 二 三视图的变换矩阵 1主视图投影变换矩阵 主视图是立体向XOZ面 V面 作正投影 立体向V面作正投影的实质是压缩变形 即所有的y 0 可通过单位变换矩阵控制Y坐标的第2列各元素为零 即 即 2左视图投影变换矩阵 将立体先向YOZ面 W面 作正投影 压缩 使所有x 0 再绕Z轴旋90 使W面与V面重合 然后沿 X方向平移l距离 l 0 使主视图与左视图保持一定的距离 即 3俯视图投影变换矩阵 将立体先向XOY面 H面 作正投影 压缩 使所有z 0 再绕X轴旋转 90 然后沿 Z方向平移n 即 思考题 1 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为 A 0 0 B 20 0 C 20 15 D 0 15 对此分别进行下列比例变换 1 使长度方向 X向 缩小一半 高度方向 Y向 增长1倍 2 使整个图形放大为原来的1 5倍 写出变换矩阵 求出变换后各点的坐标并画出图形 2 已知 ABC各顶点的坐标为 A 10 10 B 10 30 C 30 15 试对此进行下列变换 1 沿X向平移20 沿Y向平移15 再绕原点逆时针旋转90 2 绕原点逆时针旋转90 再沿X向平移20 沿Y向平移15 写出变换矩阵 画出变换后的图形 指出两者的变换结