求函数值域的常用方法.doc

因思特文化有限公司求函数值域的常用方法1.直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数的值域。解： 显然函数的值域是：例 求函数的值域。解： ，故函数的值域是：2.配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。例 求函数的值域。解：，函数的值域为。3.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 求函数值域。解：由原函数式可得： 故所求函数的值域为：4.函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 求函数的值域。解：由解得，函数的值域为。5. 判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例 求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为6. 分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法。此类问题一般也可以利用反函数法。例 求函数的值域。解：，函数的值域为。7.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 求函数的值域。解：令 ，则，在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：.8.换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。例 求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。例 求函数的值域。解：因，即 故可令，故所求函数的值域为.例 求函数，的值域。解：令，则由，且 可得：当时，当时，故所求函数的值域为.例 求函数的值域。解：由，可得故可令 故所求函数的值域为：9.数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例 求函数的值域。解： ，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为例 求函数的值域解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为，+）。例 求函数y=-的值域解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有AP-BPAB= 即：-y（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 AP-BP=AB= 。综上所述，可知函数的值域为：。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。10.数型结合法：利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件. 例 求函数的值域. 解 , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 例 求函数的值域. 解 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此