第四章几何性质.ppt

材料力学 中南大学土木建筑学院 1 第四章平面图形的几何性质 拉压杆 圆轴扭转 几何性质 只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量 对杆件的应力和变形起着重要作用 如横截面面积A 圆轴横截面对圆心的极惯性矩IP等 材料力学 中南大学土木建筑学院 2 梁的几何性质对变形的影响 材料力学 中南大学土木建筑学院 3 几何性质对变形的影响 力学响应的决定因素 载荷材料几何性质 材料力学 中南大学土木建筑学院 4 一 形心 按合力矩定理理解 均匀薄板的重心 4 1形心和静矩 材料力学 中南大学土木建筑学院 5 二 静矩 一次矩 为代数量 单位 m3或mm3 横截面对y轴的静矩 横截面对z轴的静矩 材料力学 中南大学土木建筑学院 6 三 静矩与形心坐标的关系 Sz AyC 图形对一个轴的静矩 等于该图面积与其形心坐标的乘积 Sy AzC 材料力学 中南大学土木建筑学院 7 几个特例 形心必位于对称轴上 C y z 结论 图形对其任意形心轴的静矩为零 C y z Sy AzC y是形心轴时 zC 0 Sy 0 材料力学 中南大学土木建筑学院 8 求图示半圆的Sy Sz和形心坐标 解 由对称性 yC 0 Sz 0由图 材料力学 中南大学土木建筑学院 9 四 组合图形的静矩和形心组合图形 由几个简单图形组成的图形 材料力学 中南大学土木建筑学院 10 组合图形的静矩和形心 y z C2 yC2 zC2 C1 yC1 zC1 C yC zC 材料力学 中南大学土木建筑学院 11 组合图形的静矩和形心有如下公式 材料力学 中南大学土木建筑学院 12 4 2惯性矩惯性半径惯性积 一 极惯性矩 与转动惯量类似 二次矩 正定单位 m4或mm4 显然 图形分布距离极点越远 对该极点的极惯性矩就越大 面积对极点的二次矩 材料力学 中南大学土木建筑学院 13 二 惯性矩 二次矩 正定单位 m4或mm4 显然 图形分布距离某轴越远 对该轴的惯性矩就越大 面积对y z轴的惯性矩分别为 材料力学 中南大学土木建筑学院 14 由定义知 Ip Iy Iz 图形对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和 等于它对该两轴交点的极惯性矩 通过同一点的一对相互垂直轴的惯性矩之和为常量 组合图形对某轴的惯性矩 等于各组成图形对同一轴惯性矩的和 材料力学 中南大学土木建筑学院 15 常用图形的惯性矩 材料力学 中南大学土木建筑学院 16 材料力学 中南大学土木建筑学院 17 三 惯性半径 单位 m或mm 材料力学 中南大学土木建筑学院 18 四 惯性积 混合二次矩代数量单位 m4或mm4 y z轴中有一个是对称轴 则Iyz 0 材料力学 中南大学土木建筑学院 19 4 3平行移轴公式 问题已知对形心轴的惯性矩和惯性积 求对所有与该形心轴平行的轴的惯性矩和惯性积 材料力学 中南大学土木建筑学院 20 例如 已知Iyc y yc 求Iy z zc a Iy Iyc 0 a2A Iyc a2A 图形对一轴的惯性矩 等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩 加上图形面积与此二轴距离平方的乘积 材料力学 中南大学土木建筑学院 21 一般地 Iy Iyc a2AIz Izc b2AIyz Iyczc abA 在一组平行的轴中 图形对其形心轴的惯性矩最小 惯性积公式中a b为形心坐标 注意其正负号 记住图形对形心轴的惯性矩 便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩 材料力学 中南大学土木建筑学院 22 已知C为形心 求Izc 解 求形心位置由对称性 形心位于对称轴上 zc z1 z2 z 20 200 200 20 55 55 C1 C2 C yC 求Izc Izc 200 203 12 200 20 552 20 2003 12 200 20 552 37 67 106mm4 材料力学 中南大学土木建筑学院 23 4 4转轴公式 坐标原点不变 坐标轴旋转 图形对轴的惯性矩和惯性积的变化 a角 自y轴正向逆时针转动为正 新旧坐标转换关系 y1 ycosa zsinaz1 zcosa ysina 一 转轴公式 材料力学 中南大学土木建筑学院 24 整理后得 Iy1 Iz1 Iy1z1都是a角的有界周期函数 Iy1 Iz1 Iy Iz Ip 常数 材料力学 中南大学土木建筑学院 25 二 形心主惯性轴形心主惯性矩 1 主惯性轴若Iy1z1 0 则y1 z1轴称为主惯性轴 其位置可由下式确定 a0为主惯性轴与y轴的夹角 有两个解 正交 2 形心主惯性轴 通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 对称轴必为形心主惯性轴 材料力学 中南大学土木建筑学院 26 形心主惯性轴 材料力学 中南大学土木建筑学院 27 3 主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩 称主惯性矩 当图形对任意两个坐标轴y z的惯性矩Iy Iz和惯性积Iyz已知时 其主惯性矩可由下式计算 Iy0IZ0 材料力学 中南大学土木建筑学院 28 对 求导 即Iy1z1 0 所以 主惯性轴就是使得图形的惯性矩取得极值时的坐标轴 而主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴中惯性矩取极值 最大值或最小值 时的惯性矩 主惯性矩的意义 材料力学 中南大学土木建筑学院 29 4 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩 形心主惯性矩对梁的应力分布和变形计算起着十分重要的作用 计算步骤 确定形心 确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积 计算形心主惯性矩 材料力学 中南大学土木建筑学院 30 求图示正方形对过形心的y1 z1轴的惯性矩和惯性积 则 两形心主惯性矩相等的几何图形 通过形心的所有轴均为形心主惯性轴 且形心主惯性矩均相等 材料力学 中南大学土木建筑学院 31 O为直角三角形ABD斜边上的中点 y z轴为过点O且分别平行于两条直角边的两根轴 关于惯性积和惯性矩有四种答案 已知b a A Iyz B Iyz C Iyz D Iy Iz 正确答案是 C 材料力学 中南大学土木建筑学院 32 等腰直角三角形如图所示 y z轴是过斜边中点的任意一对坐标轴 即图中 为任意值 该图形的 1 惯性积Iyz 2 惯性矩Iy Iz 答案 0 a4 24 a4 24 材料力学 中南大学土木建筑学院 33 求形心主惯性矩解 选坐标yoz 求形心 材料力学 中南大学土木建筑学院 34 100 20 100 20 C1 C2 C 40 30 O 求Iyc Izc Iyczc 材料力学 中南大学土木建筑学院 35 O 材料力学 中南大学土木建筑学院 36 100 20 100 20 C1 C2 C 40 30 O 100 20 30 20 100 20 20 30 材料力学 中南大学土木建筑学院 37 求形心主惯性矩Iy0Iz0 6 93 106mm4 1 73 106mm4 材料力学 中南大学土木建筑学院 38 100 20 100 20 C1 C2 C O 形心主惯性轴 a0 33 7 材料力学 中南大学土木建筑学院 39 截面几何性质小结 1 静矩 惯性矩依赖坐标系数