“均值不等式”复习课教学设计.doc

文件 sxgbk0011.doc科目 数学关键词 均值不等式/教学设计/标题 “均值不等式”复习课教学设计内容“均值不等式”复习课教学设计一、教学分析：“均值不等式”内容在高中代数第五章第5.3节中出现，它是证明不等式及其各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，是高考数学备考的一个重要知识点，在这个专题复习课中，教师要结合学生在新课学习中暴露出来的知识与能力的缺陷，认真设计好复习方案，力争从正反两方面去加深理解，争取在复习中做到较好的效果。二、目的要求：系统复习均值不等式及其等价式、特例式、使学生领会其中的三个条件，特别是“”或“”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。三、重点：熟练运用均值不等式及其推论放缩不等式难点：求函数表达式与最值时的配凑技巧及“”或“”中“=”成立的条件。四、教学媒体：投影仪五、教学设计模式：知识联系 正例同化 反例顺应 练习强化六、教学过程：（二课时）（一）知识联系（用投影仪显示）对于n个正数而言，积定值则和有最小值，和定值则积有最大值a12+a222a1a2a13+a23+a333a1a2a3a1n+a2n+annna1a2ann2a1a2ana1a2an说明：、a1、a2anR+（公式a12+a222 a1 a2中，a1、a2R）、在的限制下，所有“”或“”中取“=”的充要条件是a1=a2=an、在应用均值不等式求最值时，控制到项数（或因式）最多为3项的（二）、正例同化例1、如果a、bR+，且ab，求证：a3+ b3a2b+ab2（课本例题）说明：该例题课本上已给出了证法一、证法二（分析法、综合法）这里再用均值不等式探索另外两种证法。证法三：a、bR+，且ab 则a3+b3= （a3+a3+b3）+（a3+b3+b3） （） =a2b+ab2 a3+b3 a2b+ab2证法四：a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）（a+b）（2ab-ab）=a2b+ab2 a3+b3a2b+ab2例2、已知：0x，求函数y=x（1-3x）的最大值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，利用二次函数求某一区间的最值解法一、（利用二次函数法可获得求解）（解略）分析二、挖掘隐含条件，3x+1-3x=1为定值，且0x，则1-3x0；可用均值不等式法解法二、0x，1-3x0y=x（1-3x）=3x（1-3x）（）2=当且仅当 3x=1-3x即x=时 y大=例3、求函数y=4sinxcos2x的最值分析：利用sin2x+cos2x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值解：y2=16sin2xcos2xcos2x=8（2sin2x cos2xcos2x）8（）3=8*=y2，当且仅当2sin2x=cos2x即tgx=时，取“=”号y大= y小=-例4、已知：a、b、c都是小于1的正数，求证：（1-a ）b、（1-b）c、（1-c）a中至少有一个不大于思路：用反证法，配凑整理后用均值不等式证法一、假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）aa、b、c（0，1），则3=（1-a）+b+（1-b）+c+（1-c）+a=3即33，这是矛盾的，假设不成立，即原结论正确证法二、假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a 则（1-a）b（1-b）c（1-c）a 又（1-a）b（1-b）c（1-c）a= 这与是矛盾的 假设不成立，即原结论正确证法三、思路与法1、法2同，但变式方法不同（过程略）小结：1、利用均值不等式放缩不等式的常用辅助技巧是添项、拆项2、利用均值不等式求最值问题的常用辅助技巧是配凑和（或积）为定值（三）、反例训应例5、求y=sinx+的最小值，x（0，）错解，x（0，）sinx0 y=sinx+= ymix=错因：y=的充要条件是：sinx=，即sin2x=5，这是不存在的。正解：x（0，）sinx0 又 y=sinx+=sinx+2+当且仅当sinx=即sinx=1时，取“=”号，而此时也有最小值4当sinx=1时，ymix=6例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解，1=2x+y 即=即的最小值为错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。正解1：2x+y=1=2+1当且仅当= 即y=时，取“=”号而 y= x=2x+y=1 y= 即此时ymix=正解2：=3+（以下同1）正解3：设=t 即 =t 2tx2-（1+t）x2+1=0 y=1-2x再用方程根的分布方法求解（略）小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要