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NGA RCH 模型在证券投资风险分析中的应用吴光旭1 ,程乾生2( 1. 北京信息工程学院基础部, 北京 100101) ( 2. 北京大学数学学院, 北京 100871)摘要: 应用N GA RCH 模型在三种分布假设下对上证综合指数进行了V aR 风险值估计, 并且与GA RCH 模 型和A PA RCH 模型估计结果作比较, 通过返回检验, 发现N GA RCH 模型应用于V aR 估计是统计有效的, 且 优于GA RCH 和A PA RCH 模型.关键词: 风险值; GA RCH 模型; N GA RCH 模型; A PA RCH 模型1 引 论近年来金融风险的重要性正逐渐被人们所认识. 风险值 (V a lu e2a t2R isk ) 是金融风险管 理的一个重要指标, 它首先由J. P. M o rga in 1 提出, 并已经成为巴塞尔银行监管委员会风 险管理条例中衡量金融风险的一个工具. 根据J. P. M o rga in 的R iskM e t r ic 技术文件中的定 义, 所谓风险值是指: 对于给定置信度下, 持有的金融资产在持有期内可能遭受到的损失的一种估计. 给定置信度 (1 - ) , V aR 是证券组合的收益损失的 100 下限. 如果记给定 的证券组合的边缘分布函数为 F (x ) , 则无条件V aR 是:V aR = F - 1 (1 - )估计V aR 的方法有许多, 其中包括R iskM e t r ic ( 风险度量) 方法、非参数方法、隐含风险值估 计法2 、GA R CH 类参数模型估计法等等. D u ff ie 和P an 3 一文对于V aR 的估计作了很好的 总结和回顾. 在实际中, 有证据表明4 GA R CH 类参数模型方法能够得到比较好的估计值.本文应用非线性非对称的 GA R CH 模型 (N GA R CH ) 来估计V aR , 并将估计结果与用 GA R CH 模型和A PA R CH 模型估计的结果作比较, 通过返回检验, 发现N GA R CH 模型估计 的V aR 优于其它两种模型.2 GA RCH 类模型下 Va R 的估计2. 1 金融时间序列的特点金融时间序列最突出的特点是峰态与波动率聚集现象. 峰态是指收益率的分布呈厚尾 分布 (见M an de lb ro t 5 或F am a 6 ) , 其峰度值大于3. 波动率聚集现象指大的波动之后紧接着 大的波动, 小波动接着小波动. 此外, 金融时间序列中还经常可以观察到“杠杆效应”, 指在收 益下跌的时候波动率较大, 上升的时候波动率较小 (B lack 7 ). 刻划金融时间序列的恰当的 模型应该反映上述特征.2. 2GA RCH 类模型E n g le 在其著名的论文8中提出了自回归条件异方差 (A u toR eg re ssive Co n d it io n a lH e te ro sk eda st ic) (简称A R CH ) 模型, 该模型可以反映金融时间序列的波动率聚集和峰态现 象. E n g le 也 因 为 对 于 该 模 型 的 研 究 获 得 了 2003 年 度 的 诺 贝 尔 经 济 学 奖.之 后,Bo lle r slev 9 把A R CH 模型推广到广义A R CH 模型 (GA R CH ). 若记 rt 为证券组合的日收益 率, 则GA R CH 模型如下:qprt = t + tZ t , 2 = 0 + iZ 2 1 + j 2j(2. 1)tt-i= 1t-j = 1其中 p 0, q 0, 0 0, i 0 ( i = 1, 2, q) , j 0 ( j = 1, 2, p ) , 新信息过程 Z t 是t严格白噪声, 零均值、单位方差. 2 是已知 t- 1 时刻信息条件下 rt 的条件方差.但是GA R CH 模型不能完全刻划金融时间序列的特征, 尤其是“杠杆效应”. 在 GA R CH 模 型 的 各 种 推 广 中, D in g、G ran ge r 与 E n g le 10 提 出 了 非 对 称 幂2GA R CH 模 型 ( 简 称 A PA R CH ) :qprt = t + tZ t , = 0 + i (| Z t- i | - i Z t- i ) + j j(2. 2)ti= 1t-j = 1t其中 0 0, 0, j 0 ( j = 1, p ) , i 0, - 1 i 0, 说明有杠杆效应.为刻划杠杆效应与波动率动态的非线性性, D u an 11 提出了下面的N GA R CH 模型:rt = -1 2 - tZ t ,2 = 0 + 1 2 1 + 2 2 1 (Z t - ) 2 (2. 3)2 ttt- t-其中 0 0, 1 0, 2 0, 而参数 用于刻划杠杆效应, 如果它的值非负, 则说明有杠杆效 应.2. 3条件 Va R 及其估计V aR 的参数估计法一般是先假定 rt 的边缘分布形式 ( 如: 正态分布或混合正态分布) ,再估计参数以及分位点. 由于V aR 是用来估计金融市场将要面对的风险, 其大小应该随时 间的变化而变化, 所以, 用固定分布来估计各个时刻的风险值不合理. 而且, 一般在估计风险时已经掌握过去的信息, 因此对风险值的估计改为考虑条件风险值的估计. 假设新信息序列Z t 的条件分布函数为 F t (x ) , 则模型 (2. 1) 和(2. 2) 的条件V aR (记作V aR t ) 为:V aR t = - t + tF t, 而模型 (2. 3) 的条件V aR 为V aR t = - t +1 2 + tF t, 2 t其中 F t, 是分布函数 F t (x ) 的上 分位点. t 是 rt 的标准差.为比较三种模型下V aR 的有效性, 选取三种分布作为新信息序列 Z t 的分布: 标准正态 分布、stu den t2氏分布、广义误差分布. 其中广义误差分布的密度函数为: 1vf (x ) =v e2- 1 | x | v,=- ( 2 )2v# ( 1 ) 2v2v + 1 # (v - 1 )# ( 3 )v# (r) 为 # 函数, v 为参数. 当 v = 2 时, 广义误差分布就是正态分布; 当 v 2 时, 广义误差分布的尾部厚于正态分布.在实证中, 三个模型的参数估计均采用伪极大似然估计法 (PM L E ) ( 参见文献12).伪极大似然估计法将条件分布当作正态分布 (虽然真实的条件分布不一定是) 来做似然函数称作伪似然函数, 再求伪似然函数的极大值点以得到参数的估计值. 当三个模型满足一 定的正则条件时, PM L E 是参数的相合估计, 渐进正态. 实际计算时, 由于这三个模型的条 件方差都是某种与滞后条件方差有关的回归量, 似然函数求极大值很复杂, 都需要借助卡尔 曼滤子算法 (或称后向预测法) 用数值最大化方法求解. 以GA R CH (1, 1) 模型的参数估计为 例, 因为2 2 2t = 0 + 1 Z t- 1 + 1 t- 1当 1 + 1 3. 84, 则应当拒绝零假设. 这个指标与指标 1 相近.指标 3平均V aR (A V )条件V aR 预测资产的可能损失, 风险值的平均值能够估计一段时间内平均损失t= T + 1A V = 1nV aR tT + n其中T 是估计V aR 所用数据个数(以天计) , 实际应用中 T = 120. 当V aR 估计经过似然比 检验, 其 ER 值较为接近时, 这个指标可以比较用于抵御风险的平均准备金的数量, 如果两 个模型的L R 值较为接近, 则A V 值小的模型好一些.指标 4风险值的标准差 (S td)nS td =1 (V aR t+ 120 - V a T ) 2n t= 1风险值的标准差测度资本可能损失的不确定性. 这是一个补充指标.4实证我们收集上证综合指数1997 年1 月2 日至2001 年12 月31 日的日数据, 图1 是上证指数 对数收益率的连线图. 从图中可以看到波动率聚集现象, 所以用条件方差来评估风险是恰当 的.4. 1统计描述图 1 上证综合指数对数收益率连线图表1 给出了数据的统计描述, 它表明收益率分布呈峰态和非对称性. 经检验A R CH 效应 显著. 这意味着数据可以用GA R CH 模型刻划.4. 2三种模型的相应结果由 于V aR 常用来估计市场风险, 实证中 主要考虑一天的V aR 估计. 我们使用120 天的 数据来估计第 121 天的V aR. 为能够得到较多 的数据用于评价V aR 估计方法, 采用移动窗表 1 收益率序列的统计描述均值标准差偏度峰度 0. 00047 0. 0166 - 0. 3357 8. 77 口法, 即从前一期数据中去掉最前面一天的数据, 再加上紧接着最后一天的那天的数据, 得 到新的一期数据共120 个用来估计新一天的V aR , 共计1096 期, 也即得到1096 个V aR 估计 值. 为比较 GA R CH (1, 1) 模型、A PA R CH (1, 1) 模型和N GA R CH ( 1, 1) 模型及其表现, 对于 三种假设的条件分布: 正态、t- 分布、广义误差分布(GED ) 估计V aR. 同时, 注意到一些V aR 估计在单个置信度下表现尚可, 而在其它置信度下差距较大, 比较中考虑了两个置信度:95% 和 99%. 我们计算了相应模型在相应分布及置信度下的超出率 (ER )、似然比检验统计 量(L R )、平均V aR (A V ) 和V aR 的标准差 (S td ) 以便作比较.表 2 GA R CH (1, 1) 模型有关V aR 估计结果95% co nf idence leve l 99% co nf idence leve l分布ER A V S td L R ER A V S td L RN o rm a l 0. 0520 0. 0245 0. 0085 0. 0935 0. 0204 0. 0347 0. 0120 9. 1081T 0. 0530 0. 0242 0. 0084 0. 1967 0. 0177 0. 0367 0. 0127 5. 1908GED 0. 0539 0. 0239 0. 0098 0. 3364 0. 0149 0. 0386 0. 0157 2. 2680表 3 A PA RCH (1, 1) 模型有关 VaR 估计结果95% co nf idence leve l99% co nf idence leve l分布N o rm a lT GEDER A V S td L R0. 0474 0. 0250 0. 0109 0. 15600. 0502 0. 0248 0. 0108 0. 00070. 0502 0. 0248 0. 0108 0. 0007ER A V S td L R0. 0214 0. 0354 0. 0154 10. 60550. 0204 0. 0371 0. 0161 9. 10810. 0158 0. 0419 0. 0182 3. 1082表 4 NGA RCH (1, 1) 模型有关 VaR 估计结果95% co nf idence leve l99% co nf idence leve l分布N o rm a lT GEDER A V S td L R0. 0502 0. 0237 0. 0096 0. 00070. 0567 0. 0225 0. 0091 0. 97650. 0530 0. 0235 0. 0095 0. 2001ER A V S td L R0. 0204 0. 0335 0. 0135 9. 10810. 0158 0. 0375 0. 0152 3. 10820. 0112 0. 0395 0. 0160 0. 1507在条件V aR 的估计中, 估计所用数据的长度也值得注意. 太长或太短都会影响V aR 的 估计. 我们选择 120 天数据, 因为这个长度能得到较好的估计.表 2 是GA R CH - V aR 有关数据统计, 注意到在 95% 置信度上, 所有三种分布的似然比检验统计量L R 都说明V aR 估计有效. 但是, 在 99% 的置信度下, 只有广义误差分布 (GED )和 t 分布的V aR 估计有效 (临界值 6. 63).表3 和表4 分别是A R PA R CH (1, 1) 模型和N GA R CH (1, 1) 模型估计的V aR 有关统计数 据. 与表2 类似, GED 分布估计的V aR 值统计最优. 注意到A PA R CH 模型的V aR 估计值效 果与GA R CH 模型下V aR 估计值效果相近, 而前者计算复杂程度高. 在所作的估计中, 系数是正数, 说明有杠杆效应. 在N GA R CH 模型下V aR 的估计中, 也显示有杠杆效应, 其中参 数 大于零. 比较三个模型的V aR 估计数据可知, N GA R CH 模型估计效果最佳, 尤其是 GED 分布下的V aR 估计, 在两个置信度下都是统计有效的.5 结 论本文比较了GA R CH (1, 1) 模型、A R PA R CH (1, 1) 模型和N GA R CH (1, 1) 模型在三种分 布: 正态、t - 分布、广义误差分布下的风险值. 所得数据表明N GA R CH 模型下广义误差分 布的V aR 估计最优.虽然风险值的估计对于防范金融风险有一定的作用, 但是, 风险值只能估计正常情况下的风险, 对于突发风险该指标无能为力. 而金融风险的发生经常具有一定的突发性, 因此, 对 于突发风险形成的机理与防范方法的研究很有必要, 这是需要更进一步研究的问题.参考文献:1 M o rgan J P. 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