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方向导数与梯度 实例 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的实质 应沿由热变冷变化最骤烈的方向 即梯度方向 爬行 一 方向导数的定义 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 当沿着趋于时 是否存在 记为 方向导数的几何意义 过直线 作平行于z轴的平面 与曲面z f x y 所交的曲线记为C 表示C的割线向量 即 割线转化为切线 上式极限存在就意味着当点 趋于点 曲线C在点P0有唯一的切线 它关于方向的斜率 就是方向导数 证明 由于函数可微 则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 二 梯度的概念 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 梯度为等高线上的法向量 等高线 等高线的画法 例如 梯度与等高线的关系 此时f x y 沿该法线方向的方向导数为 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线 梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数 这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向 梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 解 由梯度计算公式得 故 解一 用方向导数计算公式 即要求出从x轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角 在 两边对x求导 解得 切线斜率 故法线斜率为 内法线方向的方向余弦为 解二 用梯度 梯度是这样一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 它的模等于方向导数的最大值 即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看 f x y 在点P的梯度 方向与过点P的等高线f x y C在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线 等高线为f x y C 即 椭圆 大于椭圆 故 三 小结 1 方向导数的概念 注意方向导数与一般所说偏导数的区别 2 梯
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