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第三章内力计算 第一节拉压杆的内力第二节梁弯曲时的内力第三节圆轴扭转式的内力 第一节拉压杆的内力 一 轴向拉伸和压缩在工程中 轴向拉伸与压缩是常见的一种基本变形 例如图3 1 a 所示支架中 AB杆受到拉伸 BC杆受到压缩 如图3 1 b 其受力特点是外力或外力的合力与杆的轴线重合 变形特点是沿杆件轴线方向伸长或缩短 如图3 2所示 杆件的这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩 发生轴向拉伸或压缩变形的杆件 称为拉压杆 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 二 拉压杆的内力如图3 3 a 所示拉杆 为了确定m n 截面的内力 可以假想地用截面m m 把拉杆截为左 右两段 如图3一3 b C 所示 取其中任一段作为研究对象 杆件在外力作用下平衡时 其任一部分也处于平衡 因拉压杆的外力沿杆的轴线 其任一截面的内力也必与杆的轴线重合 这种与杆轴线重合的内力称为轴力 用FN表示 轴力的大小由平衡方程求解 若取左段为研究对象 则 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 以上求内力的方法称为截面法 截面法是计算内力的基本方法 其基本步骤为 截 沿欲求内力的截面将杆件截为两段 取 取出任一段 左段或右段 为研究对象 代 用欲求的内力代替另一部分对研究对象的作用 平 由平衡方程确定内力的大小和方向 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 三 轴力图的应用多次利用截面法 可以求出所有横截面上的内力 一般以与杆件轴线平行的坐标轴表示各横截面的位置 以垂直于该坐标轴的方向表示相应的内力值 这样作出的图形称为轴力图 axialforcediagram 也称为凡图 轴力图能够简洁明了地表示杆件各横截面的轴力大小及方向 它是进行应力 变形 强度 刚度等计算的依据 下面说明轴力图的绘制方法 选取一坐标系 其横坐标表示横截面的位置 纵坐标表示相应横截面的轴力 根据各段内的轴力的大小与符号 就可绘出表示杆件轴力与截面位置关系的图线 这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小 而且还可以根据正负号看出各段的变形是拉伸还是压缩 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 例3 1 如图3 5 a 所示等截面直杆 受轴向作用力F1 15kN F2 10kN 求杆件1 1 2 2截面的轴力 并做轴力图 解 1 外力分析A端的约束力FR 如图3 5 b 所示 可由平衡方程求得 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 在BC段 用2 2截面将杆件截为两段 取左段为研究对象 右段对左段的作用力用Fez来代替 并设Fez为正 如图3 5 d 所示 由平衡方程 3 画轴力图 如图3 5 e 所示 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 四 虎克定律的基本内容杆件在轴向拉伸或压缩时 其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变 杆件沿轴线方向的变形称为纵向变形 杆件沿垂直于轴线方向的变形称为横向变形 设一等直杆的原长为L 横截面面积为A 如图3 7所示 在轴向拉力F的作用下 杆件的长度由l变为l1 其纵向伸长量为 l l1一l l称为绝对伸长 它只反映总变形量 无法说明杆的变形程度 将 l除以l得杆件纵向正应变为 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 当材料应力不超过某一限值 p少 以后将会讲到 这个应力值称为材料的 比例极限 时 应力与应变成正比 即这就是虎克定律 Hookelaw 是根据著名的英国科学家RobertHooke命名的 公式 32 中的E是弹性模量 也称为杨氏模量 Young stnodulua 根据另一位英国科学家ThomasYoung命名的 由于 是无量纲量 故E的量纲与 相同 常用单位为GPa 109Pa E随材料的不同而不同 对于各项同性材料它均与方向无关 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 例3 3 如图3 8 a 所示的铅垂悬挂的等截面直杆 其长度为l 横截面面积为A 材料的比重为 弹性模量为E 试求该杆总的伸长量 解 1 计算吊杆的内力以吊杆轴线为坐标轴 吊杆底部为原点取坐标系 则任一横截面的位置可用x来表示 任取一横截面 取下面部分为研究对象 如图3 8 b 所示 得杆内任意横截面上的轴力为 上一页 返回 下一页 第一节拉压杆的内力 2 计算吊杆的变形因为杆的轴力是一变量 因此不能直接应用虎克定律来计算变形 在x处截取微段dx来研究 受力情况如图3 8 c 所示 因dx极其微小 故该微段上下两面的轴力可以认为相等 该微段的伸长为则杆的总伸长量为 上一页 返回 第二节梁弯曲时的内力 一 平面弯曲作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力 仅由平衡方程可求出全部支座约束力的梁称为静定梁 静定梁的基本形式有以下三种 简支梁一端为固定铰支座 另一端为可动铰支座的梁 如图3 12 a 所示 外伸梁一端或两端有外伸部分的简支梁 如图3 12 b 所示 悬臂梁一端固定 另一端自由的梁 如图3 12 c 所示 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 梁的两个支座之间的距离Z称为梁的跨度 工程中常见的梁 其横截面大多至少有一根对称轴 如图3 13所示 截面的对称轴与梁的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称面 如图3 14所示 若梁上所有外力都作用在梁的纵向对称面内 则变形后梁的轴线将是位于纵向对称面内的一条平面曲线 这种弯曲称为平面弯曲 它是弯曲问题中最常见和最简单的情况 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 二 梁的内力及梁内力的计算1 剪力与弯矩的基本概念梁 的内力仍由截面法确定 如图3 15 a 所示简支梁 为确定任一截面n n的内力 首先求出梁的支座反力FA和FB 然后 假想用截面将梁在n n处截成两段 如图3 15 b c 若取左段梁为研究对象 由于整个梁是平衡的 它的任一部分也处于平衡 由左段梁的平衡可知 在n n截面上必然存在两个内力分量 与截面相切的内力分量 称为剪力 用FQ表示 作用在纵向对称面内的内力偶矩称为弯矩 用M表示由平衡方程可计算出截面的剪力FQ与弯矩M 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 截面n n上的剪力和弯矩 也可由右段梁的平衡条件求出 图3一15 c 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 2 剪力和弯矩的正负号规定为使取左段梁或右段梁得到的同一截面的剪力与弯矩符号相同 根据梁的变形情况 对剪力 弯矩的符号规定如下 在横截面的内侧截取微段梁 凡使该微段梁发生左侧向上 右侧向下相对错动 顺时针错动 变形的剪力规定为正 反之为负 如图3 16所示 使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正 反之为负 如图3 17所示 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 三 计算剪力和弯矩梁任一横截面上的剪力等于该截面一侧 左侧或右侧 所有横向外力的代数和 其中 截面以左向上的外力或截面以右向下的外力 在该截面上产生正的剪力 即 左上右下 剪力为正 反之 则产生负的剪力 梁任一横截面的弯矩等于截面一侧 左侧或右侧 所有外力 包括外力偶 对该截面形心力矩的代数和 其中 截面以左对截面形心顺时针的力矩或截面以右对截面形心逆时针的力矩 在该截面上产生正的弯矩 即 左顺右逆 弯矩为正 反之 则产生负的弯矩 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 例3 5 如图3 18所示悬臂梁受均布载荷a作用 图中距离 0 试计算指定截面的剪力 弯矩 1 1截面 2 2截面 解对于悬臂梁 由截面至自由端梁段上的外力 计算指定截面上的剪力和弯矩 可不必求支座的约束力 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 四 剪力图和弯矩图1 根据剪力 弯矩方程画出剪力 弯矩图梁横截面上的剪力 弯矩随截面位置而变化 若以梁的轴线为x轴 坐标x表示截面的位置 则剪力和弯矩可表示为x的函数 即这种内力随截面位置变化的函数关系式 分别称为梁的剪力方程和弯矩方程 梁的剪力和弯矩随截面位置变化的图线 分别称为剪力图和弯矩图 由内力图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩及其所在的截面 危险截面 位置 以便进行梁的强度计算 下面通过例题说明梁剪力图和弯矩图的画法 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 例3 7 如图3 20 a 所示简支梁受集中力作用 试画出梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座的约束力 2 列出梁的剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力作用 故AC段和CB段的内力方程不同 需要分段列出 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 3 画出剪力图和弯矩图由AC段和CB段的剪力方程可知 AC段梁的剪力图是一条在x轴上方的水平直线 CB段梁的剪力图是一条在x轴下方的水平直线 梁的剪力图如图3 20 b 所示 由AC段和CB段的弯矩方程可知 两段梁的弯矩图均为斜直线 在每段上计算两端截面的M值 可画出梁的M图 如图3 20 c 所示 画内力图的步骤可归纳为 1 求支座的约束力 悬臂梁可以不求 2 分段列剪力 弯矩方程 集中力 集中力偶作用处和分布载荷的起 止点为分界点 3 画剪力图和弯矩图 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 AC段 BC段 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 由内力方程判断内力图的形状 再计算各分界点的内力值 这些点所在截面称为控制截面 最后画出内力图 根据以上例题 可总结出剪力图 弯矩图的规律在集中力偶作用的截面上 剪力图无变化 弯矩图发生突变 突变值等于集中力偶的矩 当集中力偶为顺时针时 自左向右弯矩图向上突变 反之 则向下突变 无载荷作用的梁段 剪力等于常数 剪力图为水平线 弯矩图为针直线 当剪力为正时 弯矩图针向右上方 当剪力为负时 弯矩图针向右下方 在集中力作用的截面上 剪力图发生突变 突变值等于集中力的大小 自左向右突变的方向与集中力的指向相同 弯矩图出现尖点 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 均布载荷作用的梁段 剪力图为针直线 其针率等于均布载荷的集度 弯矩图为二次抛物线 当均布载荷向上作用时 从左向右剪力图为上针的直线 弯矩图为下凸线的二次抛物线 当均布载荷向下作用时 从左向右剪力图为下针的直线 弯矩图为上凸线的二次抛物线在剪力等于零的截面上 弯矩为极值 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 利用以上规律 既可以校核内力图是否正确 也可以不列内力方程而直接画出内力图 画图的方法是 先求出梁支座的约束力 根据外力作用情况将梁分段 并定性判断各段剪力图和弯矩图的形状 计算控制截面 分界点 剪力为零的点所在截面 的剪力值和弯矩值 画出剪力图和弯矩图 这种画剪力 弯矩图的方法 称为控制截面法 例3 10 试用控制截面法画出图3 23 a 所示梁的内力图 解 1 求支座反力 上一页 返回 下一页 第二节梁弯曲时的内力 2 分段 并判断各段FQ M图的大致形状 梁应分AC CB BD段 3 计算控制截面的FQ M值 画剪力图和弯矩图计算控制截面的FQ M值 上一页 返回 第三节圆轴扭转式的内力 一 外力偶矩的计算作用于传动轴上的外力偶矩一般并不直接给出 而是根据轴的转速和轴传递的功率来确定 其计算公式如下 在确定外力偶矩的转向时应注意 轴上主动轮的输入功率所产生的力偶矩为主动力偶矩 其转向与轴的转向相同 而从动轮的输出功率所产生的力偶矩为阻力偶矩 其转向与轴的转向相反 返回 下一页 第三节圆轴扭转式的内力 二 扭矩圆轴扭转时的内力仍用截面法分析 如图3 26 a 所示受扭圆轴 假想将轴沿欲求内力的截面m m截为两段 由于轴原来处于平衡 则其任一段也处于平衡 任取一段为研究对象 根据力偶只能与力偶平衡 m m截面上的内力必须合成为一个力偶才能与外力偶M平衡 横截面上的内力偶矩T 称为轴的扭矩 它的大小由平衡条件确定 若取左段为研究对象 如图3 26 b 所示 则若取右段为研究对象 求得的同一截面的扭矩大小相等 转向相反 如图3 26 c 上一页 返回 下一页 第三节圆轴扭转式的内力 三 扭矩图的基本概念为形象地表示扭矩随截面位置变化的情况 画出扭矩沿轴线变化的图线 称为扭矩图 当杆件上作用有多个外力偶矩时 为了表现沿轴线各横截面上扭矩的变化情况 从而确定最大扭矩及其所在位置 可仿照轴力图的做法来绘制扭矩图 例3 12 轴如图3 28 a 所示 已知A轮的输入功率为PA 22 5kW B C轮分别输出功率为PA 9kW PA 13 5kW 轴的转速为n 960r min 试作轴的扭矩图 解 1 计算外力偶矩 上一页 返回 下一页 第三节圆轴扭转式的内力 2 计算各轴段截面上的扭矩 上一页 返回 下一页 第三节圆轴扭转式的内力 3 画扭矩图 如图3 28 b 所示 由扭矩图可知 轴的最大扭矩 上一页 返回 图3 1