决策分析理论与方法.doc

第一章11 如计划用六个鸡蛋煎蛋饼,已向碗里打了五个好蛋,准备打第六鸡蛋时,有三种不同的方案可供选择,即方案：打入 方案：单打 方案 ：丢弃由于第六个蛋事前不知是好是坏,每种方案均面对两种不确定的结果,即状态：第六个蛋是好蛋 状态：第六个蛋是坏蛋如用分别表示方案在状态下的决策结果好蛋（）坏蛋（）打入（）单打（）丢弃（）收益函数1 设决策问题的收益值为，状态变量为，决策变量（方案或策略）为。当决策变量和状态变量确定后，收益值随之确定。是和的函数，称为收益函数，记作，如决策变量和状态变量均为离散的，即，则收益函数可表示为这可以用矩阵表示，称为收益矩阵，既2损失函数损失值（遗憾值），表示没有采取最满意方案或策略时造成的损失，当决策变量和状态变量确定后，损失值是和的函数，称为损失函数，记着，如决策变量和状态变量均为离散的，即，则损失函数可表示为 ，损失函数也可表示为损失矩阵。损失值可以通过收益值计算出来，公式为。损失值表示在给定状态下，没有采取收益值最大方案，“舍优取劣”给决策带来的损失或遗憾。3决策函数收益函数 损失函数和效用函数统称为决策函数，记着收益矩阵 损失矩阵和效用矩阵统称为决策矩阵，记着决策矩阵常用表格表示，称为决策表例：某企业拟定了三个生产方案，方案是新建两条生产线生产两种新产品；方案是新建一条生产线生产一种新产品；方案是扩建原有生产线改进老产品。在销售预测的基础上，测算了各方案在不同市场需求状态下的条件收益值，见表，试求该决策问题的损失矩阵（高需求）（中需求）（低需求）1000600-2007504505030030080二 决策系统在系统决策中，所有方案或策略的集合，称为行动空间，记着A。当决策变量为有限的离散情况时，行动空间可用向量表示，即 所有可能状态的集合，称为状态空间，记着。当状态变量为有限的离散情况时，状态空间可用向量表示，即 状态空间，行动空间A以及定义在其上的决策函数共同构成一个系统，称为决策系统，记着。系统决策的目的，就是寻求最满意方案，记着或，使得决策函数F达到最优值。三 决策树当状态空间和行动空间A的元素为有限的离散情况时，决策系统除了可以用决策矩阵表示之外，还可以用决策树形图表示。设决策系统的决策矩阵，现作出该系统的决策树1 决策点和方案枝决策点用矩形方框表示，在该处需要对各种方案作出合理的选择。从决策点引出条直线，每一条直线表示一个可行方案，称为方案枝，并将方案标注在方案枝直线之上。见下图K.在这个决策问题中，可行方案有个，。用树形图表示这一局面2.状态点和概率枝对于每一个可行方案，都面临多个可能的自然状态。为了表示这一局面，也可用树形图表示。每一个方案枝的末端画出一个圆圈，称为状态点或机会点，从状态点引出个直线，每一条直线表示一种自然状态，称为概率枝或状态枝，并将状态值标注在概率枝直线之上，图类上。3决策树把决策点和方案枝，状态点和概率枝结合在一起，构成表示决策系统的各种方案和各种状态的树形图。从决策点起沿方案枝经过状态点到概率枝，表示了不同方案在不同状态下的条件结果，并将条件结果值标注在概率枝的末端，图省略用决策树表示决策系统形象直观 简便实用，特别是不同方案的自然状态不尽相同时，用决策矩阵表示就不太，而用决策树就很自然。决策树在风险型和贝叶斯决策分析中用的很多 第二章 确定型决策分析（自己看）如前所述，决策函数一般依赖于决策变量与状态变量，当决策变量既行动方案确定时，决策函数的结果值是一个随机变量。特别地，当状态变量固定即只存在一种状态时，每一个行动方案对应着一个确定的结果值，这时决策函数仅依赖于决策变量，这种决策问题称为确定型决策。这类问题可以通过建立最优化模型来求解（如运筹学）第三章 效用函数效用及其效用函数是随机决策分析（包含随机因素或不确定因素；其基本特点为：一 状态的随机性 二 决策结果值的效用特性）的基础。效用及其效用函数效用函数构造方法理性行为公理本章内容：第一节 理性行为公理在随机决策中，决策系统中的决策方案是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。两个问题需要讨论，一是如何表述在状态空间背景中的决策方案（事态体），二是按照人们共同遵循的行为准则，得出评价方案优劣的价值标准（理性行为公理）。一 事态体及其关系事态体：具有两种以上有限个出现概率已知的方案。设事态体的个可能结果值为，并且，则事态体记作，事态体可用树形图表示。当时，称T为简单事态体，即，如书上例可表为所有事态体的集合满足如下性质：1 如当时 2 方案的排序就是事态体的比较。为此，给出条件结果值和事态体优劣关系比较的概念和表示方法。定义1：设是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，和有如下关系：（1） 若偏好，则称优于，记作；反之，称劣于，记作（2） 若多，无偏好，则称无差异于，记作（3） 若不偏好，则称不优于，记作；反之，称不劣于，记作定义2：设两个简单事态体具有相同的结果值，即，并假定。（1） 若，则称事态体无差异于，记作（2） 若，则称事态体优于，记作；反之，称劣于，记作定义3：设两个简单事态体仅具有一个相同结果值，另一个不同，即，其中（1） 若，则称事态体优于，记作（2） 若，则一定有二 理性行为公理只有满足理性行为公理的事态体集合，其元素之间的优劣关系和其效用才具有一致性，理性行为公理是效用函数的基础。公理1（连通性）上事态体的优劣关系是连通的。即若，则或者，或者，或者，三者必居其一。公理2（传递性）上事态体的优劣关系是传递的。即若，且，则，若，则。满足公理1，2的事态体集合，称为全序集。公理3（复合保序性）若且，则当且仅当公理4（相对序性）若，且，则存在数使得。（说明事态体的优劣关系是相对的，不是无限优，不是无限劣）三 事态体的基本性质性质1 设事态体，且，。若，则存在，使得。其中称为可调概率值（由定义4得）。性质2 设事态体，且。若对于满足优劣关系的任意结果值，则必存在，使得。（因为且，由性质1，必存在，使得，由公理2知）。 其中结果值称为事态体的确定当量，称为关于的无差异概率。性质3 任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体则必存在一个简单事态体使得。其中 且，其中是关于和的无差异概率。（比较一般事态体之间的优劣，可转化为比较相应简单事态体之间的优劣）。 由事态体定义，性质3及公理1，可对同一决策问题的不同方案进行排序第二节 效用函数的定义与构造设有决策系统，在离散的情况下，结果值可表示为决策矩阵，其每一行都表示一个可行方案的个可能结果值，即事态体 。此问题的决策分析，就是对这个事态体进行排序。由性质3知，存在简单事态体，使得，其中 且，是关于和的无差异概率。于是，决策问题就转化为对个简单事态体的排序。由事态体性质知，最满意方案所对应的简单事态体，应该是最大概率值所对应的简单事态体。要求，关键在于求出无差异概率，而由关系式所确定。由上述可知，的大小与结果值的优劣具有一致性。因此，结果值集合与无差异概率值集合之间存在某种对应关系。而无差异概率值是无量纲的量，通过这种对应关系，就可将可行的个结果值具有量纲的量，转化为相应的无量纲的量，而且保持了优劣的一致性。由此，引入效用的概念和测算方法。一、 效用和效用函数的概念经济学中，效用是描述商品或劳务满足消费者需要程度的一个概念，主要用于消费者行为的理论分析。决策理论中，用效用描述可行方案的各种结果值满足决策者愿望，实现决策者偏好程度；它既是概念，反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度，也是量值，可用具体的方法测定，并作为决策分析的依据。1 效用的定义与测定效用：设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者有不同的值和作用。反映结果值对决策者价值和作用大小的量值称为效用，记作标准效用测定法（V-M法）：（其实质是用无差异概率值来测度结果值的效用。由前公理与性质知，这种方法保证了结果值和效用值关系的一致性）设有决策系统，其结果值集合为，记 ，现测定结果值的效用值。（1） 设 （2）建立简单事态体，其中称为可调概率。（3）通过反复提问，不断改变可调概率，让决策者权衡比较；当时，得到无差异关系（4）测得结果值的的效用见书上例2 效用函数结果值集合上的效用函数：设决策问题的结果值集合为，且 。如定义在上的实值函数满足条件：（1），且，满足无差异关系（2），如果，当且仅当（结果值和效用值关系满足一致性要求，且由知，）（3），且，则（对于结果值的凸线性组合满足线性关系）则称为结果值集合上的效用函数，记着二、 效用函数的构造为便于在分析中操作应用，需要得出具体的效用函数。一种实用的效用函数构造法：思路（反向应用标准效用测定法）：对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，即效用值等于的结果值（称为确定当量）。其余效用值对应的点无须测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一标准计算得到。方法的要点：1、得到确定当量 2、为使效用曲线规范化，对结果值进行归一化处理。其中确定当量后得权衡指标值。得三个点3、将纵轴效用函数区间 等分 4、根据同一标准用线性内插方法计算这些等分点所对应的横坐标值。如时计算，按照同一标准在区间中内插点，既按比例关系式 分别计算5、在坐标平面用光滑曲线连结注意：由此法得到的效用函数曲线由权衡指标值唯一确定，进而由确定当量唯一确定。为了用数学归纳法构造效用函数（当然是基于前面得到的确定当量及权衡指标值），用区间长度计算等分点所对应的横坐标值。（见教材）。三、 效用与风险的关系决策者选择方案要承担风险，可用不同类型的效用函数表征决策者对风险的不同态度。1、 中立型效用函数：若有效用函数满足对使得，则称为中立型效用函数。这是因为，中立型效用函数的图形是一条直线，当结果值增加时，效用值按按相同比例增加，决策者效用值增加的速度稳定，表明对风险的态度平和。（此时可用结果值直接评方案。2、 保守型效用函数：若有效用函数满足对使得，则称为保守型效用函数。这是因为，保守型效用函数是一条上凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度由快至慢，反映了决策者随结果增加越来越谨慎。3、 冒险型效用函数：若有效用函数满足对使得，则称为冒险型效用函数。这是因为，冒险型效用函数是一条下凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度越来越快，反映了决策者随结果增加越来越乐观。问题：可否用效用函数的二阶导数来表征决策者对风险的不同态度？为什么？案例见教材 第三节 效用函数表为使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表要点：1、当权衡指标值时，效用函数的图形是上凸曲线，可直接查表。如在列中不能直接查到，则见二、1（4）式 3-142、当权衡指标值时，效用函数的图形是下凸曲线，不可直接查表。但利用结论：的效用曲线与权衡指标值的上凸型效用曲线关于直线对称，且。仍然可间接查表。3在管理决策的实际问题中，对于成本型指标值，条件结果值与效用值不是同时增长，而是结果值增加时对应效用值反而减少（如产品价格、生产成本）。此时，应使归一化指标正向化，即归一化值越大，对应效用值越大（称逆向指标正向化）。 第四节 效用函数的曲线拟合前面通过效用函数表，求得某