高一下学期数学培优平面向量的数量积.doc

高一下学期数学培优平面向量的数量积知识点：（1） 平面向量的数量积的定义 的夹角：非零向量，过O点作，则AOB=（001800）为的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，=00，当且仅当反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作。 的数量积：两个非零向量，它们的夹角为，则=叫做称的数量积（或内积）规定=0 非零向量 当且仅当时，=900，这时=0。在方向上的投影：（注意是射影）的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。（2）平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有： 当同向时，；当反向时，特别地，。 (3)平面向量数量积的运算律交换律成立： 对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或=0(3)平面向量数量积的坐标表示 若=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2+y1y2 若=(x,y),则|=.=x2+y2, 若=(x1,y1),=(x2,y2)则（呢） 若=(x1,y1),=(x2,y2)则(4) 与平面几何的结合：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；为的重心，特别地为的重心；，是的垂心；通过的内心； 则是的内心； 例题分析：例1、 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。例2已知，按下列条件求实数的值。 （1）；（2）例3（1）已知，求在方向上的投影。 （2）三角形ABC中,A(5,-1),B(-1,7),C(1,2).求角B的大小.例4非零向量满足，求与所成角的大小。例5已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若|，且，求的坐标；（2）若|=且与垂直，求与的夹角.例6. 计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且=a,=b,=c,求ab+bc+ca;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;(4)已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是,p=3a-b,q=a+17b,问系数取向值时，pq.例7.用向量法证明以下各题.(1)三角形中的余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直;(3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.平面向量数量积专题训练1、设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( )（A） （B） （C） (D)2、已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则A. B. 4 C. D. 23、若e1，e2是夹角为的单位向量，且a2e1e2，b3e12e2，则ab()A1 B4 C D.4、设是非零向量，若函数的图像是一条直线，则必有（ ）A B C D 5、平面上三点不共线，设,则的面积等于（A） （B） （C） （D）6、已知向量的夹角为（ ）A30B45C60D907、在ABC中，已知向量，则ABC为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形8、已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于A. B.3 C. D. 9、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心DCAB10、如图，在四边形中，则的值为（）11、如图，在ABC中，则=（A） （B） （C） （D）12、在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。13、如图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，|，若+（，R）,则+的值为 .14、已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_15、已知向量|=3，|=4，且，与夹角的取值范围是 16、已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？17、已知且。（1）求与夹角；（2）是否存在实数，使垂直？18、已知|