王凌 读书笔记.doc

关于数学教育若干问题的探讨对话特级教师王凌的读书笔记对话者：王凌 余慧娟王凌，1970年5月生，数学特级教师，江苏省南京市建邺区教师进修学校教研员。喜欢在工作中寻求乐趣，坚信“教学为教育服务”的观点，认为人文素养能丰富教师认识世界的视角，使教师“跳出数学看数学”，实现从“数学教学”到“数学教育”的视角转变。希望教育能让所有的人健康、快乐、有社会责任感。【按】前一段时间，我在网上神游，忽然发现许多数学教育网站、数学教师的博客上都流传着“王凌的35条精彩语录”，而且点击率很高。如今能成为“语录”的东西该是稀罕物了。打开仔细一看，真是 “精彩”！浓缩了不少数学教育的思想精华。能写如此“精彩语录”的人，甭管“语录”从何而来，都代表了一中学养，一种品位。我决定见识这位隐藏着的智者，就其中的某些“语录”向王老师发问。经过两轮挑战和对话，形成了如下文字，也拿来与更多的读者分享数学教师该读什么书，数学教育的精髓是什么，数学理论该如何用实践来解读这一系列困扰每一个教师的问题的答案。“语录”是如何诞生的？余：王老师，您好！对网上广为流传的您的35条“语录”十分感兴趣。不知道您是怎么想到写这些“语录”的？王：2000年年末，我与夏青峰老师（特级教师）一同参加首届江苏省骨干教师培训，期间他问了我一个问题：“什么是数学？”对于一个当时已经工作了12年，但又从未思考过类似哲学问题的教师来说，这个问题如同点燃教育智慧的火星，启动了我对教学理念从不自觉到自觉的思考，从而踏上对数学教育的求索之路。在求索过程中，一系列相关书籍给我提供了丰富的营养，在我脑海中不断地产生着新的教学追求。为了让广大的同行也能分享我的阅读快乐，我在小学数学教学网上发了名为我的读书笔记的帖子，告诉网友将摘录所读书中的精彩观点以供分享。初期局限于摘录教育名家（郑毓信、顾泠沅、）的观点，后来也少量加入了我对数学教育的某些思考。网友出自对该帖的喜爱，从中选了一些编辑为“王凌的35条精彩语录”（事实上，多数为郑毓信教授的观点），并在网上广为流传。这样的传播普及数学教育理论是有益处的，我所做的摘录相当于为教育书籍定做的文化快餐。余：即使是摘录，也很能见水平。因为读书笔记记录的往往是自己内心深处隐藏着的想法或感受。我想，您作为做笔记的人，一定对这些“教育信条”有着自己的理解和认识。我们不妨来聊一聊其中的一些“语录”，如何？王：好的。愿意将自己浅薄的理解拿出来求教于大家。联系实际的教学存在怎样的问题？笔记一：生活中实际问题在课堂中可能会产生认知变异。这并不是教师的教学有不恰当的地方，这表明教学活动中的环境相关性，特别是我们不能期待单纯依靠在教学中引入更多的应用题就可有效地解决数学教学严重脱离实际的老问题，因为同样的问题在不同的环境中完全可能具有不同的意义。余：画线部分该如何理解？王：虽然“加强数学与生活的联系”已经为众多教师的共识，但是必须考虑“教学活动中的环境相关性”。也就是说，同一个问题在生活环境中与在学校环境中，由于“意义”发生变化，解决问题的方式也会出现不同。例如3小时行25千米，平均每小时行多少千米？如果在生活中你会意识到这是一个只需估算的问题（大约8千米多一点）。但是同样的问题，在课堂中却有不同的“意义”：如果是估算教学，你可以得出同样的结论；如果是关于循环小数的教学，那么你就需要借助笔算算出一个循环小数，并且保留几位小数还要再看题目的要求；如果是学习分数与除法的关系呢，那你就必须用分数来表示结果了。余：那么数学教学脱离实际的原因是联系实际的教学太少了，还是联系实际的教学存在问题？王：是我们联系实际的教学存在问题。首先是许多教师并没有意识到上述问题，在教学中人为地设定了某些“标准答案”，导致课堂中的答案与实际生活的答案不一致，这样的“双重标准”人为地设置了课堂问题与实际问题的沟壑。例如，“每千克梨的售价是2.8元，买1.38千克梨实际应付（ ）元”，其计算结果是3.864，有教师规定答案为3.9元，要求用“四舍五入法”取近似值保留到“角”；实际生活中往往使用“去尾法”取近似值，只要付3.8元就够了。因此课堂问题与生活实际并不是完全一致的，解决问题的方式自然也是有差别的。但不必在这种无关紧要的细节上过多纠缠。就上例来说，如果学生能正确计算小数乘法的积，就达到了基本教学要求，他用怎样的方法取近似值只要有道理就行，即使需要统一也应当在承认学生想法的基础上加以引导，容易混要的地方在考试时应明确要求。其次，并非所有的数学知识都在儿童的现实生活中具有实例，因此在引进生活中的实际问题是要关注该问题是否具有“真实意义”，即使被儿童所认可，否则就会被认为是认为臆造的。例如，“一张方凳的面是由边长0.32米的正方木板做成的，凳面的面积是多少平方米”，在实际生活中，首先我们不会选择“米”作为凳面边长的度量单位，其次往往会估计面积为9平方分米。而不是精确计算。这种人为臆造的应用题会让学生产生“不信任感”，即生活中不会出现这种问题，它只出现在数学课堂。长此以往的一个后果是，学生是课堂与实际生活为完全独立的两个情境，在课堂上学到的解决问题的方式不能用于解决实际问题。这种隔膜阻碍了学生灵活应用能力的发展。所以引进这样的应用题只会与我们的初衷相背离。最后，我们还需要强化课堂问题与实际生活中的问题的联系。以近似与精确为例，在美国Houghton Mifflin公司出版的四年级数学书中，就用问题引导学生思考什么时候可以用近似数，什么时候用精确数。问题1：阿姨准备接你和你的朋友去游玩，为了接你的朋友，她需要你朋友的地址，你认为提供一个近似数行吗？问题2：你和三个朋友约好上午10：45在入口处会面，你认为将时间近似到11：00到达好吗？问题3：你想买3个0.5美元的游戏币，还想买2.95美元的三明治，你有5美元，你需要求出精确值才能判断你的钱够不够吗？问题4：只用四舍五入的数，为一个真正的或假设的活动设计一张海报，让你的朋友识别出那些不能提供足够信息的四舍五入的数。问题5：近似数什么时候能提供足够的信息？什么时候需要精确值？你能举例说明吗？问题4和问题5告诉我们，必须正视“教学活动中的环境相关性”。事实上我们的应用题虽然取材于生活，但是在编题的过程中，舍弃了众多生活信息，只保留了数学信息，并且开放度不够，本身也很难做到“真正联系实际”，但是我们可以通过小课题作业、综合实践活动来感受数学在生活中的应用，通过比较数学问题在学校与生活中解决方式的异同来抓数学与生活的联系。例如，A种面巾纸5包卖8元，B种面巾纸6包卖9元，你会买哪种面巾纸？从生活的角度看，对品牌的喜好、对价格的考虑、包装的认同等诸多因素都会成为购买的理由，从数学的角度看，价格比较就成为标准。通过比较学生就会发现“对价格的考虑”是数学与生活共同关注的因素。我们还可以在承认学生答案合理性的基础上，增加某些数学问题答案的开放度，以使数学课堂和现实生活尽量建立联系。余：这个问题其实正说明“联系生活实际”的教学远没有收到预期效果。很多人以为这一目标很容易达到，这是一种简单化的理解。这里的一个重要目标是培养学生灵活解决问题的能力一种较高层次的能力，只有在变化的、复杂的情境里才可能得到发展，因为这关系到对具体情境的分析和对解决问题方式的选择。纯数学层面的计算、求解，从某种程度上来说，更为简单。由此，我们应该对“联系实际的根本目的是什么”、“如何联系实际”重新思考。为什么要超越纯经验层面的教学？笔记二：首先我们应当特别关注学生数学学习过程中思维活动的研究，从根本上说，一切的数学教学活动最终都应落实到学生的数学学习，从而只有对学生在学习过程中的思维活动具有较为深入的了解，数学教学工作才有可能超越纯粹经验总结的水平而上升为理论指导下的自觉实践。余：超越纯粹经验的教学与理论指导下的教学到底会存在怎样的不同？王：实事求是地说，众多的一线教师是排斥理论的，其中很重要的原因是很少有理论研究工作者走下高高的神坛，扎根一线，让教师看到在理论指导下的教学实践与完全凭借经验的教学实践究竟存在怎样的区别。余：的确如此。王：因此新老教师的一个重大区别便是“教学经验”的多寡。老教师知道什么教学内容学生的学习难度大，知道如何通过反复的练习帮助学生达到学习要求以应对考试。这种“经验”，事实上正是对学生在学习过程中的思维活动的一种朴素了解。如何超越这种经验，离开数学教育理论的指导是难以想象的。余：那么“朴素了解”和理论指导下的了解存在怎样的区别？王：以二年级（下）隔位退位减法为例，老教师知道这是教学难点，知道学生会忘记“0上打点想成9”，经验带给老教师的是问题的表面现象，但是并不是了解这种现象的深层原因是由于在计算过程中注意力的转移与分配发生变化，在此过程中，短期记忆的小容量的短时间特征使得学生的认知系统很难达成协调状态，因此屡屡出现303-157=156，303-157=254等错误。很多教师教学时仅通过静态的教学挂图（甚至不用教学挂图）来教学竖式计算，反复强调“个位3减7不够，向十位借1，十位是0，所以向百位借1，”，然后结合竖式的计算过程反复让学生说理，他们注重放慢节奏，运用“刺激反应”的行为主义教学方式“稳扎稳打”，学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是对算理的理解只能是“小和尚念经，有口无心”的状态。还有一些教师贸然举着“自主探究”的大旗请学生自主计算，探究算法，效果不佳。其中的原因就是没有了解并理解学生在该学习内容上的思维情况，导致教学方式选择上的盲目。我请过六位学生（一位优等生，四位中等生，一位学困生）自行解答303-157，每个学生都很有信心地表示会计算。他们的答案各种各样，却又能自圆其说。例如有的计算结果是56，他的解释是：“个位3减7不够减，向十位借，而十位上是0，因此就向百位借，13-7=6，十位上0-5不够，也向百位借，10-5=5，百位借走2，还剩1，1-1=0，结果是56。”从课前的学情调查情况看，如果想让学生自主探究隔位退位减法的计算方法，是超越学生的最近发展区的。受到信息加工理论和有意义接受学习理论的启发，在教学中重点针对学生的短期记忆容量小、时间短的情况，帮助学生内化、压缩，组建“0上有点想做9”的记忆模块，达成对算理的理解和计算机能的形成。所以我以为，优秀教师公开课当中的精彩生成绝大多数源自他们对学生学情（尤其是学生的思维活动规律）的准确把握。这也正是为什么我们需要从“经验型教师”向“研究型教师”转变。余：所以说数学教育学首先是一门认知科学。我们必须对类似这样的基础理论给予足够的重视。“化归”作为教师的一种特殊才能笔记三：教师的工作具有一种化归的性质，即应是对学生来说原先是困难的、抽象的、复杂的东西转化成较为容易的、具体的、简单的东西。余：说得很精辟，化归是数学教师的一项重要工作，尤其是小学教师的一种特殊才能。能否举例说明该如何“化归”？王：比如，分数应用题长期以来一直是难教难学的内容，到目前为止仍然如此。尽管教材降低了学习难度，但是从一线教师的实际情况看，情况仍不容乐观。原因就在于教师将分数应用题人为地另起炉灶，“单位1、对应量、分率”等专用 “术语”让学生晕头转向。事实上分数应用题就是将倍数关系以分数形式呈现的倍数问题，其数量关系、分析方法与过去所学的倍数问题完全一样，打通这两类问题的联系，完全可收到事半功倍的效果。有一次，朋友的女儿向我抱怨：“不懂老师讲得分率是什么意思。”我请他做三道题：1.男生有20人，女生人数是男生的2倍，女生有多少人？解答后请他指出一倍数、倍数等基本概念与数量关系。2.男生有20人，女生人数是男生的1.5倍，女生有多少人？比较前两题，只存在倍数有整数变位小数这种外在变化。3.请她将第二题中的1.5改成分数。将一倍数与单位“1”、倍数与分率进行比较，建立联系，她立即就明白了分率和倍数只是意义相同的两种不同说法而已。所以要想实现这种化归，需要在对教学要求把握准确的前提下精心组织教学材料、选取教学方法，而要做到这两点，必须对学生的学情有正确的了解。这也再次说明，有效教学是教材、学情、教法的三维统一。余：也许正因为如此，教学才成为一门艺术。我常觉得，教师之所以伟大，一方面是因其人格魅力和学识水平；另一方面，就是因为这种与“学生”这个未成年群体巧妙地展开思想对话的能力。希望更多的教师具备并不断提升这种能力。如何使“教学方式多样化”成为教师的自觉行为？笔记四：在课程改革中，我们要防止一种片面的认识以及简单化的做法，特别的，我们不应该对各种教学方法做出正确（先进）与错误（落后）的绝对区分，要提倡教学方法的多样性，不能通过行政手段强制地去实现教学方法的改革，这应当成为教师的一种自觉行为。余：可如何才能使教学方法多样化成为教师的自觉行为？王：在课程改革初期，所听到的公开课必定是采用小组合作学习方式，似乎不如此便难以体现课改精神。这显然是荒谬的。学习方法的选择需要辩证地考虑学习内容与班级学习风格之间的一致性，当然班级学习风格是需要考虑教师因素的。教学方法的改革是需要以教学理念的本格为前提的，其中对数学教育能的认识、教师的教学观、学生观是核心。但是我们又不能期待教学行为的正效应，毕竟将好的想法变成现实和想一个好的想法是两回事。要是教学方法的多样化成为教师的一种自觉性行为，需要教师本身素质特别是对教学问题进行反思和研究的能力的提高。这其中，最重要的是加深教师对学科知识的理解。曾有一段时间，大家对学习方式关注过热，而忘记了“内容决定形式”这一基本原则，学科知识反倒被放在次要位置。事实上，正如巩子坤与宋乃庆所认为的：掌握牢固的基础知识不一定就能成为一名好老师，但是，不掌握牢固的基础知识则肯定成不了一名好老师。数学教学的问题“并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学是什么如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”。其次，让教师全面了解各种教学方法的特点，还是极有必要。教研员在听课过程中经常会发现教师对教材理解不到位、对学情把握不准确、教学方式方法选择不合理等问题。可在教师的提问中，针对教材、教法的问题不足5%，其实教师是知道自己在这些方面不尽人意的，但他们“我想不出如何处理”，因此宁愿用补课的方式来提高学生的学习成绩，尽管这种方式对学生来说可能是不利的，但是他们认为可以用“体力”来弥补“脑力的不足”。而这恰恰是优秀教师与一般教师的最大差异。优秀教师往往迎难而上，发现问题后集中精力解决问题。教师为什么愿意用“体力”来弥补“脑力不足”，而不是通过“研究”来解决呢？原因有三：一，想研究，但不知道如何研究缺少研究的方法；二，认为自己研究不出什么缺少研究的信心；三，不想研究，我就这样缺少研究的动力。相对而言，前两种原因占多数，所以，我以为教师缺少的是来自外部的（包括精神的、物质的、方法的）支持，特别是来自精神的支持。其次必须有方法上的支持，要具有可操作性，而不是笼统的、模糊的、不着边际的，既要告诉教师下面应该做什么，同时又要说明这样做的原因，否则教师的研究难以为继，解决教学方法的问题也就遥遥无期了。当然，同时还要进行数学教育理念的培训，这里不多说了。我想教师在具有了深厚的学科功底、对教学方法和学生的透彻了解，对数学、数学教育有了自己的哲学认识，自觉地实现教学方法的多样化将会成为现实。因为这是一种综合素养和能力的体现。关注学生的什么？笔记五：学生为什么会发生学习问题，主要原因并不在于他们没有记住定义和公式，而是由于他们的建构活动发生了一些偏差，这涉及他们已有的知识基础、目前组织知识的方式等，要分析他们的错误，就必须深入他们的建构过程中去探察。余：如何能洞察出学生组织知识的方式从而找到教学不成功的原因？王：成年人在长期的学习过程中，由于自动化机制的作用，往往已经淡忘了学习初期的思维活动，因为我们看到9+5就会想到14，着被看作是天经地义的事。但是被成年人认为是天经地义的事情，在儿童眼中，可能就是与成年人的理解完全不同的世界。例如，有13朵红花，8朵蓝花，红花比蓝花多多少朵？蓝花比红花少多少朵呢？在我们眼中，红花比蓝花多5朵，那么很自然，蓝花比红花少5朵，这时无需思考的。而实际情况是，“蓝花比红花少的朵数”这个问题对幼儿园大班下学期的儿童和很多一年级学生来说，都是一个不小的挑战。在听课过程中，教师在黑泥板上贴了13朵红花，在第二行与红花一一对应地贴了8朵蓝花。在请学生上台指出红花比蓝花多的部分时，学生只看了看，就顺手地指出了多出的部分，并回答“红花比蓝花多5朵”。但是教师再请他们指出蓝花比红花少多少朵时，他很认真地看了一会儿，告诉老师：“蓝花比红花少，但是没有蓝花比红花少的。”因为在图中，多出的部分是可视的，对学生来说是真实存在的，而少的部分则是一种虚拟存在，低年级儿童以直观形象思维为主，自然会产生真样的建构偏差。我们建议教师在这一内容时，可以请学生思考：“蓝花再添几朵就和红花一样多？”并用虚线补画出5朵蓝花，进而告知“蓝花添5朵才和红花一样多，就表示蓝花比红花少5朵”，再比较“红花比蓝花多的”和“蓝花比红花少的”两者的关系。从这个角度看，了解学生（尤其是组织知识的方式）仍是非常值得教师关注的。怎么能了解到？我们可以加强学前的学情调查和学后的错例分析，包括：（1）对教学内容的了解程度及情感状态。例如，你听说过小数与小数相乘吗？你认为他有用吗？你能否找到在生活中应用小数乘小数的例子呢？（2）解决问题的能力。例如，你会计算1.61.4吗？如果学生能计算，重点询问他是如何确定积中的小数点的位置；如果学生算错了或不会算，通过观察、询问来了解他的想法。（3）对于教学后普遍出现的错误应当及时分析原因。了解学生的过程应当使教师的一种经验性活动（当然也需要教师有一定的认知理论基础，否则很难正确理解学生思维活动的实际表现），亲历亲为调查的效果比以来阅读材料来了解学生要好得多。这位教师合理设计教学过程提供了最重要的依据。学生在教学前出现的问题往往集中在不恰当的迁移，例如，学生计算1.61.4，往往会将积中的小数点语音书中的小数点对齐，就是受到小数加法的影响，教师就有必要在教学时安排估算环节，了解积的大致范围，进而引导学生思考积中小数点的位置。而在教学后出现的问题往往是由于教师不恰当的教学方式造成的。所以深入学生的认知建构过程，了解他们错误产生的原因，正式减少教学失误的一剂良药。笔记六：如何看待练习？练习应当被看作新的认知活动的一个必要条件，因为，从数学认知的角度，操作构成了自反抽象的直接基础，从而，这种操作缺少了，后面的反省就无法落实。从教学的实践看，数学学习在很多情况下确实可以被看成一种不自觉的自发行为。但是，尽管所说的错误一再得到纠正，我们也可要求学生成百上千次地做同样的练习，这些错误可能仍然会以同样的方式表现出来。因此如何从一种不自觉的学习状态向更为自觉的学习状态转变，就成为搞好数学教学的一个关键问题。余：怎样才能实现从不自觉的学习状态向更为自觉的学习状态转变？王：我认为出路就在于学生元认知能力的培养。元认知能力是指在解决问题的过程中的自我监控与调整能力，例如，对解题过程合理性的判断、解决问题时思路的及时调整、对结果的自觉检验、对完整解题过程的回顾等。我们还必须进一步加大教学的开放性，以使学生能有更大的空间来发展自己的思维，培养独立思考的能力。因为一旦在学习中坚持“拿来主义”，习惯于接受学习，培养元智能力根本就是无稽之谈。需要同步加强的是，我们必须关注学生自我描述其对结果的获得过程，能对结果的合理性作出解释。只有如此，学生才会关注思路是否合理，而不是将数学简单地处理成题目中数据的混合运算。我曾经教过一个学生，虽然聪明，但是思考问题不求甚解，成绩位于中等水平，接班后要求他在解题后尽可能将解题思路完整地重新描述。由于师生关系融洽，我的建议被他采纳，一年下来，数学成绩提高很多，满分毕业。更值得高兴的是，他有了反思的习惯，能自觉地比较不同问题之间的联系，在解答数学问题时看的准、看得透，能一下抓住问题的本质进行思考，在解决问题的过程中能灵活地选用不同的策略帮助自己寻找突破口。事实上，元认知能力的形成有效地促进了学生对解决问题过程的反思与总结，如此，学生才会真正地在比较中发现问题中的数学结构，达到举一反三的境界，才会再比较中发现错误解答的根源，真正地纠正错误。更进一步，元认知能力的形成可以使学生摆脱就题论题的状态，能够逐步自觉运用数学思想、方法来解决问题。余：说得好！不关注元认知能力，学生学起来就如同盲人摸象，难以有整体概念，难以融会贯通。这或许也是许多教师摸不到数学教学门道的重要原因。笔记七：同学们用自己的思考方式来探讨数学问题时，一般来说其方法与标准教科书上典型例题的方法很少有相似之处。正如儿童需要从错误中学习一样，学生学习数学也需要有不断摸索的过程，我们应当为他们提供这样的学习环境，允许他们又反复的余地。从长远来说，真正重要的事情不是记住一些数学技巧技巧不经常用，很快就会忘记，而是树立一种信心，当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一本法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种精神。余：画线部分说得太好了。您在这方面有没有实践？王：分数除以整数是分数除法教学的第一课时。教学前了解学生具备哪些相关的数学知识能力。在教学设计时，坚持从学生的已有的基础出发，提供富有挑战性的、有利学生进行观察、实验、猜测、推理、归纳的学习内容，教师的主要任务是组织和引导。力求学生能运用化归思想自主推导分数除以整数的计算方法，进一步体会化归思想在数学学习中的重要作用，增强学习数学的信心。教学片断1：明细化归的基础师：分数除法怎样计算呢？事实上，有一些分数除法同学们会计算。 0 1 1师：你是根据什么知识口算这几道题的？（学生的回答有：两个相同的数相除等于1；前提是这两个数不等于0；0除以任何不是0的数都等于0；1除以一个不是0的数，结果是这个数的倒数；任何数除以1等于任何数。）教学片断2：探究计算的方法（教师引导学生思考 3如何计算）师：在数学学习的过程中，我们经常遇到新问题，这时需要考虑如何将新问题转化为已学过的旧知。现在看一看，我们已经掌握了哪些分数除法的知识？（学生回答有：分数除以整数，用分子除以整数的商作分子，分母不变；1除以一个分数，结果是该分数的倒数；一个分数除以1，结果是原分数。）师：你能将 3转化成已经掌握的分数除法吗？小组讨论并将讨论结果记录下来。（小组汇报。）生1： 3= 3= 生2： 3=（ 5）（35）=115= 生3： 3=（ ）（3 ）= 1= 师：请归纳自己小组讨论分数除以整数的计算方法。生1：先将分子和分母同时扩大相同的倍数，使除数能整除分子，再用前面的计算方法。生2：利用商不变性质，将分数除以整数转化成1除以一个数，再计算。生3：利用商不变性质，将分数除以整数转化成一个分数除以1，再计算。师：观察第三种方法：3=（ ）（3 ）= 1= 这个计算过程还可以更简捷些，你能看出来吗？生：计算过程中的 除以1可以省略，因为任何数除以1结果还是任何数。【师板书： 3=（ ）（3 ）= = 】师：观察 3= ，你能说一说吗？生1：我发现分数除以整数，等于分数乘整数的倒数。生2：我觉得他讲得太繁了，我有一个好记的方法只要四个字就够了：化除为乘。生3：我还有补充，我觉得这里的除数不需不等于0，所以应该说分数除以整数（0除外），等于分数乘整数的倒数。教学片断3：计算方法的优化师：刚才小组讨论时，每组用一种方法计算了 3，现在你能用其他的方法计算一下吗？（学生计算后）你认为哪种方法最好？为什么？生1：我喜欢用分数乘整数的倒数这种方法，计算起来比较方便。生2：如果分子正好是除数的倍数，我喜欢用分子除以整数的商作分子，分母不变的方法。师：如果请你选择一种方法作为分数除以整数的计算法则向其他班级的同学介绍，你觉得介绍哪一种方法好？为什么？生：我觉得分数乘整数的倒数这种方法好，不仅计算简便，而且适用于所有的分数除以一个