用导数处理不等式恒成立问题.doc

_教学过程一、复习预习一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值二、知识讲解常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法。考点1：利用导数解决恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上考点2：利用导数解决能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.解决不等式恒成立问题和能成立问题，注意一个是全称命题，一个是存在性命题，所以转化的时候要注意求的到底是函数最大值和最小值。三、例题精析【例题1】【题干】设函数在及时取得极值（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围【答案】（1），（2）的取值范围为【解析】（1），函数在及取得极值，则有，即，解得，（2） 由（1）可知，当时，；当时，；当时，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为对于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范围为【例题2】【题干】设函数(1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数，若在l，e上至少存在一组使成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）切线为 （2），由题意若函数在其定义域内为增函数，在（0，+）上恒成立，即，（3）在1，e上至少存在一组使成立；则， 9分在1，e上递减，令当时，在上递增，当时时在上递增，不合题意。当时，在上递减，当时，在上递减，ks5u时，不合题意。综上： 【例题3】【题干】已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围.【解析】（1）当时，在内单调递减，在内单调递增，当时，有极小值，的极小值是（2）在上，是增函数，当且仅当，即.当时，恒成立.当时，若要成立，则需，解得.当时，若要成立，则需，解得.综上，的取值范围是四、课堂运用【基础】1.三次函数f（x）=x33bx+3b在1，2内恒为正值，则b的取值范围是_【答案】 【解析】方法1：拆分函数f（x），根据直线的斜率观察可知在1，2范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出b的范围。2. 对于总有成立，则的值为多少？【答案】a=4【解析】若，则不论取何值，显然成立；当，即时可化为.设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而.当，即时，可化为，则在区间上单调递增，因此，从而.综上所述.【巩固】1.设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.2. 已知函数，讨论的单调性.【解析】的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.【拔高】1.设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【解析】（）,曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.2. 已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。【解析】(1)的定义域为。（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a1,证明对任意的c,都有M2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。【解析】，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 此时由有若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（）可知；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即2. 已知函数,其中 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.【解析】(1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时