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P13 1 1 2一充满电荷 电荷体密度为 0 的球 证明球内各点的场强与到球心的距离成正比 解 1 分析题意 场的分布呈球对称性 以对称中心为坐标原点 建立球坐标 将带电球体分割成无数多个同心薄球壳 它们可视为一均匀带电球面 例1 3 球内离球心r处的场强 半径r r r 厚度dr 的带电薄壳的电荷元 它在r处的场强为 半径r r r 带电薄壳在r处的场强为 球内场强dE dE1 dE2 所以 球内各点的场强与到球心的距离成正比 解 1 分析此例 场的分布呈球对称性 以对称中心为坐标原点 建立球坐标 作半径为r的同心球面正好是球对称面 取它为高斯面 0 r r b时 所以 球内各点的场强与到球心的距离成正比 1 1 4证明两等量异号的长直平行线电荷场中的等位面为一组圆柱面 证明 设两等量异号的长直平行线电荷 和 都与xoy平面垂直 且分别位于 d 0 和 d 0 那么xoy平面内任一点的电位为 取x 0平面为电位参考点 为常数 故该式为等位线方程 平方并整理得 当 这是圆的方程 可见 在xoy平面上 等位线为一簇圆心在x轴上的偏心圆 即等位面是一些偏心圆柱面 P191 2 1一点电荷放在无界均匀介质中的一个球形空腔中 介质介电常数为 空腔半径为a 求空腔表面的极化电荷面密度 q 解 极化电荷面密度 1 4 1电荷 a r2 分布于R1 r R2的球壳中 其中a为常数 用泊松方程直接积分求电位分布 选取无穷远处为电位参考点 0 r R1 R1 r R2 R2 r 选球坐标 球心与原点重合 由对称性可知 电位 仅为r坐标的函数 故泊松方程为 0 r R1 R1 r R2 R2 r 积分 通解为 0 r R1 R1 r R2 R2 r 确定积分常数 r 0 1应为有效值 则C1 0 r 3 0应为有效值 则C6 0 r R1时 1 2 则 则 r R2时 2 3及 则有 求解得 1 4 2两平行导体平板 相距为d 板的尺寸远大于d 一板电位为零 另一板电位为U0 两板间充满电荷 电荷体密度与距离成正比 试求两板见的电位分布 边界条件 x 0 x d 边界条件 x 0 x d 场只与x坐标有关 在直角坐标系下展开上式 边界条件 x 0 x d P461 7 2河面上方h处 有一输电线经过 其电荷线密度为 河水介电常数为80 0 求镜像电荷的值 边值问题 简单求解 利用两介质分解平面的镜像公式 有 1 7 5两根平行圆柱形导线 半径均为2cm 相距12cm 设加以100V电压 求圆柱表面上相距最近点和最远点的电荷密度 a 2cm 0 02m h 12cm 2 0 06m 以y轴为电位为参考点 如图此时空间任意点的电位 设 圆柱的电位为 1
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