第七章 第七节 立体几何中的向量方法(理).doc

第七章 第七节 立体几何中的向量方法（理） 题组一利用空间向量证明平行、垂直问题1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于 ()AAC BBDCA1D DA1A解析：如图所示，易证BD平面AA1C1C，又CE平面ACC1A1，BDCE. 答案：B2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ()A相交 B平行 C垂直 D不能确定解析：正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，且()0，MN平面B1BCC1.答案：B题组二利用空间向量求空间角3.(2010陕西八校模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为 () A. B.C. D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B4(2009上海高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，ABBC，求二面角B1A1CC1的大小 解：如图，建立空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，BMAC，BMCC1.BM平面A1C1C，即(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是n(x，y，z)(2,2，2)，(2,0,0)，令z1，解得x0，y1.n(0,1,1)，设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos|cos|，解得.二面角B1A1CC1的大小为.题组三综 合 问 题5.如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA.(1)求证：PAB1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，P(1,1,4)(1)证明：(1,1,2)，(2,2,0)，2200，PAB1D1.(2)平面BDD1B1的法向量为(2,2,0)(2,0,0)，(1,1,2)设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，则n，n.取n(0，2,1)，设所求锐二面角为，则cos.6(2010广州调研)如图，已知等腰直角三角形RBC，其中RBC90，RBBC2.点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PAAB，连结PB、PC.(1)求证：BCPB；(2)求二面角ACDP的平面角的余弦值解：(1)证明：点A、D分别是RB、RC的中点，ADBC，ADBC，PADRADRBC90，PAAD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB.PB平面PAB，BCPB.(2)法一：取RD的中点F，连结AF、PF. RAAD1，AFRC.APAR，APAD，AP平面RBC.RC平面RBC，RCAP.AFAPA，RC平面PAF.PF平面PAF，RCPF.AFP是二面角ACDP的平面角在RtRAD中，AFRD，在RtPAF中，PF，cosAFP.二面角ACDP的平面角的余弦值是.法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则D(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)(1,1,0)，(1,0,1)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则：令x1，得y1，z1，n(1,1，1)显然，是平面ACD的一个法向量，(0,0，1)cosn，.二面角ACDP的平面角的余弦值是.7(2009江西高考改编)如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面ABM平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；解：法一：(1)证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC.又因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，ADPAA，所以CD平面PAD，AM平面PAD，CDAM，又CDCMC，所以AM平面PCD，AM平面ABM，所以平面ABM平面PCD.(2)由(1)知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点，可得AM2且M到平面ABCD的距离为2，MC2，则SACMAMMC2，SACD4.设D到平面ACM的距离为h，由VDACMVMACD，即2h8，可求得h.设所求角为，则sin，即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为.法二：(1)同法一；(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，(2,0,0)，(2,4