Ch2、导数与微分.doc

Ch2、导数与微分1、导数概念一、引例1、 瞬时速度平均速度，时刻瞬时速度2、切线斜率割线斜率为，由切线定义，切线斜率两者的共同点是 （函数变化率）二、导数定义定义1：设在的某邻域内有定义，如极限存在，则称在处可导，并称此极限为在处的导数，记为。导数还有如下形式的定义：导数的几何意义由引例2和定义1可知，导数即曲线在点处切线的斜率。例1、在处可导，求 定义2：若在开区间内每上点均可导，则对任一，都有唯一导数值与之对应，这构成了内的一个函数，称为的导函数，简称导数，记为 切记：三、常用导数1、 （1）解：2、 （2）解： 3、 （3）解： 同理 （4）4、 （9）解： 特别地， （10）5、 （11）解： 特别地， （12）四、左右导数定义：如左（右）极限存在，则分别称之为在点处的左（右）导数，记为。定理：例2、求的导数。解：； （此时用公式）， （此时一定要用定义）故不存在，即处不可导。从而注：此题易犯的典型错误为“因”开区间内函数的导数可直接用公式计算，但分段点处的导数一定要用导数定义（一般要分左右导数）计算，切记！五、可导与连续的关系定理：若在处可导，则在处连续，即。证：,即在处连续。注：反之不成立，即连续不一定可导（见下例）。例3、讨论在处的连续性、可导性。解：故处连续。，故处不可导。若函数改为或，结论如何？例4、求曲线的与直线平行的切线。解：设切点为，则切线斜率为依题意，故切线为2、导数的四则运算法则设、均可导，则1、例如， 2、，特别地，其中C为常数。例如，3、例1、求的导数。解：即 （5） 同理 （6）即 （7） 同理 （8）3、反函数及复合函数的导数定理1：若与互为反函数，且单调、可导，则，即例1、求的导数 （13）解：为的反函数，同理 （14） 例2、求的导数 （15）解：为的反函数，同理 （16） 定理2（链锁法则）：若与均可导，则也可导，且 即推广：例3、求下列函数的导数 5、高阶导数1、引入 一阶导数 二阶导数记为同理有2、常用的阶导数解： 特别地，解：类似地，解：，同理例1、求 的阶导数。解：， 例2、求 ，求解：，3、莱布尼兹公式 例3、，求解： 6、隐函数的导数、参数方程确定的函数的导数、相关变化率一、隐函数的导数1、由方程所确定的函数称为隐函数。例如，其中前者可显化，而后者不能。2、求导法：在方程两边关于求导，此时，切记为的函数。例1、，求解： 例2、，求解： 3、对数求导法例3、，求错解：不是幂函数，而是幂指函数。解：两边取对数，然后再两边对求导，故或：例4、，求解：两边取对数， ，故注：对数求导法适用于例5、，求解： 二、参数方程确定的函数的导数1、若参数方程确定了为的函数，则例6、 解： ，又，故2、高阶导数 （此时为的显函数）例7、 解： 注：典型错误“” 注： 例8、解：三、相关变化率设有两变量，由于的作用，有关，从而两者的变化率也有关，称之为相关变化率。例9、圆柱体半径每秒增长，高每秒增长，问当时，体积的增长速度为多少？解：，两边关于时间求导（均为的函数）7、函数的微分一、微分的定义1、引例显然，2、定义：对，若可表示成其线性主部与的高阶无穷小之和，即，则称在处可微，称为在处微分，记为，即。显然，3、可微的条件定理：在处可微在处可导，且证：必要性， 在处可微，即 即在处可导，且 充分性， 在处可导，即 由P51定理知，而为的线性函数，显然为的高阶无穷小，故在处可微。4、微商通常称为自变量的微分，记为，即，从而由，得，即 函数微分与自变量微分之商微商。例1、，求 。解：二