第4章 图形变换.ppt

第4章图形变换 在实际绘图应用中 经常要对图形进行各种变换 如几何变换 投影变换 窗口视区变换和视向变换等 这些变换的实质是改变图形的坐标位置 一个图形的最基本要素是点 点构成线 线构成面 而体是由若干面构成的 因此 只要改变了图形的各点坐标位置 整个图形也就完成了变换 在二维空间中 可用 x y 表示平面上的一点 在三维空间中则用 x y z 表示空间一点 因此 可以用点的集合 简称点集 来表示一个平面图形或三维立体 写成矩阵的形式为 这样便建立了平面图形和空间立体的数学模型 由于图形的点集可用矩阵的方式来表达 因此对图形的变换可以通过相应的矩阵运算来实现 即 4 1几何变换 4 1 1几何变换的齐次坐标法 对于二维图形 点集矩阵为n 2 由矩阵乘法运算可知 一个n 2的点集矩阵 X Y 和一个2 2的变换矩阵T 相乘 则有 这里 X Y 为变换后的坐标 变换矩阵中a b c d可取不同的值 可以实现旋转 对称 错切 缩放等变换 从而达到对图形进行变换的目的 XY ax cybx dy X Y 但2 2的变换矩阵T不适合于平移变换 因为平移变换必须满足下面的关系 而这里的cy bx均非常量 因此用2 2的变换矩阵无法实现平移变换 为此 我们把2 2矩阵扩充为3 2矩阵 即令 T 但这样又带来新的问题 二维图形的点集矩阵是n 2阶的 而变换矩阵是3 2阶的 根据矩阵乘法规则 它们是无法相乘的 为此 我们把点向量也作扩充 将 XY 扩充为 XY1 即把点集矩阵扩充为n 3阶矩阵 这样 点集矩阵与变换矩阵即可进行乘法运算 xy1 ax cy kbx dy m 令变换矩阵中的b c 0 a d 1 就得到平移变换矩阵 Tt 则有 xy1 x ky m x y 这里k m分别为X Y方向的平移量 在上述讨论中 我们将 XY 扩充为 XY1 实际上是由二维向量变为三维向量 但 XY1 可以看作是Z 1的平面上的点 也就是说 经此扩充后 图形落在Z 1的平面上 它对图形的形状没有影响 这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法 进一步推广 用n 1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法 为使二维变换矩阵具有更多的功能 可将3 2变换矩阵进一步扩充为3 3阶矩阵 即 T 其中 a b c d四项用于图形的比例 对称 错切 旋转等基本变换 k m用于图形的平移变换 p q用于图形的透视变换 s用于图形的全比例变换 4 1 2二维基本变换 因此 可令比例变换矩阵Ts为 Ts 则 XY1 axdy1 X Y 1 其中a d分别为x y方向上的比例因子 a d 0 讨论 若a d 1 为恒等变换 即变换后点的坐标不变 若a d 1 则为等比变换 变换结果是图形等比例放大 a d 1 或等比例缩小 a d 1 1 比例变换 如图4 1所示 原三角形ABC经放大2倍后变为三角形A B C xyx y 若a d 则变换后图形将变形 如图4 2所示 原三角形ABC经下式变换后成为三角形A B C 图4 1等比例放大 放大2倍 图4 2不等比例变换 对称变换可分为对坐标轴 45 线和原点的对称变换 1 对坐标轴的对称变换点对X轴对称应有 X X Y Y 则变换矩阵为 Tmx 即 XY1 X Y1 X Y 1 点对Y轴对称应有 X X Y Y 则变换矩阵为 Tmy 即 XY1 XY1 X Y 1 对坐标轴变换后的图形见图4 3所示 2 对称变换 Tmo 即 XY1 X Y1 X Y 1 图4 3对坐标轴的对称变换 图4 4对原点的对称变换 2 对原点对称变换点对坐标原点对称变换应有 X X Y Y 则变换矩阵为 变换后的图形见图4 4 3 对45 线的对称变换点对45 线的对称变换即让X Y互换坐标 X Y Y X 变换矩阵为 Tm 45 即 XY1 YX1 X Y 1 对 45 线的对称变换 应有X Y Y X 变换矩阵为 Tm 45 即 XY1 Y X1 X Y 1 对 45 和 45 的对称变换的图形见图4 5所示 图4 5对 45 和 45 的对称变换图形 错切变换的变换矩阵为 Tsh 则 XY1 x cybx y1 1 沿X向错切令b 0 沿X向错切的变换矩阵为 Tshx 则 XY1 x cyy1 x y 1 c 0 3 错切变换 如图4 6所示 经此变换后 Y坐标不变 X坐标有一增量CY 这就相当于原来平行于Y轴的线向X方向错切成与X轴成 角的直线 且有tg y cy 1 c 当c 0时沿 X向错切 c 0时 沿 x向错切 设c 2 对图4 1中三角形ABC进行错切变换得 变换后的图形见图4 6 图4 6错切变换后的图形 2 沿Y轴方向错切令c 0 Tshy 则 XY1 xbx y1 x y 1 b 0 设b 2 对图4 1中三角形ABC进行错切变换得 变换后的图见图4 6 变换的结果是X坐标不变 而Y坐标产生一增量bx 使原来平行于X轴的线倾斜 角且tg x bx 1 b 当b 0时 没 Y向错切 b 0时沿 Y向错切 上述错切方向均是对指第 象限的点而言 其余象限的点的错切方向应作相应的改变 假定图形的旋转是指绕坐标原点旋转 角 且逆时针为正 顺时针为负 变换矩阵为 Tr 4 旋转变换 则对点进行旋转变换 xy1 xcos ysin xsin ycos 1 x y 1 对三角形ABC进行旋转变换 60 旋转变换的结果见图4 7所示 图4 7旋转60 的结果 平移变换矩阵为 Tt 则 xy1 x ky m1 x y 1 例如 令k 10 m 10 对图4 1中的三角形ABC作平移变换 得 结果见图4 8所示 图4 8平移变换结果 5 平移变换 4 1 3二维组合变换 上述的五种变换可用统一的变换矩阵形式来实现 我们把它们叫做基本变换 但是 有些变换仅用一种基本变换是不能实现的 必须由两种或多种基本变换组合才能实现 这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换 相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵 平面图形绕任意点P Xp Yp 旋转 角 需要通过以下几个步骤来实现 将旋转中心平移到原点 变换矩阵为 1 绕任意点旋转变换 Tt1 将图形绕坐标系原点旋转 角 变换矩阵为 Tr2 将旋转中心平移回到原点的位置 变换矩阵为 Tt3 因此 绕任意点P的旋转变换矩阵为 T Tt1 Tr2 Tt3 相乘后得 T 显然 当xp 0 yp 0时 即为对原点的旋转变换 设任意直线的方程为AX BY C 0 直线在X轴和Y轴上的截距分别为 C A和 C B 直线与X轴的夹角为 arctg A B 对任意直线的对称变换由以下几个步骤来完成 平移直线 使其通过原点 可以沿X轴平移 也可以没Y轴平移 这里以沿X轴平移为例 变换矩阵为 T1t 绕原点旋转 使直线与X坐标轴重合 变换矩阵为 2 对任意直线的对称变换 对X坐标轴对称变换 其变换矩阵为 T3m 绕原点旋转使直线回到原来与X轴成 角的位置 变换矩阵为 T4r 平移直线 使其回到原来的位置 变换矩阵为 T5t 通过上述5个步骤 即可实现图形对任意直线的对称变换 其组合变换矩阵为 T T1t T2r T3m T4r T5t 综上所述 复杂变换是通过基本变换的组合而成的 由于矩阵的乘法不适用于交换律 即 A B B A 因此 组合的顺序一般是不能颠倒的 顺序不同 则变换的结果亦不同 图4 9显示了对三角形ABC进行不同顺序的基本变换的组合变换结果 图4 9变换顺序对变换结果的影响 左图为先平移后旋转 右图先旋转后平移 4 1 4三维基本变换 1 变换矩阵三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展 变换的原理还是把齐次坐标点 x y z 1 通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点 x y z 1 与上节中讨论的类似 在三维空间里 用四维齐次坐标 xyz1 表示三维点 三维变换矩阵则用4 4阶矩阵表示 即 xyz1 T x y z 1 1 三维基本变换矩阵 其中T为三维基本变换矩阵 T 2 坐标系在三维变换中 我们采用右手坐标系 习惯上人们一般采用图4 10 左 的右手坐标系 且规定 物体绕各坐标轴旋转的正方向为右手螺旋方向 但这种坐标系会给图形输出带来麻烦 我们知道绘图机上的坐标系是如图4 10 中 的方式 而采用图4 10 左 的右手坐标系 在投影变换中其投影面的坐标系如图4 10 右 的方式 图4 10右手坐标系 左 绘图机坐标系 中 和投影面坐标系 右 可见 两者的坐标系不统一 绘图时将出错 为此 我们采取这样的处理方法 给投影变换后的x坐标前冠以负号作为画图时的x坐标 以投影变换后的z坐标作为画图时的y坐标 这样就不会出错了 三维基本变换矩阵左上角的3 3矩阵的主对角线上的元素a e j的作用是使物体产生比例变换 比例变换矩阵为 Ts 其中a e j分别为沿x y z轴方向的比例因子 对点进行比例变换 xyz1 Ts axeyjz1 x y z 1 2 比例变换 三维对称变换包括对原点 对坐标轴和对坐标平面的对称 常用的是对坐标平面的变换 我们对此加以讨论 对xoy平面的对称变换 变换矩阵 变换后点的坐标 x y z 1 xyz1 Tm xoy xy z1 对xoz平面的对称变换 3 对称变换 变换矩阵为 变换后点的坐标 x y z 1 xyz1 Tm xoz x yz1 对yoz平面的对称变换 变换矩阵为 变换后点的坐标 x y z 1 xyz1 Tm yoz xyz1 上述的对称变换结果如图4 11所示 图4 11分别对XOY 左 XOZ 中 和YOZ 右 平面的对称变换结果 错切变换是指三维立体沿x y z三个方向产生错切 错切变换是画斜轴测图的基础 其变换矩阵为 xyz1 Tsh x dy hzbx y izcz fy z1 x y z1 由变换结果看出 一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响 沿x含y错切 4 错切变换 变换矩阵 错切变换 xyz1 Tsh x y x dyyz1 x y z1 沿x含z错切 变换矩阵 错切变换 xyz1 Tsh x z x hzyz1 x y z 1 沿y含x错切 变换矩阵 错切变换 xyz1 Tsh y x xy bxz1 x y z 1 沿y含z错切 变换矩阵 错切变换 xyz1 Tsh y z xy izz1 x y z 1 沿z含x错切 变换矩阵 错切变换 xyz1 Tsh z x xyz cx1 x y z 1 沿z含y错切 变换矩阵 错切变换 xyz1 Tsh z y xyz fy1 x y z 1 与二维旋转变换类似 三维旋转变换可分为绕坐标轴旋转变换和绕任意轴的旋转变换 这里我们先讨论前者 三维旋转变换要比二维旋转变换复杂得多 但方法是相似的 三维旋转变换可以看作是三个二维旋转变换 且旋转轴分别为x y z轴 绕x轴旋转 角 变换矩阵为 5 旋转变换 绕y轴旋转 角 变换矩阵为 绕z轴旋转 角 变换矩阵为 物体分别绕x y z轴旋转90 变换结果如图4 12所示 图4 12物体分别绕x 左 y 中 z 右 轴旋转90 变换结果 将空间一点 x y z 平移到一个新的位置 x y z 的变换矩阵为 变换后新点的坐标为 x y z 1 xyz1 Tt x ky mz n1 其中 k m n分别为沿x y z方向上的平移量 6 平移变换 与二维组合变换一样 通过对三维基本变换矩阵的组合 可以实现对三维物体的复杂变换 作为一个例子 我们用三维组合变换的方法来解决绕任意轴旋转的问题 如图4 13所示 设空间一般位置的旋转轴是AA A的坐标是 xA yA zA A 的坐标是 x A y A z A 空间一点P x y z 绕AA 轴旋转 角到P x y z 即 x y z 1 xyz1 TARTAR为绕任意轴的旋转变换矩阵 它是由基本变换矩阵组合而成 我们的任务就是要构造矩阵TAR 步骤如下 4 1 5三维组合变换 将点P与旋转轴AA 一直起作平移变换 使旋转轴AA 过原点 A与原点重合 其变换矩阵为 图4 13绕任意轴旋转 令AA 轴首先绕X轴逆时针旋转 角 使其与XOZ平面共面 然后再绕Y轴顺时针旋转 角 使其与Z轴重合 该变换矩阵为 绕X轴旋转 角绕Y轴旋转 角 其中 和 角可通过旋转轴的两个端点的坐标计算得到 将P点绕Z轴 即AA 轴 旋转 角 变换矩阵为 对步骤 作逆变换 将AA 旋转回到原来的位置 变换矩阵为 对步骤 作逆变换 将旋转轴平移回到原来的位置 变换矩阵为 上述五步连起来 便组成绕任意轴的旋转变换矩阵 4 2投影变换 投影就是把空间物体投射到投影面上而得到的平面图形 投影是三维图形在二维的输出设备上显示的不可缺少的技术之一 也是用多视图表示设计产品模型的基础 投影的种类可分为如下几种 4 2 1正投影变换 用正投影变换的方法可以形成三面视图 图4 18表示物体与三个投影平面 V H W 的相对位置关系 图4 18三面视图的定义 1 正面 V面 投影将物体向正面投影 即令Y 0 变换矩阵为 点在V面上投影的坐标变换为 2 水平面 H面 投影将物体向水平面 H面 投影 即令Z 0 然后将得到的投影图绕X轴顺时针旋转90 使其与V面共面 再沿负Z方向平移一段距离 以使H面投影和V面投影之间保持一段距离 变换矩阵为 点在H面上投影的坐标变换为 3 侧面 W面 投影 将物体向侧面作正投影 即令X 0 然后绕Z轴逆时针旋转90 使其与V面共面 为保证与正面投影有一段距离 再沿负X方向平移一段距离 这样即得到侧视图 变换矩阵为 点的侧面投影变换为 由上述我们可以看出 三个视图中y 均为0 这是由于变换后三个视图均落在X O Z 平面上的缘故 这样 可用x z 坐标直接画出三个视图 4 2 2正轴测投影变换 1 正轴测投影变换矩阵正轴测投影是将物体绕Z轴逆时针旋转 角 再绕X轴顺时针旋转 角然后向V面投影而得到 变换矩阵为 2 几个基本概念我们把原坐标OX OY OZ经轴测投影变换后变成的O X O Y O Z 称为轴测轴 而两轴测轴之间的夹角 X O Y X O Z 和 Z O Y 叫做轴间角 原坐标轴经轴测投影变换后 其在V面上的投影长度发生变化 我们把O X OX x O Y OY y O Z OZ z分别称为OX轴 OY轴和OZ轴的轴向变形系数 为了便于讨论 我们沿X Y Z方向各取一单位长度 可得三点的齐次坐标分别为 A 1001 B 0101 C 0011 对其进行正轴测投影变换 变换得 这样 x y z三个轴向的变形系数为 在工程中 常用的是正等轴测和正二轴测投影 3 正等轴测投影变换所谓正等轴测投影就是当 x y z时所得到的正等轴测图 由 x y z得 在正轴测投影变换中 一般地 90 即cos 0 所以 取 将 45 代入中得 取 将 45 35 16 代入得到正等轴测投影变换矩阵为 轴间变形系数 因此正等轴测投影变换就是用图形点集 XYZ1 TISO即可 对长方体进行正等轴测投影变换为 变换后的正等轴测图如图4 19所示 图4 19长方体的正等轴测图 4 正二轴测投影变换正二轴测图其轴向变形系数有如下关系 即 由得 代入 解得 则 将代入 得正二轴测投影变换矩阵 轴向变形系数 因此正二轴测投影变换就是用图形点集 XYZ1 T正二即可 对长方体进行正二轴测投影变换为 变换后的正二轴测图如图4 20所示 图4 20长方体的正二轴测图 4 2 3斜轴测投影变换 1 斜轴测投影变换矩阵在三维基本变换中曾提到错切变换是画斜轴测图的基础 斜轴测投影是通过将物体先沿X含Y错切 再沿Z含Y错切 最后向V面投影而实现 其变换矩阵为 2 轴向变形系数用与正轴测投影的同样方法 在坐标轴一取距原点为单位长度的点A B C 对其进行斜轴测投影变换 变换后 A B C 分别在轴测轴O X O Y O Z 上 且A A 点重合 C C 点重合 即OX与O X 重合 OZ与O Z 重合 因此 轴向变形系数为 3 斜二轴测投影变换在斜轴测图中 常用的是斜二轴测图 根据斜二轴测图的定义知 即 解得 对斜二轴测图而言 当物体沿负z方向错切时立体感较强 因此 这里f取负值 而d的正负决定了沿X的错切方向 若d 0 354 f 0 354 则斜二轴测投影变换矩阵为 因此斜二轴测投影变换就是用图形点集 XYZ1 T斜二即可 对长方体进行斜二轴测投影变换为 变换后的斜二轴测图如图4 21所示 图4 21长方体斜的二轴测图 4 2 4透视投影变换 1 基本概念透视投影属于中心投影 它比轴测图更富有立体感和真实感 这种投影是将投影面置于投影中心与投影对象之间 如图4 22所示 图4 22透视投影 在透视投影中 一组平行的线将共同消失于无穷远处 称为直线的灭点 若该组平行线与某基本坐标轴平行 则称此灭点为主灭点 根据主灭点的个数 透视投影可分为 2 一点透视 一点透视 只有一个主灭点 此时画面平行投影对象的一个坐标平面 因此也称为平行透视 二点透视 有两个主灭点 此时画面平行于投影对象的一根坐标轴 例如Z轴 而与二个坐标平面成一定的角度 一般为20 30 因此也称之为成像透视 三点透视 有三个主灭点 此时平面与投影对象的三根坐标轴均不平行 因此也称做斜透视 如图6 10所示空间一点P X Y Z 设S为视点 并在Y轴上 画面垂直Y轴且交于O 点 即画面平行于XOZ平面 显然 画面是在一个二维坐标系中 用X O Z 表示 画面距坐标系原点的距离为y1 视点距原点的距离为y2 由相似三角形的关系可有 如令O O 重合 则画面就是XOZ平面 V面 即令y1 0 上式可简化为 对物体上的每一个顶点都作上述处理 在画面上就可得到这些顶点的透视 顺序连接这些点 即得到物体的一点透视图 把这种简单的透视投影变换写成矩阵的形式 令 则主灭点在y轴上处 画面为XOZ平面的一点透视变换矩阵为 对点进行一点透视投影变换 为了增强透视效果 通常将物体置于画面V之后 水平面H之下 若物体不在该位置时 应首先把物体平移到此位置 然后再进行透视投影变换 q的选择决定了视点的位置 一般选择视点位于画面V之前 例 对一个长方体进行一点透视投影变换解 首先将长方体平移到V面后 H面下 平移量为 k 30 m 8 n 20 然后进行一点透视投影变换 设q 0 1 变换结果如图4 23所示 图4 23长方体的一点透视投影图 3 二点透视首先改变物体与画面的相对位置 即使物体绕Z轴旋转 角 以使物体上的主要平面 XOZ YOZ平面 与画面成一定角度 然后进行透视投影变换即可获得二点透视投影图 变换矩阵如下 如果物体所处位置不合适 则需对物体进行平移 为使旋转变换不受平移量的影响 平移变换矩阵应放在旋转变换矩阵与透视投影变换矩阵之间 解 设 30 q 0 1 平移量为 k 8 m 6 n 10 先对图形进行旋转变换 然后再进行平移变换 最后进行透视投影变换 例 对一个长方体进行二点透视投影变换 变换结果如图4 24所示 图4 24长方体的二点透视投影图 4 三点透视 首先把物体绕Z轴旋转 角 再绕X轴旋转 角 使物体上的三个平面与画面都倾斜 然后进行透视投影变换 即可得到物体的三点透视图 变换矩阵如下 如果需要把物体平移到合适的位置 则应把平移变换矩阵放在旋转变换矩阵与透视变换矩阵之间 4 3窗口视区变换 4 3 1坐标系 组成图形的最基本元素是点 而点的位置通常是在一个坐标系中定义的 图形系统中使用的坐标系是人们广为熟悉的直角坐标系 也称笛卡尔坐标系 1 世界坐标系世界坐标系 WorldCoordinateSystem 简单称WC 是最常用的坐标系 如图6 1所示 它是一个符合右手定则的直角坐标系 其中图6 1 a 是定义二维图形的坐标系 图4 25 b 是定义三维物体的坐标 图4 25世界坐标系 世界坐标系是用来定义用户在二维或三维世界中的物体 因此也称为用户坐标系 理论上 世界坐标系是无限大且连续的 即它的定义域为实数域 2 设备坐标系图形输出设备 如显示器 绘图仪 自身都有一个坐标系称之为设备坐标系 DeviceCoordinateSystem 简称DC或物理坐标系 设备坐标系是一个二维平面坐标系 它的度量单位是步长 绘图仪 或象素 显示器 因此它的定义域是整数域且是有界的 例如 对显示器而言 分辩率就是其设备坐标系的界限范围 3 规格化设备坐标系由于用户的图形是定义在用户坐标系里 而图形的输出定义在设备坐标系里 它依赖于具体的图形设备 由于不同的图形设备具有不同的设备坐标系 且不同设备之间坐标范围也不尽相同 例如 分辨率为1024 768的显示器 其屏幕坐标范围为 X方向0 1023 Y方向0 767 而分辨率为640 480的显示器 其屏幕坐标范围为 X方向0 639 Y方向0 479 显然这使得应用程序与具体的图形输出设备有关 给图形处理及应用程序的移植带来不便 为了便于图形处理 有必要定义一个标准设备 我们引入与设备无关的规格化的设备坐标系 NormalizedDeviceCoordinateSystem 简称NDC 采用一种无量纲的单位代替设备坐标 当输出图形时 再转换为具体的设备坐标 规格化设备坐标系的取值范围为 左下角 0 0 0 0 右上角 1 0 1 0 用户的图形数据经转换成规格化的设备坐标系中的值 使应用程序与图形设备隔离开 增强了应用程序的可移值性 在图形处理中 上述三种坐标系的转换关系如图4 26所示 图4 26WC NDC和DC三种坐标系的转换 4 3 2窗口与视区 1 窗口 窗口 一词对大家并不陌生 在日常生活中也常遇到 例如 我们坐在教室里 透过窗户向外看 尽管外面的世界是无限的 然而映入我们眼帘的仅仅是一小部分 其余的均被窗户周围的墙遮挡了 这里 窗户就是一个窗口 在计算机中 窗口是图形的可见部分 是在用户坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域 只有在这个区域内的图形才能在设备坐标系下输出 而窗口外的部分则被裁掉 如图4 27所示 我们用矩形的左下角点的坐标 Wxl Wyb 和右上角点的坐标 Wxr Wyt 来确定窗口的大小和位置 通过改变窗口的大小 位置和比例 可以方便地观察局部图形 控制图形的大小 2 视区视区是在设备坐标系 通常是屏幕 中定义的一个矩形区域 用于输出窗口中的图形 视区决定了窗口中的图形要显示于屏幕上的位置和大小 图4 27窗口的定义 视区是一个有限的整数域 它应小于等于屏幕区域 而定义小于屏幕的视区是非常有用的 因为这样可以在同一屏幕上定义多个视区 用来同时显示不同的图形信息 例图4 28表示在同一屏幕上定义了四个视区 分别代表一个机械零件的前视图 侧视图 顶视图和轴测图 图4 28一个三维物体的多视图 4 3 3窗口 视区变换 由于窗口和视区是在不同的坐标系中定义的 因此 在把窗口中的图形信息送到视区去输出之前 必须进行坐标变换 即把用户坐标系的坐标值转化为设备 屏幕 坐标系的坐标值 这个变换即为窗口 视区变换 如图4 29所示 设在用户坐标系下定义的窗口为 左下角点坐标 Wxl Wyb 右上角点坐标 Wxr Wyt 在设备坐标系中定义的视区为 左下角点坐标 Vxl Vyb 右上角点坐标 Vxr Vyt 图4 29窗口 视区变换 由图可知 在用户坐标系中的点 xw yw 投影到设备坐标系中的点 xv yv 有下列等式 5 1 由 5 1 式得窗口中一点W xw yw 变换到视区中对应的点V xv yv 二者之间的关系为 5 2 设 则 5 2 式可写成 5 3 写成矩阵为 5 4 4 4视向变换 4 4 1世界坐标系和观察坐标系 在处理三维图形的时候 通常以右手笛卡尔坐标系作为参考坐标系 这在前面部分用到的都是这样一种坐标系 这种坐标系一般被称为 世界坐标系 或 用户坐标系 另外 在这里再引进一种新的参考坐标系 这种坐标系比较符合人们在三维空间中观察物体和绘图的习惯 这个习惯包括这样两点 当观察空间某一物体时 该物体与视点之间距离的大小反映了物体离我们的远近 称该距离为 观察深度 或简称深度 这个深度应该在新坐标系里的某个坐标轴上得到相应的体现 即深度大 该坐标值应大 反之 深度小 则该坐标值应小 我们平常在图纸上绘图时 二维绘图坐标系的位置一般使坐标系的原点在图纸的左下角 然后让x轴自原点水平向右 让y轴自原点垂直向上 这比较符合人们平常看图和作图的习惯 为满足这一习惯 我们可以让新的坐标系中有一根坐标轴自左水平向右 而让另一根坐标轴自下垂直向上 以使这两根坐标轴确定的坐标平面和二维绘图平面相对应 使三维立体在这个坐标平面上产生的投影能与图形输出平面上输出的图形之间产生直观的对应 这样就给三维立体的二维表示带来了极大的方便 显然 满足以上要求的坐标系列化可以通过以下的方法来设置 把坐标系原点设置在观察点 即视点处 让坐标系中的一根坐标轴从该原点出发 顺着观察方向指向远方 那么该坐标轴上的坐标就反映了空间立体的观察深度的大小 该轴即为深度坐标轴 在这里我们指定由z轴来做深度坐标轴 然后让另外两根坐标轴中的一根自该原点水平向右 另一根自原点向上 为了和图形输出平面坐标系统直接对应 把水平向右的轴设置为x轴 而把向上的坐标轴设置为y轴 于是 照现在这样设置的坐标系 已经完全符合前面提出的两点条件 并且不难看出 这个新的参考坐标系是一个符合左手规则的笛卡尔坐标系 我们称这个坐标系为 观察坐标系 建立一个