一元一次方程和它的解法精品教案.doc

初 一 数 学（第14周）【教学内容】第四章4.3 一元一次方程和它的解法补充内容：一元一次方程概念的简单应用【教学目标】1、使学生了解一元一次方程及其标准方程等概念，掌握解一元一次方程的一般步骤及具体做法；2、使学生能灵活地解方程，并养成对方程的解进行检验的习惯；3、使学生进一步理解一元一次方程的概念并掌握概念的有关应用。【知识讲解】 上一讲我们学习了用移项法解简单的一元一次方程的方法，如： 0.48x6 = 40.02x 解：移项得：0.48x+0.02x = 4+6 合并同类项得： 0.5x = 10 系数化为1得： x = 20 而有些一元一次方程不像这么简单，有的方程中带有括号，有的方程中含有分母，下面我们就举例说明这些方程的解法。例1、解方程：(1)5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)；(2)3.分析：方程中带有括号，先设法去掉括号。对于有多重括号的方程，应先去小括号，再去中括号，最后去大括号，运用分配律去括号时，注意符号不要标错，并且不要漏乘括号中的项。移项时，要注意变号,最好别跳过移项这一步，因为将移项和合并同类项同步完成，很容易产生错误，如解3x+2=4x+3时，得x=1。解方程的最后一步把系数化成1，易出现除数和被除数颠倒的错误，如解10x=1， 4x=2易得x=10，x=2。解：(1)去括号，得 5x-6x-3+7x=6x-20+12x, 移项，得 5x-6x+7x-6x-12x=-20+3 合并同类项，得 -12x=-17, 系数化为1，得 x=-. (2)去括号，得 32y-1-6y-3+3=5+10y， 32y-1-6y=5+10y, 6y-3-18y=5+10y 移项，得 6y-18y+10y=5+3, 合并同类项，得 -2y=8 系数化为1，得 y=-4. 在解带有括号的方程时，具体问题要作具体的分析，如下面两个列子，可用技巧的方法来解，效果较好。如： (1) 解方程： 分析：因为系数 与互为倒数，它们的乘积等于1，所以这个方程先去中括号来解比较方便。 解： (x+1)+3 = x 先去掉中括号 移项合并得： 系数化成1得： (2) . 解：方程两边同乘以5，得 移项，得 方程两边同乘以4，得 移项，得 方程两边同乘以3，得 移项，得 x=-2 解 (2)这种方程，如果从内向外采用乘法对加法的分配律去括号，非常麻烦，这里根据方程的结构特点，利用等式的性质2，在去掉一个分母的同时，即去掉一个括号，如此进行，并不费力。 例2、解方程： (1) (2) (3) (4) 分析：这几个方程都含有分母，只要把分母去掉，就可以化为同例1一样的方程来解。如方程左边的分母是6，右边的分母是3，6与3的最小公倍数是6，用它去乘方程的两边，就可以使这两个分数变为整数，从而去掉分母。 解 （1） 去分母得： 5y1 = 14 移项得： 5y = 14+1 合并同类项得： 5y = 15 系数化成1得： y = 3（2） 去分母得：4(2x1)3(5x+1) = 24去括号得： 8x415x3 = 24移项得： 8x15x = 24+4+3 合并同类项得：7x = 31系数化成1得：（3） 去分母得：326(y+1) = 48(y1) 去括号得：326y6 = 48y+1 移项得：6y+y = 48+132+6 合并同类项得：5y = 23 系数化成1得：（4） 去分母得：4(2x1)(10x+1) = 3(2x+1)12 去括号得：8x410x1 = 6x+312 移项得： 8x10x6x = 312+4+1 合并同类项得:8x = 4 系数化成1得： 说明：(1) 这了去分母而在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项。（2）上面几个例子可以看出，分数线除了可以代替除号“”(表示“分子分母”；也可以说代替“：”，表示“分子：分母”)以外，还起着括号的作用，分子如果是一个代数式，应该看作一个整体，在去分母时，不要忘了将分子作为一个整体加上括号。如(4)题在去分母时避免出现下面的错误：42x110x132x112 在前几章里,我们解过的方程有一个共同的特点,它们或者不含分母,或者分母中不含未知数,将它们经过去分母,去括号,移项,合并同类项等变形后,能化为最简形式ax=b(a0)它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零，我们把这一类方程叫做一元一次方程。 说明：1、解一元一次方程的一般步骤是： 变形名称具 体 做 法去 分 母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去 括 号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号移 项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程 的另一边（记住移项要变号）合并同类项 把方程化成ax = b (a0)的形式系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤，熟练后，步骤及检验还可以合并简化。 2、方程式ax +b = 0 (其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0)叫做一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数项，习惯上与ax同写在方程的左边。例3 解下列方程： (1) (2) 分析：此方程中的分母和分子中有小数，这时最好是先别去分母，而是先利用分数的基本性质，将这些小数化成整数。解（1） 原方程可化为： 去分母得： 去括号，移项与合并同类项得： 系数化成1得： （2）原方程可化为： 200(2x3)2.5=50(0.022x)7.5 去括号得： 400x6002.5=1100x7.5 移项与合并同类项得： 500x = 596 系数化成1得：x = 1.192 注意：在本例这类方程的求解中，特别要分清是利用分数基本性质化分数为整数，还是利用等式性质2去分母，两者不要混为一谈。如： 解方程 不要错解为： 也不要错解为： 例4 在梯形面积公式S=(a+b)h中，已知a、h、s，用含S、h、a的代数式表示b，当S=80，h=15，a=2.4时，求b的值。分析：此题可以看作是关于未知数b的一元一次方程，运用解一元一次方程的知识进行公式变形，从而求出b。解：S=(a+b)h 2S=(a+b)h h0 a+b= b=-a. 当S=80，h=15，a=2.4时 b=. 例5 根据下列条件，列出方程，然后求出某数。 (1) 某数的45%比某数的30%多1.8 (2) 2400比某数的22倍还多54 (3) 某数的18倍减去某数的3倍再乘以2得30 解 (1) 设某数为x 据题意列方程得： 45%30%x =1.8 解这个方程：45x30x = 180 15x = 180 x = 12 答:这个数是12 (2)设某数是y， 据题意列方程得： 240022y = 54 解这个方程得： 22y = 240054 y = +106 答:这个数是106 (3)设这个数是x, 据题意列方程得： 2(18x3x) = 30 解这个方程得： x = 1 答:这个数是1例6 (1) x等于什数值时，代数式的值与代数式的值相等？ (2) m为何值时，代数式的值与代数式5(m)的值互为相反数？ (3) 当x为何值时，代数式3(3x2)与差等于1?解：(1) 由题意得：= 3(3x1) = 2(x+2)6 9x3 = 2x+46 7x = 1 x = 答：当x =时，代数式的值与代数式的值相等。 (2) 由题意得：+5(m) = 0 +5m= 0 10m = 1 m = 0.1 答：当 m = 0.1，代数式的值与代数式5(m)的值互为相反数。 (3) 由题意：3(3x2) = 1 6(3x2)(4x+1) = 2 18x124x1 = 2 14x = 15 x = 答：当 x =时，代数式3(3x2)与差等于1。说明：例6是通过方程去解决的，类似这类的问题还是很多的，因此方程的应用是广泛的。例7 (1) 已知y =5是方程ay8 = 17+a的解，求a. (2) 已知x = 2时，代数式ax+3a的值是10，求x=2时，这个代数式的值。 (3) 已知x =是方程5t+12x =2+t的解，求关于x的方程 tx+2 = t(12x)的解。 解：(1) y =5是方程ay8 = 17+a的解 有：5a8 = 17 +a 解这个关于a的方程得：a = 答：a = (2) 已知x =2时，代数式 ax +3a的值是10。 有2a +3a =10 解这个关于a的方程得：a =2 当a =2, x =2时 ax+3a = 2(2)+32 = 2 答：当x =2时，这个代数式的值是2. (3) x =是方程5t+12x =2+t的解 有5t +12= 2 + t 解这个关于t的方程得：t =1. 把t =1代入关于方程tx +2 = t(12x)中去得： x+2 =(12x) x2= 12x 3x = 3 x = 1 说明：例7这组习题，是一元一次方程解的意义及解法的综合运用，解题时要认真审题，找出解题的正确思路。例8、已知关于x的方程5x-2a-1=x与7x=-3(a+)+9有相同的解b，求(a-1)2000(b-3)2001的值。分析：分别求出两个方程的解用a的代数式来表示，再由它们的解相同，可得到一个关于a的一元一次方程，解此方程求出a，即可求出所求代数式的值。解：5x-2a-1=x 5x-x=2a+1 4x=2a+1 x=； 7x=-3(a+x)+9 7x=-3a-5x+9 7x+5x=9-3a 12x=9=3a x=由条件知： 2a+1=3-a 3a=2 a= b=当a=，b=时，(a-1)2000(b-3)2001 =(-1)2000(-3)2001 =()2000(-3)2001 =-3【一周一练】 一、填空题： 1、一元一次方程的标准形式是 _ (其中x是未知数，a、b是已知数，且a0). 2、将方程的两边同乘以 _得到3(x+2) =2(2x3)这种变形叫 _. 3、当x _ 时，x的值等于2. 4、若x与6的和的3倍等于x与2的差的4倍，则列出的方程是 _ 解得x = _ . 5、若32a = 43a,则a = _, 0.2x =3则x = _. 6、已知 = 4,代数式x22x+5的值是 _. 7、已知x =2是方程2kx3 =17+k的解，则k = _.8、当a = _时，方程axb = 0的解为x =.9、当x=4时，关于x的二次三项式ax2-4x-1的值为-1，当x=5时，ax2-4x-1的值为 。10（*）、若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a的值是 。 二、判断题：（正确的打“”，错误的打“”） 1、由7x =2x +1移项得：x2x = 1 +7 ( ) 2、由去分母得15x = 6 解得x = ( ) 3、由5(x +3)3(1x) = 0去括号得：5x +1533x = 0 ( ) 4、由4+去分母得：4+ 2x = 3x ( ) 5、解方程得x = 0 ( ) 6、解方程2x = 4得x = ( ) 7、x =2是方程2x23x = 2x(x +2) +14的解 ( ) 8、当之和为零时，m = 1 ( ) 9、解方程，得 ( )10、将方程的分母化成整数后的方程是 ( ) 三、选择题： 1、一元一次方程2(3x4) =5(x2)的解是 ( ) A. x = 3 B. x = 2 C. x = 4 D. x =2 2、下列方程中，一元一次方程是 ( ) A. x +1 =2y B. x2 = x C. D. 3、单项式2ab2m+3与4ab4m1是同类项则m等于 ( ) A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 4、方程(1) (2) 2(x +1) = 4 (3) (4) 3x4+2x = 4x3中， 解相同的是 ( ) A. (1) (2) (3) B. (2) (3) (4) C. (1) (2) (4) D. (1)(3)(4) 5、若的值相等，则a为： ( ) A. 6 B. C. 3 D. 2 6、(2y +5)(y3) = 0 的解是 ( ) A. 或y = 3 B. y = 0 C. y = 3 D. 以上都不是 7、m的一半与4的和比m的小2则m为 ( ) A. 6 B.4 C. 6 D. 48、在公式an=a1+(n1)d中，已知a1=2,d = 3, an =14, 则n为 ( ) A. 14 B. 0 C. 5 D. 3四、解方程：1、5(y+8)5 = 4(2y7)2、；3、；4、；5、；6、234(5x-1)-8-20-7=1；7、x-. 五、在公式Q=cm(t2t1)中已知Q=1500, c=2, t1=2, t2=102，求m的值. 六、是方程a(2y1) = a6y的解，求a的值. 七、若，当m为何值时, y1= y2. 八、方程的解是，求关于y的方程的解.九、已知|2-5x|+(y-5)2=0，又x、y分别是方程ax-1=0和2y-b+1=0的解， 求：代数式的值。【一周一练答案】 一、填空题： 1、ax + b = 0; 2、12,去分母； 3、 4、3(x+6) = 4(x2), x = 26; 5、a = 1, x =15; 6、53 7、k =4 8、a0 9、4； 10、2或3.二、判断题：1、2、 3、