《高数讲义》第六-第九章.doc

1 第六章第六章 多元函数微分法多元函数微分法 鉴于有些同学没有学过多元微积分 从现在起再往后 我们的讲法就稍有不 同 回顾基本概念及主要结论稍微会详细一点 足可保证那些没学过多元微积 分的同学们也能听懂 一 求二元函数的定义域 表达式一 求二元函数的定义域 表达式 先回顾一下二元函数的定义 先回顾一下二元函数的定义 设 D 是平面上的一个点集 如果对于每个点 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应 则称 z 是变量 x y 的 DyxP 二元函数 或点 P 的函数 记为或 点集 D 称为该函数的定 yxfz Pfz 义域 x y 称为自变量 z 也称为因变量 数集称为该 Dyxyxfzz 函数值域 在点处的函数值记为或 y x 0 0 y x f 0 0 0 0 y x yxf 二元函数的两要素与一元函数完全相同 即定义域和对应法则 其定义域的求二元函数的两要素与一元函数完全相同 即定义域和对应法则 其定义域的求 法也与一元函数类似 法也与一元函数类似 注意 二元函数的几何意义是表一张曲面 研究多元函 数有两个基本方法 一是讲解各个知识点时主要以二元函数为主 其结论往往一是讲解各个知识点时主要以二元函数为主 其结论往往 可以直接推广至三元以上的函数 二是要把二元函数中的各个知识点与一元函可以直接推广至三元以上的函数 二是要把二元函数中的各个知识点与一元函 数中类似知识点进行类比 指出其类似之处 更要指出其有本质区别的地方 数中类似知识点进行类比 指出其类似之处 更要指出其有本质区别的地方 下面举例说明 例 1 设求其定义域 并作图 2 222 22 ln R f x yxyxyR xy 解 由知且故 2 222 22 0 ln0 R xyR xy 222 xyR 222 xyR 222 Dx yxyR 练习 求的定义域 x yz 2 1ln 解 作图 01 2 x yyxD 例 2 设 当时 求及的表达式 1 xfyz1 yxz uf yxzz 解 1 将条件时 代入原表达式 得 1 yxz 1 1111 xxfxfx 令则 1ux 21 2 22 11 uufx uuu 2 所以 1 12 1 2 xyxyz x 2 例 3 设求 2 2 y x x y yxf yxf 解 令 代入原表达式 得 v x y uyx 1 1 v uv y v u x 所以 1 111 2 22 22 v vu v uv v u vuf 故 1 1 2 2 2 y y x yxf 二 二元函数的极限 连续二 二元函数的极限 连续 一元函数的极限一元函数的极限存在的充分必要是 当自变量存在的充分必要是 当自变量分别自分别自的左 的左 Axf x x 0 limx x0 右趋近于右趋近于时时 左 右极限都存在且相等左 右极限都存在且相等 但对二元函数来说 对极限但对二元函数来说 对极限 x0 的研究就复杂多了 因为点的研究就复杂多了 因为点的方式的方式 0 0 0 limlim xxP yy f PAf x yA P P P 0 是多种多样的 不能简单地只从左 右两个方向来考察是多种多样的 不能简单地只从左 右两个方向来考察 一般不要求会根据定一般不要求会根据定 义证明极限成立 但往往会要求证明某一极限不存在 义证明极限成立 但往往会要求证明某一极限不存在 例 4 证明不存在 22 0 0 lim x y xy xy 解 1 当动点沿轴趋向于原点时 即 yxP x 0 lim 0 0 yxf y x 2 但若当动点沿抛物线趋向于原点时 即 yxP yx 所以 不存在 2 22 00 1 lim lim 2 xx y x f x y xx x lim 0 0 yxf y x 注意 其实此题往往这样做更简单 当动点沿直线趋向于原点 yxP ykx 时 即 与有关 所以 不存在 2 2222 00 lim lim 1 xx y kx k f x y xk xk kx k lim 0 0 yxf y x 但下题就不适合上述方法了 3 例 5 设考察 yxf 0 0 0 2 4 2 4 2 4 2 y x y x y x x y lim 0 0 yxf y x 解 1 当动点沿轴趋向于原点时 即 yxP x 0 lim 0 0 yxf y x 2 同理 当动点沿轴趋向于原点时 即 yxP y 0 lim 0 0 yxf y x 3 但若当动点沿抛物线趋向于原点时 即 yxP x y 2 所以 不存在 2 1 lim lim 44 4 00 2 xx x x y x yxf x lim 0 0 yxf y x 多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似 如四则运算法则 复合极多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似 如四则运算法则 复合极 限法则 无穷小的概念及其性质 等价无穷小的替换 夹逼准则等 但不再有限法则 无穷小的概念及其性质 等价无穷小的替换 夹逼准则等 但不再有 所谓的洛必达法则 所谓的洛必达法则 不再一一指出 下面举几例说明 例 6 求 1 2 1 lim 2 2 2 2 0 0 1 y x y x y x 2 limlim 1 11 1 1 1 1 2 e x x e xx yx x y x yx y x 3 22 22 0 0 limsin0 x y yy xx 4 00 22 sinsin limlim 2 xx yy xyxy y xxy 关于二元函数的连续性 请记住一个基本结论 一切二元初等函数在其定义区基本结论 一切二元初等函数在其定义区 域内均连续域内均连续 例 7 求 221 0 ln lim y x y xe xy 解 因为是初等函数定义域内的点 故 1 0 22 ln y xe f x y xy 4 在点处连续 所以 原式 22 ln y xe f x y xy 1 0 1 0ln2 f 例 8 讨论函数设在其定义域内的连续性 yxf 2 2 2 2 2 2 0 0 0 xy y x y x y x 解 函数的定义域是全平面 并且当时 是初等函 22 ln y xe f x y xy f x y 数 从而是连续的 下面考察函数在处的连续性 因为不存在 0 0 22 0 0 lim x y xy xy 例 4 已证 所以在处不连续 f x y 0 0 三 二元函数的偏导数三 二元函数的偏导数 偏导数是多元微分学中最重要的概念之一 首先回顾一下二元函数偏导数的定偏导数是多元微分学中最重要的概念之一 首先回顾一下二元函数偏导数的定 义 义 设函数在点的邻域内有定义 记 yxfz y xP 0 00 P U 0 如果 y x y x fxfz x 0 0 0 0 x fxf x zyxyx x x x 0 0 0 0 00 limlim 存在 则称之为函数 在点处关于自变量的偏导数 此 yxfz y xP 0 00 x 时也称函数在点处关于自变量可偏导 记为 yxfz y xP 0 00 x 或 完全类似 如果 0 0 y xx z 0 0 y xx f y x f x0 0 0 0 y xzx y fyf y zy x y x y y y 0 0 0 0 00 limlim 存在 则称之为函数 在点处关于自变量的偏导数 此 yxfz y xP 0 00 y 时也称函数在点处关于自变量可偏导 记为 yxfz y xP 0 00 y 或 1 0 0 y xy z 0 0 y xy f y x f y0 0 0 0 y xzy 注意 1 在偏导数的定 y x f x0 0 x fxf x zyxyx x x x 0 0 0 0 00 limlim 5 义 式中 为极限变量 其余均为常数 x 2 如果令且在点处可导 则 y xfx 0 x x0 x x x xx x xx 00 00 0 limlim x fxf y x y x x 0 0 0 0 0 lim 说明偏导数的本质是一元函数的导数 y x f x0 0 y x f x0 0 完全类似 如果令且在点处可导 则 yfy x 0 y y0 y y y yy y yy 00 000 limlim y fyf y x y x y 0 0 0 0 0 lim 说明偏导数的本质也是一元函数的导 y x f y0 0 y x f y0 0 数 3 偏导 函 数的概念 如果函数在平面区域 D 内每一点 yxfz 处均可偏导 则对于任意一点 称 DyxP x yxfyxxf x z x x x limlim 00 为函数在平面区域 D 内关于自变量的偏导 函 数 记为 yxfz x 或 yx x z yx x f yx f x yx zx 4 偏导函数与偏导数之间的联系 y x f x0 0 yx f x 0 0 y x 即函数在点处关于自变量的偏导数的值等于 yxfz y xP 0 00 x 关于自变量的偏导函数在处的函数值 因此 今后很少针 yxfz x y xP 0 00 对具体利用函数在点处的偏导数的定义去求或 yxfz y xP 0 00 y x f x0 0 而是先求函数关于自变量的偏导函数表达式 然后 y x f y0 0 yxfz yx 将代入偏导函数即可 求一个二元函数的偏导数并不需要特殊的方法 y xP 0 00 只须利用一元函数的求导方法 5 二元函数偏导数的几何意义 6 推广 三元以上函数的偏导数的定义 6 例 9 求在点处的偏导数 y x xyz 2 2 3 2 1 解法一 故 22 2 1 21 213 1 22118 xz fxfxxxx 由于所以 2 00 8 limlim8 x xx zxx xx 7 2 1 zy 解法二 令 则 所以 462 2 xxzx x 62 xx 8 12 1 zx 令 则 所以 y yyzy 2 31 1 yy23 7 22 1 zy 解法三 因为 yxyx zx 32 23 yxyx zy 所以 8 2 1 zx 7 2 1 zy 虽然此三种方法在求具体偏导数时都适用 但在具体问题中究竟该用那种 还 是要具体情况具体对待 一般说来 对于分段函数在分段点处的可偏导性 一 定要根据定义来讨论 一个解析式子表示的函数求偏导数 往往用解法三 解 法三则很少用 但有些题中 也会用到 如 已知求 求 则宜用解法 2 3 arcsin2 ln xy xy zy xe f x yx 1 2 x f 二 例 10 设 求 0 0 xxz x y zzyx 解 1 xz y x y ln x xz y y 例 11 求 x z y u uuu zyx 解 1 xxu z y z y x xz y z y ln1 ln xxu z y z y y z x z x ln ln 22 xx zz xu z y z y z yy x 例 12 设 求 yxfz 0 0 0 2 2 2 2 2 2 y x y x y x xy 0 0 0 0 ff yx 解 由定义 0 0 0 0 0 lim0 0 0 x fxf xx f 7 由轮换对称性 0 0 0 f y 此例说明 函数在某点处可偏导未必可以推出它在此点处也连续 这与 一 元函数可导必连续的关系有本质的区别 例 13 设 1 证明在处 yxfz 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x x yxfz 0 0o 连续 2 证明在处不可偏导 yxfz 0 0o 证明 一 因为 2 2 2 2 0 0 x f x yxx y x y x 所以 由夹逼准则知 故 0 0 lim 00 0 x y f x yf 二 依定义 不存在 同理 x x x fxf xxx f lim 0 0 0 0 lim0 0 00 不存在 0 0 f y 注意 此例说明 函数在某点处连续同样未必可以推出它在此点处也可偏 导 四四 高阶偏导数高阶偏导数 对于二元函数 如果其偏导函数仍然可求偏导 一般说来 求得的 yxfz 结果仍然是关于的二元函数 称之为关于的二阶偏导数 按照对自变量yx yx 求导次序的不同 共有四种不同形式的二阶偏导数 1 或记为 2 或记为 x z 2 2 2 2 f z x xx xx f yx z 2 2 f z xy xy yx f 3 或记为 4 或记为 xy z 2 2 f z yx yx xy f y z 2 2 2 2 f z y yy yy f 统称以上四种为二元函数的二阶偏导数 其中第 2 3 两种又形 yxfz 象地称为二阶混合偏导 同样 还可定义二元函数关于的三阶以上的偏导yx 数 比如 或记为称为二元函数关于的三 y z x 2 3 2 3 f z x xxy xxy y f yxfz yx 阶偏导数 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 8 例 14 设 求其二阶偏导数 13 32 3 xyxz yy x 解 92 33 2 3 32 2 xxy y z y x z y x yy x 182 12 12 6 3 2 222 2 2 2 xy z xy xy z xy yx z x z x y y x 注意到 例 6 中两种二阶混合偏导恰好相同 我们说 这绝对不是偶然的 我们有 定理 定理 如果二元函数的两种二阶混合偏导函数在区域 D 内点 yxfz 00 0 xy P 均连续 则必有 而对大多数二元初等函数来说 y x f xy0 0 y x f yx0 0 定理的条件都不难满足 因此 以后求二元函数的所有二阶偏导函数 yxfz 往 往只须求三种就可以了 例 15 设二元函数 证明不存在 yxfz 2 2 22 2 2 2 0 0 0 xy xy y x y x 0 0 xy f 证明 一 当时 22 0 xy 22 2 22 2 x y yx fx y xy 而故 0 0 00 0 0 0lim0 x x fxf f x 22 2 2 2 22 2 2 2 0 0 0 x y yx xy fx y y x y x 二 由定义 3 4 2 000 2 0 00 0 2 0 0limlimlim xx xy yyy y fyfy f yy y 因此 不存在 0 0 xy f 五 全微分五 全微分 先回忆一下全微分的概念先回忆一下全微分的概念 定义 定义 如果二元函数在点处的全增量 yxfz y xP 0 00 9 可以表示成为 y x y x fyxfz 0 0 0 0 其中 3 0 yBxAz yx 22 则称二元函数在点处可 以全 微分 而记 yxfz y xP 0 00 称为在点处的全微分yBxAdfdz yxfz y xP 0 00 注意 显然 如果二元函数在点处可 以全 微分 则 yxfz y xP 0 00 当很小很小 即很小很小时 dzz yx yx 22 要证明要证明在点在点处可以全微分 只须证明 处可以全微分 只须证明 yxfz y xP 0 00 进一步 可定义 进一步 可定义 如果函数在区域 D 内每一点处均可以全微分 则 yxfz 称函数在区域 D 内可微 yxfz 要十分清楚可微与连续及可偏导之间的关系 考试时常出判断题或选择题 要十分清楚可微与连续及可偏导之间的关系 考试时常出判断题或选择题 定理 如果定理 如果在点在点处可微 则处可微 则在点在点处处 yxfz y xP 0 00 yxfz y xP 0 00 必连续 但反之未必 必连续 但反之未必 定理 定理 如果如果在点在点处可微 则处可微 则在点在点 处处 yxfz y xP 0 00 yxfz y xP 0 00 必可偏导 且必可偏导 且 但反之未必但反之未必 0000 xyxy zz dzxy xy 注意 以后记 5 yyxxyxy y z x x z dz ff yx 例 16 设 1 求 yxfz 0 0 0 2 2 2 2 2 2 y x y x y x xy 0 0 0 0 ff yx 2 在处的可微性 yxf 0 0o 解 一 依定义 0 0 lim 0 0 0 0 lim0 0 00 xx fxf xxx f 由轮换对称性 0 0 0 f y 二 因为 yx yx fyxfz 22 0 0 0 0 10 0 2 1 limlim 0 00 0 lim 22 2 0 22 0 0 xx xyx ff x xy x yx xy x yx yxz 所以 在处的不可微 yxf 0 0o 总结 总结 函数在处连续 可偏导 可微三者之间的关系 yxfz y xP 0 00 定理 定理 对函数 若均在点处连续 yxfz yxyx ff yx y xP 0 00 在点 处可微 yxfz y xP 0 00 推广推广 三元以上的函数的全微分 设在点可微 则 zyxfu zyx dzdydxdu fff Zyx 例 17 设的全微分 e yzy xzyxfu 2 sin 解 2 cos 2 1 1 ee yzyz y z u z y y u x u 2 cos 2 1 dzydyz y dxdu ee yzyz 多元函数的全微分与一元函数的全微分的运算法则完全类似 如四则求微法则多元函数的全微分与一元函数的全微分的运算法则完全类似 如四则求微法则 等等 这里不再回顾 欲知详情 可自己看同济版教材 研究二元函数的全微分 主要目的还是在于做近似计算 研究二元函数的全微分 主要目的还是在于做近似计算 记住两个常用的近似计算公式 当很小很小时 yx 1 12 yxdzz y x fy x f yx 0 0 0 0 2 13 yxyxf y x fy x fy x fy x y x 0 0 0 0 0 0 0 0 例 18 求的近似值 002 1 99 2 解 令则 x y yxfz ln 1 xyxyyx x f x f y y y x 这里取 则由公式 13 得 01 0 002 0 3 1 0 0 yx y x 01 0 3 1002 0 3 1001 0 3 002 01 3 1 fff yx f 即 006 1 01 0 0002 0 31 002 1 99 2 例 19 有一个圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 11 高度由 100cm 减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值 解 设圆柱体的体积 半径 高度依次为 V r h 则 hV r 2 2 2 rVVhr rh 这里取则由公式 12 得 1 100 05 0 20 00 hr hr 200 1 05 0 100 20 2 20 2 00 00 hrdVV hrVhrV hr 六 多元复合函数求 偏 导六 多元复合函数求 偏 导 首先回顾全导数公式首先回顾全导数公式 定理 定理 若函数关于有连续的一阶偏导数 又函数 vufz vu 在点处可导 则复合函数 一元 关于可导 xvvxuu x xvxufz x 且 dx dv v z dx du u z dx dz 称上式为全导数公式全导数公式 注意 注意 1 由于 由于 z 通过中间变量通过中间变量 u v 而成为而成为的函数 所以相对于偏导数而言 的函数 所以相对于偏导数而言 x 我们称我们称为全导数为全导数 dx dz 2 上述求全导数的公式也可推广到有更多个中间变量的情形 上述求全导数的公式也可推广到有更多个中间变量的情形 如 如 关于关于有连续的一阶偏导数 又函数有连续的一阶偏导数 又函数 wvufz wvu 在在 xwwxvvxuu 点点处可导 则复合函数处可导 则复合函数 一元 关于 一元 关于可导 且 可导 且 x xwxvxufz x dx dw w z dx dv v z dx du u z dx dz 例 20 设 而求 e uv z sin 2 x vxu dx dz 解 2 cos x dx dv x dx du u v z v u z ee uvuv e xee x xxxxuxv dx dv v z dx du u z dx dzxuvuv 2 sin2 sin2cos 2 cos 另解 其实可直接先将代入 得 成为的显式 x vxu 2 sin ee xuv x z sin 2 x 表达函数 利用上册的一元函数求导方法即可 例 21 设 而求tuvzsin cos tvu e t dt dz 解 sin cos t dt dv dt du t dt dz u v z v u z e t 12 cossincoscossin tttttuv dt dz dt dv v z dt du u z dt dz eee ttt 另解 其实可直接先将代入 得 成为 的显式tvu e t cos ttz e t sincos t 表达函数 利用上册的一元函数求导方法即可 刚才讲到的全导数公式只适用于最简单的多元复合求导 因为最后复合的函数 还是一元函数 这太特殊了 对于更一般的情形下 多元复合求偏导常要用到 所谓的 链式法则链式法则 定理 定理 若函数关于有连续的一阶偏导数 vufz vu 又函数 在点处可偏导 则复合函数 二 yxvvyxuu yx yxvyxufz 元 关于可偏导 且 yx y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z 例 22 设 而求vz e u sin yxvxyu y z x z 解 1 1 cos sin y v x y u x v y x u v v z v u z ee uu cossin 1 cossin cossin 1 cossin yxyxxvvx y v v z y u u z y z yxyxyvvy x v v z x u u z x z eee eee xyuu xyuu 另解 其实可直接先将代入 得 成为的显yxvxyu yxz e xy sinyx 式表达的二元函数 直接求导即可 注意 1 当然上述定理也可推广至有多个中间变量的情形 如 函数关于有连续的一阶偏导数 又函数 wvufz wvu uu x y vv x y 在点处可偏导 则复合函数 二元 w x y yx yxwyxvyxufz 关于可偏导 且 yx y w w z y v v z y u u z y z x w w z x v v z x u u z x z 13 要关注一种有趣的现象 要关注一种有趣的现象 这里既是的中间变 yxuuyxufz xu 量 又是二元函数的两个自变量之一 这时 如果照搬公式会 yxyxufz 有 式是有问题的 事实上 式上边一条中左 右两边 y z y u u z y z x z x u u z x z 虽都有 但它们原本想要表达的意思是不同的 为区别起见 改记 式为 x z 显然 这里暗示是不同的 具体地讲 是把最 y f y u u z y z x f x u u z x z x z x f x z 后复合而成的作为以为自变量的直接函数中的把看作不变 而对求的zyx yx 偏导数 而则是把中的均看作不变 而对求的偏导数 但对于 x f yxuf yu x 简单函数来说 两者的含义仍然相同 我建议 从此后 不管是复 yxfz z 合函数 还是简单函数 都采用以下的写法 y f y u u f y z x f x u u f x z 总之 以后在求多元复合函数求偏导类型的题时 一要弄清复合结构 即要画 出链式图 二要注意不犯记号错误 例 23 设求 xyzxyxfu z u y u x u 解 令 则xyzwxyv wvxfu 由链式法则 yz w f y v f x f x w w f x v v f x f x u 类似 xz w f x v f y w w f y v v f y u xy w f z w w f z u 注意 这里由于最外面一层函数是抽象函数 故最后的结果中中间变量的记号 14 不 能通过回代而消失 这样 就有一个问题 不同的同学可能会用不同的记号来表 示中间变量 造成最后答案形式上的不统一 给老师改作业带来麻烦 其实 仔 细琢磨一下链式法则的本质 我们关注的无非就是每次求导的顺序而已 最后 答案与中间变量的记号其实没任何关系 于是 为简单起见 不如就把中间变量 用数字 1 2 3 等来标记 因此 例 4 又可换一种写法 解 由链式法则 3 2 1 yzy x u fff 类似 3 2 xzx y u ff 3 xy z u f 例 24 设 2 2 2 yzfu z y x 求 y u 解 记 则 z y x v 2 2 2 22 yvzvy dy dz z v dv du y v dv du y u ff 例 25 设求 2 22 xyyfz y xx y z x z 解 分析 不要急于用链式法则 而应先用乘积函数的求导公式 至于中间 步骤中若遇到复合函数求导 再用链式法则 yxyxyxyf x z ff x y x 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 22 xyyxyf y z ff x y xx 与一元复合函数类似 多元函数也具有一阶微分形式的不变性与一元复合函数类似 多元函数也具有一阶微分形式的不变性 定理 定理 设函数在处可微 又函数在点 vufz vu yxvvyxuu 处均可微 则有 yx dv v z du u z dz 上式说明 把看作自变量时微分与把看作中间变量时的微分vu dzvu 在形式上是一样的 称此性质为复合函数阶微分形式的不变性 dz 注意 在其它的复合情形下也有类似的一阶微分形式的不变性注意 在其它的复合情形下也有类似的一阶微分形式的不变性 下面用此法将前面的例 23 再重做一回 例 23 设求 xyzxyxfu z u y u x u 解 123 duf d xf d xyf d xyz 15 123 f dxfxdyydxfyzdxxzdyxydz 123233 fyfyzfdxxfxzfdyxyf dz 所以 3 2 1 yzy x u fff 3 2 xzx y u ff 3 xy z u f 请同学们试着用此法把上面的例 24 例 25 再重做一遍 七 隐函数求导七 隐函数求导 记住两个公式 一 设方程记住两个公式 一 设方程确定了一个隐函数确定了一个隐函数或或 0 yxF xyy yxx F F y x dx dy 例 26 求由方程确定的0sin e x yyx dx dy 解法一 方程两边同时关于求导 视为的函数 得 xyx 0 cossin y dx dy dx dy yxy ee xx 解出 cos sin e e x x yx yy dx dy 解法二 令 这里互相独立 则 e x yyxyxF sin yx cos sin eFeF x y x x yxyy 所以 由公式 3 解出 cos sin e e F F x x y x yx yy dx dy 注意 请同学们比较一下两解法有什么本质的区别 哪种用起来更方便 称解法二为公式法 二 设三元方程 二 设三元方程 确定了一个隐函数 确定了一个隐函数或或 0 zyxF yxzz 则可视为 原方程化为 zxyyzyxx zyxF yxzyxF 对恒等式 两边关于求导 注意这里视为常数 得 0 yxzyxFxy 完全类似 F F z x x z x z z F x F 0 F F z y y z 16 例 27 设由确定 其中可微 求 yxzz y z yf z y x 2 2 2 f y z x z 解一 公式法 这里互相独立 zyx 令 z y x y z yfzyxF 2 2 2 则 2 1 2 2 2 z yy z yy z y z y y z fx f F y f FFzyx 所以 有 2 2 2 2 z y z x z y z x x z ff F F z x 2 2 2 2 2 yz y z y z yf y z z z y z y y z y z y z f y z yf yf f f F F z y 解二 一 方程两边同时关于求导 视为 并视常数 有 xz yxzz y x x z y z z x z yy z y x z zx ff 2 2 1 22 所以 2 2 2 2 z y z x z y z x x z ff F F z x 二 方程两边同时关于求导 视为 并视常数 有 yz yxzz x 2 2 1 22 2 y y z y z y z f x z y z z z x z yy z y y z f y z zy ff y f 所以 2 2 2 2 2 yz y z y z yf y z z z y z y y z y z y z f y z yf yf f f F F z y 解三 方程两边取全微分 得 17 利用微分形式的不变性 y z yfdd z y x 2 2 2 dz yy z ydy z y z y y z fzdzydydxx f y f 1 222 2 dz y z dy z y z y y z f f y f 2 所以 dz dx z y z x f 2 2 2 2 2 dy yz y z y z yf y z z yf yf 故 2 2 z y z x x z f 2 2 2 yz y z y z yf y z z y z yf yf 注意 对一般隐函数求导问题都有此三种方法 我个人比较欣赏解法三 例 28 设函数由方程所确定 其中具有连续偏 zz x y 0 zz F xy yx F 导数 证明 zz xyzxy xy 证明一 方程两边对求导 视为常数 得 xy 解得 12 2 11 10 zzz FF y xx xx 2 21 12 yzFx yFz x x xFyF 同理 由轮换对称性知 2 12 21 xzFy xFz y y yFxF 所以 1212 12 z xFzFxy xFyF zz xyzxy xy xFyF 解法二 公式法 自己完成 解法三 全微分法 自己完成 例 29 设函数由方程所确定 求 zz x y 22 xyz eze 2 1 2 x y dz 18 解 只需先求出 22 xyxy zz zyezxe xyee 故 22 xyxy zz zzyexe dzdxdydxdy xyee 由于 而的表达式中均含有 此时应满足给定 222 111 222 xxx yyy zz dzdxdy xy zz xy zz 的方程 即有 不难看出 于是 1 2 2 22 z eze 1 z 2 1 2 22 x y e dz e 例 30 设求 2 0 xy t f x yedt 222 22 2 xffyf yx yxxy 解 因为 2222 23 22 xyxyxyxy xyxx fx yyefx yxefx yyexyxy e 222 223 2 2 xyxyxy xyyy fx yex y efx yx ye 故 22 222 22 2 2 x y xffyf e yx yxxy 八 多元函数的极值 最值八 多元函数的极值 最值 先熟悉一下极值的定义 设函数在点 的邻域内 zf x y 00 0 y xP P U 0 有定义 如果对于任何 都有 P UyxP 0 y xP fyxffPf 0 00 或 则称为函数的一个极大值 并称为函数的一个极 y x f 0 0 yxfz y xP 0 00 大值点 完全类似 将不等号反号可定义函数极小值与极小值点 yxfz 注意 对于三元函数 类似可定义极值 zyxfu 极值的必要条件 定理 设函数在点处可微 zf x y 00 0 y xP 19 且为函数的极值 则 y x f 0 0 yxfz 0 0 0 0 0 0 y x f y x f y x 注意 称满足上式的点为函数的驻点 或稳定点 00 0 y xP zf x y 推广 三元函数在点处可微 且 rfzzyxfu 或 000 0 y xPz 为函数的极值 则 z y x f 0 0 0 zyxfu 注意 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x f z y x f z y x f z y x 1 可微函数的极值点必为驻点 但反之未必 即 驻点未必是极值点 如 马鞍面 是它的驻点 但在 y x yxfz 2 2 2 1 2 1 0 00 处无极值 0 00 2 不可微的点也可能是极值点 如 上圆锥面 在 y x yxfz 2 2 处显然取到极小值 但在处不可偏导 0 00 y x yxfz 2 2 0 00 极值的判定定理 设函数在点 的邻域 rfzyxfz 或 00 0 y xP 内有一阶及二阶连续偏导数 且为 P U 0 y xr y xP 0 00 0 00 或 驻点 记 2 0 0 0 0 0 0 B y x fy x fy x f ACCBA yyxyxx 则 一 当时具有极值 且0 2 B AC yxfz 1 当时 在处取到极大值 0 A yxfz y xP 0 00 2 当时 在处取到极大值 0 A yxfz y xP 0 00 二 当时在无极值 0 2 B AC yxfz y xP 0 00 三 当时 在可能有极值 也可能无0 2 B AC yxfz y xP 0 00 极值 这时 通常利用极值的定义或二阶微分的符号来判定 不过 对同 学们来说 一般不会遇到第三种情况 如果遇到了 往往需要用定义来考察 20 例 31 求函数的极值 y x y x yxfz 2 2 3 3 33 解 一 解方程组 0 63 063 2 2 yyx xyx yf x f y x 2 0 2 0 y x 得四个驻点 2 2 0 2 2 0 0 0 4321PPPP 二 6 6 0 66 yyxCyxBxyxA fff yyxyxx 驻点 0 0 2 0 0 2 2 2 B AC 2 36 36 3636 A 6 666 判定极大值点非极值点非极值点极小值点 因为该函数不存在不可微点 故为函数的极大值 00 0 f 为函数的极小值 82 2 f 例 32 求函数的极值 2 2 44 2zf x yxyxy y x 解 一 解方程组 3 3 4220 4220 x y x yxxy x yxy f fy 得三个驻点 123 1 1 1 1 0 0 PPP 二 66 0 xxxy Ax yxBx y ff 66 yy Cx yy f 1 在点处 故 1 1 1 P 2 100 2 10 0 ABCACB 1 1Z 为极小值 2 2 在点处 故 2 1 1 P 2 100 2 10 0 ABCACB 1 1Z 21 为极小值 2 3 在点处 故不能确定是否有极值 在近旁 令 3 0 0 P 2 0 ACB 沿直线变化 则有当沿直线0y 0 0 22 010 0 0 Z xxxZ y x 沿直线变化 则有故不是极值 4 20 0 0 Z xxxZ 0 0Z 谈到最值 通常我们研究得比较多的情形是求有界闭域谈到最值 通常我们研究得比较多的情形是求有界闭域上的连续函数的最值 上的连续函数的最值 D 因为这种情形下最值必存在 一般步骤是因为这种情形下最值必存在 一般步骤是 先求出先求出在在内部的一切可能的极值点 包括驻点及偏导不存在的点 内部的一切可能的极值点 包括驻点及偏导不存在的点 yxf D 再再 求出求出在在边界上的一切可能的最值点 最后求出以上找到的各种点处的边界上的一切可能的最值点 最后求出以上找到的各种点处的 yxf D 函数值 进行比较即可 函数值 进行比较即可 请看下例 例 33 求函数在闭域在 yxyyxfz x 5 2 yxf D 上的最值 4 0 0 yxyx 解 一 内部 令 0 5 052 22 2 yyxyx yxxyyyx xx f x f y x 4 5 2 5 y x 所以 得唯一驻点 无偏导不存在的点 4 5 2 5 1P 64 625 4 5 2 5 f 二 边界 1 在边界或上 显然 40 0 yxOA 40 0 xyOB 0 yxf 2 在边界上 xyxyxAB 4404 4044545 222 xxxxxyxyyxfz xxx 成为一元函数 令 0 3 8 042 21 2 xxx xx dx dz 0 40 64 625 3 8 zzz 22 三 比较 得到最大值为 最 64 625 4 5 2 5 f 0 40 64 625 3 8 zzz 64 625 小值为 0 注意 由例 4 可见 即使是边界由直线所围成 边界上的可能最值点也不好求 其实在实际问题中没必要这么做 往往根据实际问题的背景我们就可以判断出 最 值必在内部达到 而且如果内部只有一个驻点的话 根本不必判断 其必为所 求 之最值点 例 34 从斜边长为 的一切直角三角形中 求有最大周界的直角三角形 l 解 设直角三角形的两直角边长分别为其周长为 z l y x yx 2 2 2 则问题化为一元函数求最值 lxxlyxlz xl 0 22 所以 驻点01 22 xl x dx dz 2 l x 所以 最大周值为 21 22 l ll lz 刚才解决的例 34 有一个特点 所求最值的函数中两自变量并 yxfz yx 不 独立 而是受到一个条件的限制 称这种问题为条件极值问题 对于 0 yx 这种问题 例 34 为我们提供了一种比较简单地方法 即从条件中解 0 yx 出 代入 得 从而转化为一元函数求最值 xyy yxfz xyxfz 但并非任何条件极值都能用此法解决 下面推出一种专门用以解决条件极值的 方法 拉格朗日乘数法 九 条件极值和拉格朗日乘数法 1 问题 求在条件下的极值 yxfz 0 yx 2 拉格朗日乘数法的解题方法 步骤 1 构造拉格朗日函数法 其中 称为拉格朗日参数 yxyxfyxL 2 作为一个普通函数 求的驻点 即解方程组 yxL 23 驻点 3 0 2 0 1 0 yx L f L f L yy y xx x 0 0 0 y x P 3 则就是可能的极值点 y x 0 0 当然 还需要具体判断是否确实是要求的条件极值点 但这要用到二 y x 0 0 阶微分 比较麻烦 不过 既然条件极值肯定是从实际中产生的问题 如果我 们又得到一个或两个可能的极值点 那么就无须判断 它们肯定就是要求的条 件极值点 对同学们来说 我们只会遇到这种情况 例 35 用拉格朗日乘数法重做例 5 解 设直角三角形的两直角边长分别为其周长为 z yx 则问题化为求函数在条件 yxlyxfz yxfz 下的极值 0 2 2 2 l y x yx 令 l y x lyxyxL 2 2 2 求的驻点 即 yxL l l yxy x l y xL L L y x 2 1 2 0 021 021 2 2 2 则就是所求的条件极值点 故最大周长 2 2 ll l ll f21 2 2 注意 可见 例 35 的结果与例 34 是一致的 显然例 35 的做法更简洁 注意 1 对三元函数在条件下的极值 也有类似的 zyxfu 0 zyx 拉格朗日乘数法法 其步骤如下 a 构造拉格朗日函数法 其中 称为拉格朗日参数 zyxzyxfzyxL b 作为一个普通函数 求的驻点 即解方程组 zyxL 24 驻点 4 0 3 0 2 0 1 0 yx L f L f L f L zz z yy y xx x 0 0 0 0 z y x P c 则就是可能的极值点 z y x 0 0 0 2 进一步 三元函数在两条件下的极值 也有类似 zyxfu 0 0 zyx zyx 的 拉格朗日乘数法法 其步骤如下 a 构造拉格朗日函数法 其中 称为拉 zyxzyxzyxfzyxL 格朗日参数 b 作为一个普通函数 求的驻点 即解方程组 zyxL 驻点 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 zyx zyx L L f L f L f L zzz z yyy y xxx x 0 00 0 0 z y x P c 则就是可能的极值点 z y x 0 0 0 例 36 求由原点到曲面上点的最短距离 1 2 2 zyx 解 设为曲面上任意一点 又设 zyxP 1 2 2 zyx z y xOP zyxfu 2 2 2 2 则问题转化为求在条件 z y xOP zyxfu 2 2 2 2 01 2 2 z yx 的最值 我们用拉格朗日乘数法解之 令 1 2 2 2 2 2 z yx z y x zyxL 2 求的驻点 即 zyxL 25 或 4 01 3 022 2 022 1 022 2 2 z yx L L L L zz yxy yxx z y x 0 2 1 2 1 z y x 0 2 1 2 1 z y x 则就是可能的条件极值点 因为 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 21PP 2 2 21 PP OO 故最短距离 2 2 d 例 37 抛物面被平面截成一椭圆 求原点到这椭圆的最 y x z 2 2 1 zyx 长 最短距离 解 1 设为曲面椭圆上任意一点 又设 zyxP z y xOP zyxfu 2 2 2 2 则问题转化为求两条件下 z y xOP zyxfu 2 2 2 2 01 0 2 2 zyx z y x 的最值 我们用拉格朗日乘数法解之 令 1 2 22 2 2 zyxzzyxL y xz y x 2 求的驻点 即 zyxF 或 5 01 4 0 3 02 2 022 1 022 22 zyx z z yy xx L xL L L L z y x 32 2 31 2 31 z y x 32 2 31 2 31 z y x 则就是可能的条件 32 2 31 2 31 32 2 31 2 31 21PP 极值点 因为 26 359 359 21 PP OO 故最短距离 最长距离 359 359 例 38 求函数在条件下的 xyzzyxf 0 0 0 0 1111 rzyx rzyx 极小值 并证明不等式 a b c 为任意的正实数 3 3 1 111 abc cba 解 一 作拉格朗日函数 rzyx xyzzyxL 1111 求的驻点 即 zyxL 4 0 1111 3 0 2 0 1 0 2 2 2 rzyx xy zx yz L z L y L x L z y x 由 1 2 3 易得 5 111 xyz zyx 代入 4 得到 从而 得驻点 r3 1 rrr P 3 3 3 0 二 为判断是否为所求的条件极值 可把条件 r P f 3 3 0 6 看成隐函数方程 假设可从中解出 并把目标 rzyx 1111 yxzz 函数理解为二元显式表达的函数 这样就可以利用 yxzxyzyxfyxF 极值的充分条件来判断 由 6 利用隐函数求导公式可得 27 7 2 2 2 2 y z x z y z x z 8 2 x y yz x z xyyz z Fx 2 y x xz y z xzxz z Fy x z x F yz xy x z y x z y xx3 3 2 2 2 xyxy z yx z xy x z x y z yz zzz Fxy 3222 2 9 其中会用到 2 3 3 y z F x yy x zx x z x zx x z x xz x x z z xx x z z 4 22 2 2 7 4 22 2 2 2 2 22 22 及 x zz x 4 23 22 yx z 2 当时 rzyx3 3 6 6 rBrCr f FFA x