实验二 插值法.doc

实验二 插值法实验2.1（多项式插值的振荡现象）问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。 我们自然关心插值多项式的次数增加时，L(x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出了一个极著名例子。设区间-1，1上函数 f(x)=1(1+25x2)实验内容：考虑区间-1，1的一个等距划分，分点为： x(i)=-1+2i/n,i=0,1,2,n泽拉格朗日插值多项式为： L(x)=l(i)(x)/(1+25x(j)2 ) i=0,1,n其中l(i)(x), i=0,1,n,n是n次拉格朗日插值基函数。实验要求： 选择不断增大的分点数目n=2,3，画出f(x)及插值多项式函数L(x)在-1，1上的图象，比较分析实验结果。（2）选择其它的函数，例如定义在区间-5，5上的函数 h(x)=x/(1+x4) , g(x)=arctanx 重复上述的实验看其结果如何。 （3）区间a,b上切比雪夫点的定义为： xk=（b+a）/2+(b-a)/2)cos(2k-1)/(2(n+1),k=1,2,n+1 以x1,x2x(n+1)为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。实验过程：程序：多项式插值的震荡现象（实验2.1）for m=1:6 subplot(2,3,m) %把窗口分割成2*3大小的窗口 largrang(6*m) %对largrang函数进行运行 if m=1 title(longn=6) elseif m=2 title(longn=12) elseif m=3 title(longn=18) elseif m=4 title(longn=24) elseif m=5 title(longn=30) elseif m=6 title(longn=36) end %对每个窗口分别写上标题为插值点的个数end保存为：chazhi.mfunction largrang(longn)mm=input(please input mm(运行第几个函数就输入mm为几):mm=)if mm=1 %d表示定义域的边界值 d=1;elseif mm=2|mm=3 d=5;endx0=linspace(-d,d,longn); %x的节点if mm=1 y0=1./(1.+25.*x0.2);elseif mm=2 y0=x0./(1.+x0.4);elseif mm=3 y0=atan(x0);endx=sym(x);n=length(x0); s=0.0;for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(x-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s;endy=s;if mm=1 ezplot(1/(1+25*x2)elseif mm=2 ezplot(x/(1+x4)elseif mm=3 ezplot(atan(x)endhold onezplot(y,-d,d)hold off保存为：largrang.m数值实验结果及分析：对于第一个函数f(x)=1/(1+25x2)对于第二个函数h(x)=x/(1+x4)对于第三个函数g(x)=arctan(x)讨论：通过对三个函数得出的largrang插值多项式并在数学软件中的运行，得出函数图象，说明了对函数的支点不是越多越好，而是在函数的两端而言支点越多，而largrang插值多项式不是更加靠近被逼近的函数，反而更加远离函数，在函数两端的跳动性更加明显，argrang插值多项式对函数不收敛。实验总结：利用MATLAB来进行函数的largrang插值多项式问题的实验，虽然其得出的结果是有误差的，但是增加支点的个数进行多次实验，可以找出函数的largrang插值多项式的一般规律，当支点增加时，largrang插值多项式