整式的乘除易错题（14考点40题）解析版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

整式的乘除易错题重难点(14考点40题)

科学记数法一表示较小的数(共2小题)

1.中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称.锢是一种重要的稀土金

属，在地壳中的含量约为0.00183%,其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等.数

据0.00183用科学记数法可表示为()

A.1.83X10-3B.0.183X102

C.1.83XW4D.0.183X10-3

【答案】A

【解答】解：0.00183=1.83X10-3.

故选：A.

2.截至4月2日，全球累计确诊新冠肺炎病例约1.3亿例.我们切不可掉以轻心，要做好

日常防护.科学研究表明，导致新冠肺炎的新冠病毒比细菌小很多，平均直径仅为

0.000000098m.这个数用科学记数法表示为()

A.0.98X107B.9.8X108C.98X108D.9.8X109

【答案】B

【解答】解：0.000000098m=9.8X10-8%.

故选：B.

二.同底数塞的乘法(共1小题)

3.我们知道,同底数哥的乘法法则为心•."=m+"(其中。羊0,加、〃为正整数)，类似地，

我们规定关于任意正整数加、"的一种新运算：/(m)*/(«)=f(in+n)(其中力、n

为正整数).

例如，若/(3)=2,则7(6)=/(3+3)=/(3)•/(3)=2X2=4./(9)=/

(3+3+3)=/(3)•/(3)•/(3)=2X2X2=8.

(1)若”2)=5,

①填空：/(6)=125；

②当/(2〃)=25,求〃的值；

(2)若/(a)=3,化简：f(a),/(2a)*f(3a)(10a).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：⑴①可⑵=5,

：.f(6)=/(2+2+2)

=/(2)*/(2)*/(2)

=5X5X5

=125；

故答案为：125；

②解法一：:25=5X5

=/(2)«/(2)

=/(2+2),

V/(2w)=25,

•V⑵)=/(2+2),

；.2"=4,

・・・〃=2；

解法二：/(2〃)

=/(2+2+2+…+2)

71个2

=/⑵F

=53

•・・/(2〃)=25,

・・・5〃=25,

解得：n=2；

(2)V/(2a)

=f(a+a)

=f(a),/(a)

=3X3

=31+1

=32,

fM

~f(〃+〃+〃)

=f(a),/(a)•/(a)

=3X3X3

=3"1+1

=33,

***f

/(10a)=310,

(a)•/(2a)*f(3a),••••/(10a)

=3X32X33X-X310

—31+2+3H-F10

=355.

三.塞的乘方与积的乘方(共2小题)

4.已知a=2i2,Z>=38,c=74,则a,b,c大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.6>。>。

【答案】B

【解答】解：a=2i2=83

6=38=9匕

V9>8>7,

.\94>84>74,

'.b>a>c,

故选：B.

5.阅读探究题：

比较两个底数大于1的正数幕的大小，可以在底数(或指数)相同的情况下，比较指数

(或底数)的大小,如：25>23,55>45.

在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：271°与325.

解：2710=(33)10=330,V30>25,.,.330>325.

(1)8X=218,求x的值.

(2)［类比解答］比较2531253的大小.

(3)［拓展拔高］比较3555,4444,5333的大小.

【答案】⑴6；

(2)254Vl253；

(3)5333<3555<4444.

【解答】解：(1)8'=(23)x=218,

即：23X=218,

A3x=18,

・・x=6；

(2)254=(52)4=58,1253=(53)3=5%

V8<9,

.J<5，

即：254<1253；

(3)3555=(35)ni=243in,4444=⑷)"1=256山，5333=111=125.

V125<243<256,

.\125111<243111<256111；

A5333<3555<4444.

四.同底数事的除法(共3小题)

6.下列式子运算正确的是()

A.X54-X5=0B.x2«x3=x6C.(2x)2=4x2(X3)

【答案】C

【解答】解：/、x5-x5=l,故/不符合题意；

B、x2*x3=x5,故8不符合题意；

C、(2x)2=4/,故C符合题意；

D、(一)4=/，故。不符合题意；

故选：C.

3

7.若10。=3,106=2,则io〃"=-.

——2——

【答案】见试题解答内容

【解答】解：当10。=3,105=2时，

,10a3

1C\a-b=------=-

10b2,

3

故答案为：

,27

8.若〃=3,a=5,则代数式的值为_与_.

27

【答案】y.

【解答】解：・・・〃=3,"=5,

故答案为：y.

五.多项式乘多项式（共8小题）

9.关于尤的代数式（3-ax）（3+2无）的化简结果中不含尤的一次项，则°的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：原式=9+6x-3ax-2ax2=-2ax2+（6-3a）x+9,

由结果不含x的一次项，得到6-3a=0,

解得：a=2.

故选：B.

10.如图，在长为3a+2,宽为26-1的长方形铁片上，挖去长为2a+4,宽为6的小长方形

B.4ab-3a-2

C.6ab-3a+86-2D.4ab-3a+86-2

【答案】B

【解答】解：剩余部分面积：

（3。+2）（26-1）-b（2a+4）

=6ab-3a+46-2-lab-4b

=4ab-3a-2；

故选:B.

11.根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）=2层+3成）+扭，那么根据

图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）

图1

A.(Q+3Z?)(Q+6)=a2+4ab+3b2

B.(a+36)(〃+b)=a1+3b2

C.(6+3。)(b+a)=b2+4ab+3a2

D.(Q+36)(Q-b)=a1+2ab-3P

【答案】4

【解答】解：根据图2的面积得：(a+3b)(a+6)—c^+^ab+^b1,

故选：A.

12.若⑵-m)(x+1)的运算结果中不含x的一次项，则机的值等于()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】/

【解答】解：(2x-m)(x+1)

=2X2+2X-mx-m

2

=2X+(2-m)x-mf

・・•结果中不含x的一次项，

.*.2-m=0,

解得：m—2.

故选：A.

13.若x+y=2,盯=-1,则(1-2x)(1-2»)的值是()

A.-7B.-3C.1D.9

【答案】4

【解答】解：:田):？，xy=-1,

(1-2x)(1-2y)=1-2y~2x+4xy=1-2(田丁)+4孙=1-2X2-4=-7；

故选：A.

14.如果(x-1)(x+2)=x2+mx-2,贝1J加的值是]

【答案】1.

【解答】解：(x-1)(x+2)=x^+x~2.

*/(x-1)(x+2)=x1+mx-2,

/.x2+x-2=x1+mx-2.

故答案为：1.

15.计算：

(1)2m^n,(-3加〃2)2；

(2)Qa-b)Cx+y)+Cb-a)(x-y).

【答案】(1)lSm5n5；

(2)2ay-2by.

【解答】解：(1)2冽(-3加〃2)2；

=2冽3〃•9冽2/

=18m5n5；

(2)(a-b)(x+y)+(b-a)(x-y)

=ax+ay-bx-by^bx-by-ax+ay

=2ay-2by.

16.某区有一块长为(6Q+26)m,宽为(4〃+26)m的长方形地块，规划部门计划将阴影部

分进行绿化，如图所示，空白的/、3正方形地块将修建两个凉亭，两正方形区域的边长

均为(Q+6)m.

(1)用含有。、b的式子表示绿化总面积(结果写成最简形式)；

(2)当。=2,6=3时，绿化成本为150元/加2,则完成绿化工程共需要多少元?

(2)完成绿化工程共需要30300元.

【解答】解：(1)由题意得：长方形地块的面积=(6a+2b)(4a+2b)=

(24层+20加4乂)(加2),

4、5正方形凉亭的面积和为：2(a+b)2=(2a2+4ab+2b2)(m2),

则绿化面积S=(24a2+20ab+4Z?2)-(2a2+4ab+2b2)=(22a2+16ab+2b2)(m2)；

(2),・％=2,b=3,

・•・绿化总面积S=22q2+i6〃b+2/=22X22+16X2X3+2><32=202(混),

工完成绿化工程共需钱数为150X202=30300(元),

答：完成绿化工程共需要30300元.

六.完全平方公式(共4小题)

17.下列计算正确的是()

2232

A.(Q-1)=a-1B.(-ab)=-a6b2

C.a6-i-a3=a2D.(6Z2)3=6Z6

【答案】D

【解答】解：A.(«-1)2=a2~2a+l,故4不符合题意；

3262

B、(-ab)=abf故5不符合题意；

C＞小3=〃3,故。不符合题意；

D、(修)3=〃6,故。符合题意；

故选：D.

18.下列运算正确的是()

A.((7-b)2=a2-b1B.5a2b-2a2b=3

C.X64-X2=X3D.(2X2)3=8M

【答案】D

【解答】解：4、(a-b)2=。2-2"+乂，原计算错误，故此选项不符合题意;

B、5a2b-2a2b=3a2b,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、/+/=工4,原计算错误，故此选项不符合题意；

D、(2/)3=弘6,原计算正确，故此选项符合题意.

故选：D,

19.已知(Hj)2=49,(x-y)2=25,则盯=()

A.-6B.6C.12D.24

【答案】B

【解答】解：因为(x+y)2-(x-y)2=4肛=49-25=24,

所以xy=6,

故选：B.

20.若x+y=1,则x2+2xy+y2=].

【答案】1.

【解答】解：,・“+刀=1,

.\x2+2xy+y2=(x-Fj)21,

故答案为：1.

七.完全平方公式的几何背景（共5小题）

21.阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“己知。+6=6,ab=8,求层+庐的

值.”可以这样解：将完全平方公式（。+6）2=/+2仍+庐变形得到*+'=（q+6）2_

2ab=62-2X8=20.请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形友归C周长为16,S

1

长方形B7/EC=15，贝JS正方形48CD+S正方形CE尸G的值是（）

【答案】A

【解答】解：：长方形周长为16,S长方形EHEC=15,

2（a+Z））=16,ub—15»

••a+6=8,

1•S正方形/8CZ）+S正方形。瓦“7=。2+62

=（a+6）2-2ab

=82-2X15

=64-30

=34,

故选：A.

22.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用

图1可以得到。（。+6）=修+必，那么利用图2所得到的数学等式是（）

B.（q+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

C.（a+6+c）2=a1+b^+c^+ab+ac+bc

D.（a+b+c）2=2a+2b+2c

【答案】B

【解答】解：如图，从整体上看，大正方形的边长为（〃+b+c）,

因此面积为（a+6+c）2；

从各个部分看，整体的面积等于各个部分的面积和，

即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

所以（a+b+c）2=。2+庐+。2+2必+2〃。+26的

故选：B.

a

b

23.在一个面积为36c加2正方形纸板中剪下边长为〃°机大正方形和边长为6。冽的小正方形

（如图1）,再在大正方形沿一个顶点剪下一个边长为be机的小正方形（如图2）,得

到一个周长为16c加的六边形/BCDER则原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为

16cm2.

b

aBQC

图1图2

【答案】16.

【解答】解：由题意得此:然二36

=2<=iio（舍去），

原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为：4X2X2=16,

故答案为：16.

24.完全平方公式：(a±6)2=a2±2ab+b2,适当的变形，可以解决很多的数学问题.例

如：若a+b=3,ab—\,求层+乂的值.

解：因为Q+6=3,

所以(a+b)2=9,即：a2+2ab+b2=9,又因为仍=1,所以修+房二？.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若Hj=8,x2+y2=40,求盯的值；

(2)若(4-x)(x-5)=-8,求(4-x)2+(%-5)2的值；

(3)如图，点C是线段45上的一点，以4C、5c为边向两边作正方形，设45=6,两

正方形的面积和&+S2=18,求图中阴影部分面积.

r

【答案】(1)12；

(2)17；

9

(3)—.

【解答】解：(1)・・・x+y=8,

(ej)2=64,

即x2+2xy+y2=64,

又•.•N4J2=40，

.•.2孙=64-40,

••xy1—12,

答：xy的值为12；

(2)设加=4-x,n=x-5,贝!J加+〃=-1,mn=(4-x)(x-5)=-8,

(4-x)2+(x-5)2

=加2+〃2

=(加+〃)2-2mn

=(-1)2-2X(-8)

=1+16

=17；

(3)设FG=b,则48=6=a+6,由题意可知$1+$2=。2+62=18,

*.*(a+b)2=a2+2ab+b2,

36=18+2",

ab—9,

19

，阴影部分的面积为5a6=

9

答：阴影部分的面积为了

25.阅读理解：

若x满足(30-x)(x-10)=160,求(30-%)2+(%-10)2的值.

解：设30-x=a,x-10=6,贝I](30-x)(x-10)=仍=160,

且a+6=(30-x)+(x-10)—20,

2

所以(30-x)+(x-10)2=02+%2=(a+b)2_2a6=202-2x160=80.

解决问题：

(1)若x满足(50-x)(x-40)=2,求(50-x)2+(x-40)2=96；

(2)若x满足(%-2022)2+(x-2020)2=2000,求(x-2022)(x-2020)的值.

(3)如图，在长方形/BCD中，/5=10,BC=6,点、E、F是BC、CZ)上的点，且2£=

DF=x,分别以尸C：CE为边在长方形488外侧作正方形CFG"和若长方形

CEPP的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为116平方单位.

(3)116.

【解答】解：(1)设50-x=加，x-40=«,贝lJm+〃=10,mn=(50-x)(x-40)=

2,

・•・(50-、)2+(x-40)2

=m2+n2

=(加+〃)2-2mn

=100-4

=96,

故答案为：96；

(2)设x-2022=p,x-2020=g,贝ijp-q=-2,p2+q2=(x-2022)2+(x-2020)?=

2000,

・.・Cp-q>2二夕2+夕2,2pq,

.p2+q2-(p-q)2

・・pq=-------2----------

2000-4

2

=998,

即(x-2022)(x-2020)=998；

(3)由题意可得，FC=10-x,EC=6-x,则(10-x)(6-x)=50,

设10一%=加,6-x=n,贝lj加-几=4,mn=(10-x)(6-x)=50,

*.*(m-n)2=m2+n2-2nm,即16=混+〃2-ioo,

:.加2+层=U6,

即阴影部分的面积为116平方单位，

故答案为：116.

八.完全平方式(共5小题)

26.如果/+加工+16是完全平方式，那么m的值是()

A.8B.4C.±4D.±8

【答案】D

【角犁答】角军：VX2±8X+16=(X±4)2,

x2+mx+16是完全平方式，

Am=±8；

故选：D,

27.如图，4张长为a,宽为6(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为

(a+b)的正方形，图中空白部分的面积为足,阴影部分的面积为出.若邑=2$2,则。、

6满足()

ba

ab

A.ci~~3bB.a=2bC.2a=5bD.2a=3b

【答案】B

11

【解答】解：&=~b(a+6)X2+~abX2+(a-6)2=a2+2b2,

$2=(a+6)2-&=(a+6)2-(a2+2/>2)=2ab-N,

V5*1=252，

a2+2b2=2(2ab-庐),

整理，得(a-26)2=0,

:・a-26=0,

••a'='2b.

故选：B.

28.若/+(冽-2)%+16是一个完全平方式，则冽的值是()

A.10B.-10C.-6或10D.10或-10

【答案】C

【解答】解：•.•/+(冽-2)x+16是一个完全平方式，

.*.x2+(m-2)x+16=(x+4)2或%2+(冽-2)x+16—(x-4)2,

Am-2=±8,

Am=10或-6.

故选：C.

29.如果/-10%+加是一个完全平方式，那么m的值是25.

【答案】25.

【解答】解：・・“2-iox+m是一个完全平方式,

.\m=25.

故答案为：25.

30.在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为。的正方形,

B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形，并用A种纸片一张,

3种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

【发现】

（1）根据图2,写出一个我们熟悉的数学公式（a+6）2=层+2尤+庐

【应用】

（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题:

①已知：a+b=7,cr+b1=25,求的值.

②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2）,且（8-x）2+（%-2）2=20,

【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）①12；

②8.

【解答】解：（1）由图2可知，（a+6）2=。2+2。6+乂,

故答案为：(a+6)2=a2+2ab+b2；

(2)①：a+6=7,

(a+b)2=a2+2ab+b2—49,

'：a2+b2=25,

.26=24,

••ab=12；

②由(1)知，[(8-x)+(x-2)]2(8-x)2+2(8-x)(x-2)+(x-2)2=36,

,?(8-x)2+(尤-2)2=20,

：.2(8-x)(x-2)=16,

(8-x)(x-2)=8,

故这个长方形的面积为8.

九.平方差公式(共2小题)

31.下列计算正确的是()

A.2a+3b—5abB.(a+6)(a-b)—a2-b~

C.2a2-3b=6abD.(a3)2=a5

【答案】B

【解答】解：A2a与3b不能合并，故/不符合题意；

B、(a+6)(a-6)—a2-b1,故3符合题意；

C、2a2-3,b=6a2b,故C不符合题意；

D、(a3)2=a6,故。不符合题意；

故选：B.

32.观察下列等式：

(m-1)(m+1)=m2-1,

(m-1)(m2+m+l)—TIT'-1,

(w-1){m3+m~+m+\)=m4-1.

(1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式：(m-1)(m5+m4+m3+m2+m+l)=

m6-1；

(2)根据上面各式的规律可得(加-1)(加"+切"-1+...+m2+m+l)="产+1-1；

("为正整数，且”22).

(3)求22°22+22021+...+22+2的值.

【答案】(1)(m-1)(m5+m4+m3+m2+m+l)=m6-1；

(2)mn+x-1；

(3)22023-2.

【解答】解：(1)由所列举的式子的规律可得，第5个等式为(机-1)

(m5+m4+m3+m2+ff?+l)=m6-1,

故答案为：(m-1)(m5+m4+m^+m-+m+l)=m(>-1；

(2)由所列举的式子的规律可得，

(m-1)...+m2+m+l)—mn+l-1,

故答案为：mn+l-1；

202220212

(3)(2-1)(2+24--+2+2+l)=22023-I,

.•.22022+22021+—+22+2+l=22023-1,

22022+22021+•••+22+2=22023-2,

答：22022+220214--+22+2的值为22023-2.

一十.平方差公式的几何背景（共2小题）

33.如图1,在边长为。的正方形中剪去一个边长为6的小正方形（a>b）,把剩下部分沿

图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2）,利用这两幅图形面积，可以验证的乘

法公式是（

图1图2

A.(a-b)2cr-lab+b1B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.a(。+6)=cr+abD.(。+6)(a-b)=。2-b-

【答案】D

【解答】解：图1阴影部分的面积等于层-庐,

1

图2梯形的面积是万（2a+26）（a-6）=（a+6）(a-b)

根据两者阴影部分面积相等，可知（a+6）（a-6）—a2-b2

比较各选项，只有。符合题意

故选：D.

34.如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）

B.(a+6)(a-b)—a2-b2

C.(a-b)2=a2-lab+b1D.(a+6)2=cr+2ab+b2

【答案】B

【解答】解：阴影部分的面积=〃2一后；

阴影部分的面积=(a+b)(<2-Z>),

则层-庐=(〃+6)(tz-Z?).

故选：B.

一十一.整式的除法(共1小题)

35.长方形的面积为4/-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的另一边长为()

A.2a-3b+lB.4a2-6abC.4a-3b+lD.2a-3b

【答案】A

【解答】解：由题意得：

(4。2-6ab+2a)+2a

=4a2-^-2a-6ab4-2a+2a4-2a

=2a~36+1，

・••它的另一边长为2a-36+1,

故选：A.

一十二.整式的混合运算(共1小题)

36.把形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长

为加，宽为"，且加W")的盒子底部，有如下两种摆法(如图②③),盒子底部未被

(2)图③中，若48=10,请直接写出加，〃