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自主学习01 教材内容笫十章 电磁场中的带电粒子知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节本章习题 本章自测 知识框架教学目标掌握电磁场中电子的薛定谔方程, 并能就应用于解释一些基本的实验现象如量子霍尔效应、阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应、超导现象等。电磁场场中的带电粒子带电粒子与电磁场的耦合阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应超导现象朗道能级与量子霍尔效应电子在均匀磁场中的运动朗道能级电子在正交均匀磁场和电场中的二维运动朗道能带霍尔效应及量子霍尔效应基本实验事实唯象描述对超导现象的解释规范不变性定域的几率守恒与流密度重点难点 掌握电磁场中电子的薛定谔方程,电磁场的规范不变性。10.1带电粒子与电磁场的耦合本节要求本节使学生掌握带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，并讨论了两类动量的关系。重点难点 明确理解带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，在规范变化下，定域几率守恒，几率流密度守恒的不变性。本节内容考虑质量为m,荷电q的粒子在电磁场中的运动.在经典力学中,其拉格朗日（Lagrangian）量为 (1)把式(1)代入拉氏方程 (2)可得牛顿方程 (3)式中电场强度和磁感应强度为 (4)粒子的正则动量定义为 (5)哈密顿量为 (6)注意在这种情况下,正则动量不同于机械动量,二者之间的关系为.有了哈密顿量后,可把力学运动方程表为正则方程 (7)反过来,由此正则方程(7), 也可得牛顿方程(3).按照量子力学的正则量子化程序,把正则动量换成算符,即 (8)则电磁场中荷电q的粒子的哈密顿算符表示为 (9)因而电磁场中荷电粒子的薛定谔方程为 (10)注意一般而言,与不对易,这是因为对任态波函数,有即有 (11)因而在薛定谔方程(9)中不能随意地将与交换次序. 方程(10) 中出现项, 而不是或,因为前者是所谓的Wely顺序, 它是厄米的, 而后者是非厄米的.1. 规范不变性电磁场的规范不变性是指,如,作下列规范变换 (12)电场强度和磁感应强度都不改变.在这种规范变换下经典牛顿方程中只出现和,因而其规范不变性是显然的.下面可证,尽管在薛定谔方程中出现和,但仍然具有规范不变性.假设用表示和势的哈密顿算符,则相应的薛定谔方程成为 (13)若与只相差一个相因子,则规范变换并不改变物理量,因为在物理量的计算中,只有形如的积分或者矩阵元出现,位相因子相消,并不在其中出现.可以证明,设定 (14)并将其代入的薛定谔方程,可以得出的薛定谔方程.换言之,即使规范变换之后,的薛定谔方程的解仍然描述同样的物理状态,与只相差一个唯一的相因子,而物理观察量不受此相因子的影响.容易证明,并非正则动量,而是真正的运动动量才是可测量的量.这是因为的平均值不是规范不变的,而的平均值才是规范不变的.因此,在电磁场存在时,是将正则动量换成算符，而不是换真正的动量，这是确保规范不变性的唯一作法.2. 定域的几率守恒与流密度取式(10) 的复共扼, 注意,为实函数, 而,得 (15),得即 (16)式中 (17)令 (18)式(17) 中可进一步化为 (19)这里可理解为粒子的速度算符, 而为几率流密度.思考题1. 证明在规范变换下,正则动量算符不变, 但其平均值随规范而异, 而机械动量算符正好相反.2. 证明在规范变换下,几率密度和几率流密度都不变. 3.证明:(a) 即;(b) ;(c) 在只有磁场的情况下, 哈密顿算符可写成,且.10.2朗道能级与量子霍尔效应本节要求 本节使学生掌握电子在均匀磁场作用下运动的规律，导体或半导体产生霍尔效应及量子霍尔效应的概况。重点难点 了解朗道能级的引入和朗道能级简并度的讨论。本节内容10.2.1. 电子在均匀磁场中的运动朗道能级考虑质量、荷电-e的电子在垂直于均匀磁场的平面内运动.选择z轴沿均匀磁场方向,即.显然,由不能唯一地决定矢量势.对目前的计算,很方便的一种可能的表示为 (1)荷电粒子的哈密顿算符为 (2)式中 (3)称为拉莫尔频率,的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的作用,而项为反磁项.由于粒子沿z轴方向自由运动, 因此采用柱坐标系,的本征方程为 (4)式中是二维拉普拉斯算符 (5)粒子的能量本征态可取为守恒量完全集的共同本征态,即, (6)代入方程(4),可求出径向方程 (7)令, (8)则上式化为 (9)显然,为方程的奇点,其中是方程的二阶正则极点.首先求奇点邻域方程(9)的渐近解.当时,方程(9) 的渐近形式为 (10)令,代入上式,得从而 (11)渐近解是物理上不允许的,应抛弃.只有与相应的渐近解才是物理上允许的.当时,方程(9) 的渐近形式为 (12)其解为,其中满足束缚态边界条件的解只能是.这样,让方程(9) 的解具有形式 (13)代入方程(9) ,得 (14)再令 (15)得 (16)这正是合流超几何方程.相应的参数为, (17)要求, (18)将式(9) 代入上式,得 (19)忽略z方向运动()之后, 能量是量子化的.相应的能量本征函数为 (20)式中为归一化系数. (21)容易看出, 所有的态所对应的能量都相同, 因而能级简并度为. 朗道能级的简并度还与规范选择无关.下面考察朗道规范 (22)此规范与式(1) 相比, 相当于作了一规范变换, 即 (23)在此规范下,电子的哈密顿算符为 (24)的本征函数是的共同本征态 (25)其中满足 (26)令 (27)式(26) 可化为 (28)上式描述的是一个平衡点在点的一维谐振子, 其本征值为与式(19) 一致, 相应本征函数为 (29)它依赖于n和,可以取中一切实数值, 但能级不依赖于,因而能级为无穷度简并. 当然, 这是电子只受磁场作用, 而无其它限制的情况. 如果电子局限在xy平面上有限区域面积S中运动, 其能级的简并度又如何呢? 不妨假设电子在x方向被限制在的范围内运动, 则的本征值不再是连续的, 而是取分立值 (30)平衡位置也取分立值 (31)两相邻平衡位置的间距为 (32)若电子在y方向被限制在的范围内运动, 由于边界条件改变了, 能量的本征值与本征函数也将发生改变, 但对y方向的长度 (33)这里是经典振子的运动范围, 可由振子总能量等于势能的条件得出, 那些离边界有n个的运动状态, 可以忽略边界的影响, 仍采用式(29) 和(30) 作为近似解. 此时y有界必导致只能取有限个数值, 其个数可近似为 (34)式中S=ab为xy平面上电子运动范围的面积.可取值的个数, 就是能级的简并度.10.2.2 电子在正交均匀磁场和电场中的二维运动朗道能带现讨论荷电粒子在均匀电场及均匀磁场作用下的二维运动. 令坐标原点处的标势,则标势和矢势可选取为 (35)体系的哈密顿算符为 (36)的本征函数可取为守恒量完全集的共同本征态, 即 (37)将上式代入式(37) 的本征方程, 可得 (38)式中 (39)方程(38) 与式(28) 形式上完全相同, 只不过谐振子的平衡位置从变成了.能量本征值为 (40)相应能量本征函数为 (41)在时, 能级(41) 的简并度由式(36) 给出, 等于可取值的个数, 那么当时, 由式(41) 可见, 每条朗道能级分裂为个分立能级, 构成一条能带, 称为朗道能带.10.2.3 霍尔效应及量子霍尔效应导体或半导体在纵向电场()和横向磁场()的作用下, 在垂直于它们的方向()上样品侧面出现异号电荷的堆积, 从而在该方向形成电压的现象, 称为霍尔效应. 它是美国约翰霍普金斯(John Hopkings) 大学的学生霍尔(Edwin Hall)于1879年把通电的金箔放入均匀磁场中研究电子输运性质时发现的. 如图10.2.1所示, 在与之间形成霍尔电压VH ，它与外电流I和外电场B成正比, 与样品厚度成反比, 即 (42)其中KH为霍尔系数.霍尔电压的出现容易用带电粒子在外磁场中所受洛伦兹力作用来解释. 考虑电子导电的半导体(n型半导体), 电子电荷为-e, 其定向运动的速度为,则在磁场中所受洛图10.2.1 霍尔效应伦兹力为 (43)在此力的作用下, 正、负电荷分别在y方向的两个侧面堆积, 并形成一附加电场, 它对荷电粒子的作用力与洛伦兹力相反,直到这些电荷所形成的大小为的附加电场对荷电粒子的作用力与洛伦兹力相抵消, 电流才达到稳定. 此时 (44)即 (45)样品中电流为,其中r为载流子浓度,s=bd为样品的横截面积. 把此电流代入上式, 得 (46)与实验比较, 得霍尔系数为 (47)霍尔电压与电流之比为霍尔电阻, 即 (48)以上是三维空间的情况, 对二维空间, 载流子浓度为单位面积的载流子数, 即,式中Ne 为二维样品中总的载流子数,A为样品的面积, 则只需在以上讨论中令,但固定即可. 这样, 二维霍尔电阻或霍尔电导与系统的尺度无关 (49)定义 (50)则式(49)可写成 (51)这里n为朗道能级的填充因子,称为磁长度, 在强磁场下, 它是系统的特征长度.从式(49) 可知, 霍尔电阻随外磁场增强而线性增大. 在霍尔发现霍尔效应一百年以后, 这一规律受到了动摇.1980年, 德国物理学家冯克利青(Von Klitzing) 等人发现在二维电子系统中的量子霍尔效应, 即在极低温度(1.5K) 和强磁场(18T) 的条件下, 霍尔电导呈现出一种宏观量子效应, 它以的整数倍跳跃式的变化, 即 (52)称为冯克利青常量. 它由普朗克常数和电子电量确定, 与样品材料及几何尺寸无关. 如图10.2.2所示,霍尔电阻的变化是量子化的, 呈现一系列平台, 在平台所在区域,不随磁场改变, 并保持为的整数倍, 但通常的欧姆电阻R变为零; 在两平台的跃变处, 欧姆电阻呈现峰形变化. 式(52) 的n取整数值, 因此上述效应称为整数量子霍尔效应. 冯克利青因发现这种新的宏观量子化现象而获1985年诺贝尔物理奖.1982年, 崔奇(D.C,Tsui)和斯托默(H.L.Strmer)在更强的磁场下发现式(52) 中的整数n还可以取某些有理分数, 即图10.2.2 二维电子气低温输运整体图象, 包括整数和分数量子霍尔效应 (53) 称为分数量子霍尔效应. 由于在最低朗道能级, 电子的动能被冻结, 系统的全部动力学性质都由电子之间的相互作用决定, 这是一个典型的强关联系统. 这个实验发现引起了理论物理学家的极大兴趣.Laughlin(R.B.Laughlin)在实验发现的第二年提出了分数量子霍尔效应的基态波函数, 为以后进一步的理论研究提供了坚实的基础. 崔琦 、斯托默和Laughlin因对分数量子霍尔效应的发现和理论解释的贡献, 而荣赝1998年的诺贝尔物理奖. 量子霍尔效应, 特别是分数量子霍尔效应发现之来, 一系列实验和理论的新发现, 不断给人们带来激动人心的欣喜, 同时相关的实验和理论工作仍在进展之中.10.3阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应本节要求 本节使学生了解阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应及其实验内容。重点难点 掌握对阿哈罗诺夫玻姆（AB）效应的分析。本节内容在考虑带电粒子在电磁场中的运动时, 常常会出现两个值得深思的问题: 一是在经典电动力学中, 描述电磁场的基本物理量是电场强度和磁感应强度,它们出现在荷电粒子的基本动力学方程中,而引入矢势和标势只是为了计算方便, 对给定的电磁场和并不能唯一确定. 与经典电动力学不同,在量子力学中,描述荷电粒子在电磁场中的动力学方程中会出现粒子所在地域的矢势和标势,那么和是否存在可观测的物理效应呢? 二是确定体系状态的波函数只能准确到一个位相因子, 即和(a为实数) 描述体系的同一状态, 那么波函数中的相位是否真的无关紧要呢? 阿哈罗诺夫和玻姆(Y.Aharonov,D.Bohm,1959) 首先预言在电磁场强度为零, 但矢势和标势不为零的区域中运动的两束相干的荷电粒子, 波函数会发生不同的相位变化, 因而, 当两束粒子重新会聚后, 就会出现干涉现象. 不久, 钱伯斯(R.G.Chambers,1960) 果然在实验中观察到了这种干涉现象. 后来人们称之为AB效应, 并从量子力学理论本身的自洽性论证了AB效应的正确性.SP12C1C2图 10.3.1 AB效应实验装置 钱伯斯实验装置如图10.3.1所示, 与电子的双缝衍射实验装置相似, 不同点在于紧靠双缝的暗角处放置一个垂直于纸面的细长螺线管(图中圆形区域). 当螺线管不通电时, 在屏幕上可观察到电子双缝衍射花样. 当螺线管通电后, 发现在花样包络不变的条件下, 干涉极大值与极小值的位置发生了移动. 在螺线管不通电的情况下, 电子的薛定谔方程为 (1)自由电子的波函数由平面波描述 (2)在屏幕上P点的几率幅为 (3)式中和分别表示螺线管不通电时, 电子通过缝1的路径c1 及其邻域各路径到达P点的几率幅与电子通过缝2的路径c2 及其邻域各路径到达P点的几率幅.当螺线管通电时, 管内的,管外的,但对于管外环绕螺线管的闭合回路c (如路径c2 与c1 反方向的路径所构成的回路), 有,可见管外的.此时的薛定谔方程为 (4)令 (5)若能求出,与式(2) 相比较, 即可知干涉条纹是否会发生移动. 将式(5) 代入式(4), 得 (6)利用代入式(6) 后, 减去与式(1) 之积, 可得 (7)显然, 若 (8)则式(7) 两项均为零, 薛定谔方程(4) 得到满足. 将代入式(8), 移项后两边同除,得 (9)用微元路径点乘上式, 可得的全微分即 (10)两边沿S到P的任一路径积分, 并记,可得 (11)将上式代入式(5), 即得 (12)可见, 螺线管通电时电子的波函数比螺线管不通电时多了一个附加相位因子.螺线管通电后在屏P点的几率幅为(13)当计算几率密度时, 上式方括号外的相因子的模为1, 因而没有可观察的物理效应, 不予考虑. 而由与构成一个闭合回路,容易得出, 通过螺线管的磁通为 (14)式中S是以c为边界的任意曲面. 因此, 在有磁场的情况下, 通过两条路径的电子的波函数有一个相差 (15)这导致极大值与极小值将发生一个平移, 但这个相因子不会改变单缝衍射的强度分布, 故花样的包络保持不变. 随磁通F的变化, 相差（因而干涉条纹）, 也随之而变化.；磁通变化的周期为.这己在实验中观察到, 称为AB振荡.10.4超导现象本节要求 本节使学生掌握超导现象并能对超导现象给予合理的解释。重点难点 理解超导体的唯象描述以及对超导现象的解释。本节内容10.4.1基本实验事实(1) 零电阻性. 1911年, 昂纳斯(H.K.Ones) 发现金属汞的电阻在低温()下突然下降到零, 从而揭示出物质的另一种状态超导态. 后来在许多金属或合金中都发现, 当温度低于某临界温度Tc 之后, 都有类似的超导现象发生, 但不同的超导材料, 临界温度有所不同.(2) 临界磁场和临界电流. 1914年昂纳斯又发现, 将超导体置于磁场内, 当磁场增大到某一临界值Hc 时, 超导体又从超导态转变为正常态, 并且临界磁场Hc与温度T的经验关系为 (1)T图10.4.1 H-T平面中的相图HC(T)正常态超导态如图10.4.1所示为 Hc(T) 的函数曲线，曲线上方的区域是正常态, 曲线下方的区域为超导态. (a) 正常态(b) 超导态(c) 移去外磁场后图10.4.2 超导圆筒中的磁通俘(3) 完全抗磁性(迈斯纳效应). 1933年迈斯纳发现, 只要,超导体内部的磁感应强度,且与降温及加入磁场的次序无关. 也就是说, 若超导材料已处于超导态, 当加入外磁场, 且,则不进入超导体内部; 若处于正常态的超导材料置于的磁场中, 当温度下降使之处于超导态时, 必然会从超导体内部排 出. (4) 磁通量子化. 1950年伦敦(F.London)从理论上预言磁通是量子化的. 1961年得到笛佛和费尔班克(B.S.Deaver, W.M.Fairbank)的实验证实. 这个实验是这样的: 如图7.4.2所示. 将处于正常态的金属园筒置于磁场中(图10.4.2(a). 然后, 将温度降到临界温度之下, 使金属园筒处于超导态(图10.4.2(b). 由于超导体完全抗磁性, 此时磁场完全排斥在园筒之外, 但磁场仍存在于园筒内外的空间中. 最后, 撤去外磁场, 发现筒内空间仍存在磁场, 并且筒内的磁通量是的整数倍(图10.4.2(c).10.4.2唯象描述超导体中的电子在晶格中运动时, 由于它与组成晶格的正离子发生库仑吸引作用, 导致原来整齐排列的晶格点阵带来一个扰动, 使点阵局部发生畸变, 这种扰动会象波动一样传播而吸引另一个电子. 于是, 这两个电子就会通过点阵的振动而耦合起来. 如果电子与晶格的作用足够强, 使电子间通过晶格的间接吸引作用大于电子间的库仑排斥作用, 则在两个电子间会产生一种净吸引力, 导致两个电子形成一个束缚态, 结合成一个电子对, 称为库柏对. 库柏对是由一对自旋方向相反的两个费米子结合成的一个复合玻色子, 因不受泡利不相容原理的限制, 超导体中大量的库柏对便进入能量最低的状态, 从而使超导体进入超导态, 其基态能量很低, 在其电子激发谱中出现能隙(数量级为eV), 即拆散库柏对至少要给每个电子的阈值才有可能. 正常态靠自由电子导电, 自由电子容易与晶格碰撞而激发, 从而形成电阻. 超导态靠库柏对导电, 很难使库柏对受到激发, 故不表现出电阻. 当然, 由于库柏对的结合能很小(净吸引力很弱), 当温度满足时, 热运动将会使库柏对拆散, 而当时, 热运动不会破坏库柏对, 因而就是超导体的临界温度.为简单起见, 设在超导体中所有的电子均己配对, 并处于同一状态y.这样, 库柏对的密度,因而超导态的波函数y可表示为 (2)式中r和S均为实数. 把式(2) 代入有电磁场情况下的薛定谔方程 (3)式中m和q分别为库柏对的质量和电荷, 即,.令方程两边实部和虚部分别相等, 得 (4) (5)式中为库柏对的几率流密度 (6)称为London方程。在超导体内部, 由于电子间的静电斥力, 库柏对近似均匀分布, r常数, 式(5) 的最后一项可以略去(但在两个超导体连接的界面上, r的不均性可能很重要, 需要加以考虑), (7)取梯度, 利用式(6), 得 (8)利用式(8) 化为 (9)按式(6), 有以及矢量衡等式式(9) 可化为 (10)这正是“电子对”在电磁场中的运动方程.10.4.3对超导现象的解释(1) 完全抗磁性(迈斯纳效应). 用伦敦方程(6) 代入麦克斯韦方程 (11)并取旋度, 利用得 (12)对于稳恒情况, 有 (13)设超导体占满z0的上半空间, 且,则上式可化为 (14)其解可表为,但物理上可接受的解只能为 (15)可见,l 表征磁场透入超导体的特征深度. 随透入超导体内部(z0)的深度,B(z) 显指数衰减. 设金属中单位体积内自由电子的数目为N, 则r=N/2, 又q=-2e,m=2me,利用mec2=es2/rc,rc=2.810-13cm是经典电子半径, 可估算出 (16)对金属铅, 可估算出.(2) 磁通量子化. 在超导体内不能建立起电场, 即.设G表示超导体内部绕筒内壁的一条封闭曲线, 以G为周边的曲面记为S, 通过S的磁通量F是不会随时间改变的, 因为 (17)下面计算通过超导环面的磁通F.考虑到超导体内部(表面薄层除外), 对稳恒情况,按式(11), 可得 (18)即在超导体内电流为零. 按伦敦方程(6), 得 (19)因此 (20)利用斯托克斯(Stokes) 定理, 上式右边积分化为 (21)而式(20) 的左边是对回路G积分一圈, 回到空间原点,按波函数(2) 的周期性条件, 得 (22)将式(21) 和(22) 代入式(20), 可得 (23)即通过超导环面内的磁通为F0 的整数倍, 可见超导环内的磁通是量子化的, 磁通量的量子为 (24)从1911年超导现象的发现到1957年BCS理论的建立, 人类对超导电性作了基本的探索和认识. 近30年的几个重大发现(第二类超导体、约瑟夫森效应、高温超导现象) 才为超导技术的应用奠定了基础.本章训练本章习题1. 证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： （1） （2） （3）答：根据正则方程组：，同理 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： = （4）正则动量与梯度算符相对应，即，因此 又仅与点的座标有关 （因） （6分）其余二式依轮换对称写出。2. 利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）答：设磁场沿Z轴方向，矢势的一种可能情形是 （3分）在本题的情形，哈密顿算符是：（前题） （2分）速度算符间的对易式是： （3分）根据（），分别和，对易，因此与对易，而： 与 （2分）有共同的本征函数，的本征值是本征值之和。 (5分)但，这和有心力势场一样是完全集合，（6）式是一个平面谐振子（二维）的能量算符和一个角动量分量算符之和，按7.2和前一章的第（15）题，（6）式中的本征值是 （7） （3分）又这个能量算符的本征值是可以连续取值的，它和沿z轴作自由运动的粒子的动能算符一样，因而有：但取间任何值，E是连续谱。 （2分）3. 若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。（22分）答：设粒子的柱座标是，取矢势的柱座标的分量度为 柱座标的梯度算符证明为以下形式 （1）式中的是一点上沿等势面作出的单位矢量，但和直角坐标的单位矢量不同，方向随着点变化，而且它们对的导数也 不是零，能证明： ， 参看附图计算哈氏算符：（要计及单位矢导数） (2) 观察（2）知道 =0， =0 ,但 =，=，因此，有共同本征函数，取（，）完全集合表示态，而波函数可含有，的本征函数作为其因式= （3） 但m=0, k=任何值。将（3）代入的本征方程式： (4)在消去与和z有关系的公因式后得 （5） 令 作自变量变换，则有： 代入（5）得 （6）式中 （7） 其次求（6）的关于奇点上的近似解 时，（6）成为：渐近解时，（6）成为：渐近解，所以方程式（6）的特解可假设为：（8） 将（8）代入（6）后得关于的微分方程：（9） 这属于合流超几级数，后者的一般形式是： （10） 后者的解是合流超几级数；它表示为： （11） 由于对比系数知道（9）的解是 （12） 但从收敛的性质说，合流超几何级数的邻项比是（取极限），这和已知函数邻项比极限相同。 不适宜作为波函数，因此，若取（12）作为满足标准条件的解，级数需要中断，若（12）作为多项式最高幂n，则项的系数为零， 要求 +n=0即 （13） 从（7）知道，这条件是： 解出E，得到 （14） 此式第一项与有关是沿纵方向（z轴）运动的能量，无磁场亦存在后项是磁场引起的。4. 设带电粒子在相互垂直的均匀电场及均匀磁场中运动, 求其能谱及波函数。（20分）答: 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使 设电场的大小是,选择标势，使场沿着x轴， 哈密顿算符是：（1） 中不出现y和z，因此 可以依照本章中7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法，先求能量本征函数，由于，守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子： （2） 代入能量本征方程式： 整理，并约去同因式后，得到X（x）的本征方程 （3） 或者简写作式中 ， 方程式（3）明显的是一个沿x方向振动的谐振子的薛定谔态方程式，它的固有频率是，振动中心在一点上，同时具有能量本征值： 其中是有关于y、z方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是 (4) 它的本征函数写作 （5） 这外个运动点电荷的总能量E是： （6）5. 设带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场中运动, 求能谱公式。（20分）答: 本题采用柱面座标时，可以像第4题那样，将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量本征值，解法也类似。 粒子座标为 令 此外应将谐振子的弹性力场写成柱面形成： 根据本章习题4中合 算符公式（2）再添上前述附加项： （1） 哈氏算符的两面部分与有关，第二部分与z有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分： （2）得到：（ 3） （3）式左方的哈氏算符可以和对易，因此可以和这个算符的本征函数有共同因式可设 但将（4）代入（3）得： 整理后写成： (5) 这个方程式和第4题的方程式（5）是相似的，其中，本题方程式（5）的相当于第4题（5）式的得，此外（5）式多出一项 这是谐振紫弹性力场势能，第四题的径向方程式是： 通过交换，得到合流超几何方程式（从略）以及能级公式 (6) 式子的第一项是z方向运动的能量，第二项代表与有关横向能量，它与 成正比，将（5）与比较，令 得到本题的能级如下： (7) 这各能量公式的第一项是z向运动的方程式的决定的一维谐振自的能级，在公式（7）中 本章自测一、单项选择题（共5题，每题4分）1、正则动量和机械动量的关系是（B） A. B.C. D.2、关于霍尔电压，下列描述正确的是（B）A. 与外电流成正比，与外电场成反比 B. 与外电流和外电场成正比 C. 与外电流成反比，与外电场成正比 D. 与外电流和外电场成反比 3、关于超导体的特性，正确的是（D）A. 零电阻性 B. 完全抗磁性 C. 磁通量子化 D.以上均正确4、超导体完全抗磁性的描述，下列选项错误的是（A）A. 当,超导体内部的磁感应强度与降温及加入磁场次序有关.B. 当,超导体内部的磁感应强度。 C.超导材料已处于超导态, 当加入外磁场, 且,则不进入超导体内部。D. 若处于正常态的超导材料置于的磁场中, 当温度下降使之处于超导态时,必然会从超导体内部排出. 5、质量为，电荷为q的粒子，在沿在轴方向的均匀磁场作用下，在平面内运动。定义“轨道中心算符”，其中，下列说法正确的是（C） A. 和均为守恒量，和对易 B. 和不为守恒量，和对易 C. 和均为守恒量，和不对易 D. 和均为守恒量，和不对易二、判断题（共5题，每题4分） 1、在规范变换下，正则动量算符和机械动量算符具有不变性。（错） 2、库柏对满足泡利不相容原理。 （错） 3、在规范变换下，几率密度保持不变。 （对） 4、霍尔电阻的变化是量子化的。 （对） 5、朗道能级的简并度与规范选择有关。 （错）三、回答问题（或计算题）（共5题，第5题20分，其余每题10分）1、AB效应实验装置与电子的衍射实验装置有什么不同？答案： AB效应实验装置与电子的衍射实验装置相似，不同点在于紧靠双缝的暗角处放置一个垂直于纸面的细长螺线管。当螺线管不通电时，在屏幕上可观察