全等证明题练习(含答案).doc

全等证明题练习1、（1）如图，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的ADE绕点A顺时针旋转角（090），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE90解：（1）结论：BD=CE，BDCE；结论：BD=CE，BDCE1分理由如下：BAC=DAE=90BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE1分在ABD与ACE中，ABDACE（SAS）BD=CE1分延长BD交AC于F，交CE于H在ABF与HCF中，ABF=HCF，AFB=HFCCHF=BAF=90BDCE3分（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=902分2、如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：在图中，BD与CE的数量关系是；在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；解：（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC，DAE=BAC，CAE=BAD，在BAD和CAE中CAEBAD（SAS），ACE=ABD，DM=BD，EN=CE，BM=CN，在ABM和ACN中，ABMACN（SAS），AM=AN，BAM=CAN，即MAN=BAC；3、CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件+BCA=180，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）解：（1）BCA=90，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180证明：在BCE中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF4、（1）已知：如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60，求证：AC=BD；APB=60度；（2）如图，在AOB和COD中，若OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为AC=BD；APB的大小为； 解：（1）AOB=COD=60，AOB+BOC=COD+BOC即：AOC=BOD又OA=OB，OC=OD，AOCBODAC=BD由得：OAC=OBD，AEO=PEB，APB=180（BEP+OBD），AOB=180（OAC+AEO），APB=AOB=60（2）AC=BD，5、如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由证明：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFBD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90度BAC=90，DAF=BAC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90度即CFBD（2）当ACB=45时，CFBD（如图）理由：过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即CFBC6、已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系（1）证明：菱形AFED， AF=AD，ABC是等边三角形， AB=AC=BC，BAC=60=DAF，BACDAC=DAFDAC， 即BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF， CF=BD，CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即BD=CF，AC=CF+CD（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CFCD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60，BAC+DAC=DAF+DAC， 即BAD=CAF，在BAD和CAF中， BADCAF，BD=CF，CFCD=BDCD=BC=AC，即AC=CFCD（3）AC=CDCF理由是：BAC=DAF=60， DAB=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），CF=BD，CDCF=CDBD=BC=AC，即AC=CDCF7、（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90， BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=， DBA+BAD=BAD+CAE=180， CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等边三角形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形， ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF， DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF为等边三角形8、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明解：（1）ABC是等腰直角三角形理由如下：在ADC与BEC中，AD=BE，D=E=90，DC=EC，ADCBEC（SAS），AC=BC，DCA=ECBAB=2AD=DE，DC=CE，AD=DC，DCA=45，ECB=45，ACB=180DCAECB=90ABC是等腰直角三角形（2）DE=AD+BE理由如下：在ACD与CBE中，ACD=CBE=90BCE，ADC=BEC=90，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE（3）DE=BEAD理由如下：在ACD与CBE中，ACD=CBE=90BCE，ADC=BEC=90，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDCCE=BEAD，即DE=BEAD9、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数解：（1）CMQ=60不变等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60又由条件得AP=BQ，ABQCAP（SAS），BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4t当PQB=90时，B=60，PB=2BQ，得4t=2t，t=；当BPQ=90时，B=60，BQ=2BP，得t=2（4t），t=；当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形（3）CMQ=120不变在等边三角形中，BC=AC，B=CAP=60PBC=ACQ=120，又由条件得BP=CQ，PBCQCA（SAS）BPC=MQC又PCB=MCQ，CMQ=PBC=18060=12010、问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180， B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD， GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中， AEFGAF（SAS），EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=70，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（9030）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5（60+80）=210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里11、（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为60；线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由解：（1）ACB=DCE，DCB=DCB，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，CEB=ADC=180CDE=120，AEB=CEBCED=60；（2）AEB=90，AE=BE+2CM，理由：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，ADC=BECDCE为等腰直角三角形，CDE=CED=45，点A、D、E在同一直线上，ADC=135BEC=135，AEB=BECCED=90CD=CE，CMDE，DM=MEDCE=90，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM12、在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE=90，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明题干引论：证明：如答图1，过点D作DFMN，交AB于点F，则ADF为等腰直角三角形，DA=DF1+FDP=90，FDP+2=90，1=2在BDF与PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（1）答：BD=DP成立证明：如答图2，过点D作DFMN，交AB的延长线于点F，则ADF为等腰直角三角形，DA=DF1+ADB=90，ADB+2=90，1=2在BDF与PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（2）答：BD=DP证明：如答图3，过点D作DFMN，交AB的延长线于点F，则ADF为等腰直角三角形，DA=DF在BDF与PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP13、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且060，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60180，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由（1）证明：连接BF（如图），ABCDBE（已知），BC=BE，AC=DEACB=DEB=90，BCF=BEF=90BF=BF，RtBFCRtBFECF=EF又AF+CF=AC，AF+EF=DE（2）解：画出正确图形如图（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）不成立证明：连接BF，ABCDBE，BC=BE，ACB=DEB=90，BCF和BEF是直角三角形，在RtBCF和RtBEF中，BCFBEF（HL），CF=EF；ABCDBE，AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF 14、已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC过C作CGEF交AD的延长线于点GCGEF，可得，EFDCGD； DEDC； FDEGDC（对顶角） EFDCGD EFCG CGDEFD又，EFAB ，EFD11=2CGD2 AGC为等腰三角形，ACCG 又 EFCGEFAC15、已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CA证明：延长AB取点E，使AEAC，连接DEAD平分BAC EADCAD AEAC，ADADAEDACD （SAS） ECACAB+BD AEAB+BDAEAB+BE BDBE BDEEABCE+BDE ABC2EABC2C 16、已知ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角CABC=3CABD=ABC-DBC=3C-C=2C；ADB=C+DBC=2C; AB=ADAC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，AE垂直BD BEAE点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD点E也是BD的中点BD=2BE BD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=AB ABMNAC AM=AN（2） ABMNAC BAM=N N+BAN=90 BAM+BAN=90 即MAN=90 AMAN18、如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。19、ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。（方法一）证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。（方法二）如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。（方法五）如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。20、如图，四边形ABCD中，ADBC，DCB=45，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF求证：CF=AB+AF证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，BDCD，BECE，EBF+EFB=90，DFC+DCF=90，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=CH，ABDHCD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45，HDC=45，HDB=BDCHDC=45，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF21、如图，在四边形ABCD中，ADBC，A90，ABAD，DECD交AB于E，DF平分CDE交BC于F，连接EF证明：CFEF解：过D作DGBC于G由已知可得四边形ABGD为正方形，DEDC ADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A=DGC且AD=GD，ADEGDC，DE=DC且AE=GC在EDF和CDF中EDF=CDF，DE=DC，DF为公共边，EDFCDF，EF=CF22、已知：在ABC中，A=900，AB=AC，D是AC的中点，AEBD，AE延长线交BC于F，求证：ADB=FDC。 证明：过点C作CGCA交AF延长线于GG+GAC=90又AEBDBDA+GAC=90综合，G=BDA在BDA与AGC中，G=BDABAD=ACG=90 BA=CABDAAGCDA=GCD是AC中点，DA=CDGC=CD由1=45，ACG=90，故2=45=1在GCF与DCF中， GC=CD2=45=1 CF=CFGCFDCF G=FDC,又G=BDAADB=FDC23、如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，ABC是等边三角形，BCD=30，ABD=ACD=90，DB=DC，CE=BM，DCEBMD，MDN=NDE=60DM=DE（上面已经全等）DN=ND（公共边）DMNDENBM+CN=NM24、如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；证明：AC=BC，ACB=90CAB=ABC=45CAD=CBD=15，BAD=ABD=30AD=BD在DE上截取DM=DC，连接CM，AD=BD，AC=BC，DC=DC，ACDBCDACD=BCD=45CAD=15，EDC=60DM=DC，CMD是等边三角形CDA=CME=120CE=CA，E=CADCADCEMME=ADDA+DC=ME+MD=DE即AD+CD=DE25、如图，已知P为AOB的平分线OP上一点，PCOA于C，PA=PB，求证AO+BO=2CO 证明：过点P作PQOB于Q，则PQB=90OP平分AOB，且PCOA，PQOBPC=PQ在RtPOC与RtPOQ中，PC=PQPO=PORtPOCRtPOQ（HL）OC=OQ2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在RtPCA与RtPQB中，PC=PQPA=PBRtPCARtPQB（HL）CA=QB又2OC=OC+OB+BQ2OC=OC+OB+CA=OA+OB26、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PAPF 27、ABC中，ABC45，AHBC于点H，将AHC绕点H逆时针旋转90后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH如图1，当BAC为锐角时，求证：BEAC； 求BEH的度数；（1）证明：AHBC于点H，ABC45，ABH为等腰直角三角形，AHBH，BAH45，AHC绕点H逆时针旋转90得BHD，BHDAHC，121分1C90，2C90，BEC90，即BEAC2分如图12，过点H作HFHE交BE于F点，FHE90，即4590又35AHB90，34在AHE和BHF中，图12AHEBHF，3分EHFHFHE90，FHE是等腰直角三角形，BEH454分 28、 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=80，A+C=180，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系；图1图2（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋，与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是；解：（1）1延长DA到点E，使AE=CN，连接BEBAD+C=180EAB=C又AB=BC，AE=CN，ABECBNEBA=CBN，BE=BN2EBN=ABCABC=80，MBN=40，EBM=NBM=40BM=BM，EBMNBMEM=NM3MN=AM+CN4（2）5MNAM+CN629、在ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD（1）如图1，当BAC=100，时，CBD 的大小为_；（2）如图2，当BAC=100，时，求CBD的大小；解：（1）30； 1分 （2）如图作等边AFC，连结DF、BFAF=FC=AC， FAC=AFC=60.BAC=100，AB=AC，ABC=BCA =40.ACD=20，DCB=20.DCB=FCB=20. AC=CD，AC=FC，DC=FC. BC=BC，由，得 DCBFCB，DB=BF， DBC=FBC.BAC=100， FAC=60，BAF=40.ACD=20，AC=CD，CAD=80.DAF=20.BAD=FAD=20. AB=AC， AC=AF，AB= AF. AD= AD，由，得 DABDAF.FD= BD.FD= BD=FB.DBF=60.CBD=30. 4分30、已知：如图，中，（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图，在四边形ABCD中，ACB=CAD=180，B=D， 求证：CD=AB解：（1）过点N在MN的同侧作MNR =QMN，在NR上截取NP=MQ，连结MP即为所求 （2）证明：延长BC到点E，使CE=AD，连结AE， 又AD = CE，AC = CA， D=E，CD=AE B=D ，B=EAE =AB CD=AB 31、在等腰三角形ABC中， AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与C相等，得到线段PD，连接DB（1）当C=90时，请你在图1中补全图形，并直接写出DBA的度数；（2）如图2，若C=，求DBA的度数（用含的代数式表示）；（1）如图，补全图1 DBA= （2）过点P作PEAC交AB于点E AC=BC， 又， ， ，= . 32、如图，等边ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且EDF=120.（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.解：（1）相等. （2）思路：延长FD至G，使得GD=DF，连接GE，GB.证明FCDGBD，GED为等边三角形，GED为所求三角形.最大角为GBE=120. （3）过D作DM，DN分别垂直AB，AC于M，N.DMB=DNC=DMA=DNA=90.又DB=DC，B=C，DBMDCN.DM=DN.A=60，EDF=120，AED+AFD=180.MED=AFD.DEMDFN.ME=NF.AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN=. 33、在等腰ABC中，（1） 如图1，若ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则BDE的度数为_；（2） 若ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60得到线段DE，连接BE.根据题意在图2中补全图形；小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明ADCAEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DFAB，交AC于F，证明ADFDEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明ADCDEG；请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）解：（1）30； （2）思路1：如图，连接AE. 思路2：过点D作DFAB，交AC于F.思路3：延长CB至G，使BG=CD. 34、在ABC中，AB=BC，B=90，点D为直线BC上一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90，使点A旋转到点E，连结EC.（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：依题意补全图1；求证：BAD=EDC通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有DCE=135.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证DCE =135，只需证ADFDEC.想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F. 要证DCE=135，只需证AFDECD.想法三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证DCE=135，只需证EF=CF.请你参考上面的想法，证明DCE=135.（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出DCE的度数；如果不是，说明你的理由.（1）补全图形 （2）证明：B=90 BAD+BDA=90 ADE=90，点D在线段BC上 BAD+EDC=90 BAD=EDC 证法1：在AB上取点F，使得BF=BD，连结DF BF=BD，B=90 BFD=45 AFD=135 BA=BC AF=CD 在ADF和DEC中 ADFDEC DCE=AFD=135 证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连结DF DC=DF DFC=DCF AB=BC B=90 ACB=45 DFC=45 FDC=90 AFD=135 ADE=FDC=90 ADF=EDC 又AD=DE DF=DC ADFCDE AFD=DCE=135 证法3：过点E作EFBC交BC延长线于点F EFD=90 B=90， EFD=B BAD=CDE，AD=DE ABDDEF AB=DF BD=EF AB=BC BC=DF，BC-DC=DF-DC 即BD=CF EF=CF EFC=90 ECF=45，DCE=135 （2） DCE=45 35、在ABC中，AB=AC，A=60，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120，与直线AC交于点F（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由BAC与EDF互补，可得AED与AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高