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文档简介
全等证明题练习1、(1)如图,在ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=90当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;将图1中的ADE绕点A顺时针旋转角(090),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由(2)当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由甲:AB:AC=AD:AE=1,BAC=DAE90;乙:AB:AC=AD:AE1,BAC=DAE=90;丙:AB:AC=AD:AE1,BAC=DAE90解:(1)结论:BD=CE,BDCE;结论:BD=CE,BDCE1分理由如下:BAC=DAE=90BACDAC=DAEDAC,即BAD=CAE1分在ABD与ACE中,ABDACE(SAS)BD=CE1分延长BD交AC于F,交CE于H在ABF与HCF中,ABF=HCF,AFB=HFCCHF=BAF=90BDCE3分(2)结论:乙AB:AC=AD:AE,BAC=DAE=902分2、如图所示,在ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DEBC,如图,然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:在图中,BD与CE的数量关系是;在图中,猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系,并证明你的猜想;解:(1)BD=CE;AM=AN,MAN=BAC,DAE=BAC,CAE=BAD,在BAD和CAE中CAEBAD(SAS),ACE=ABD,DM=BD,EN=CE,BM=CN,在ABM和ACN中,ABMACN(SAS),AM=AN,BAM=CAN,即MAN=BAC;3、CD经过BCA顶点C的一条直线,CA=CBE,F分别是直线CD上两点,且BEC=CFA=(1)若直线CD经过BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:如图1,若BCA=90,=90,则BE=CF;EF=|BEAF|(填“”,“”或“=”);如图2,若0BCA180,请添加一个关于与BCA关系的条件+BCA=180,使中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立(2)如图3,若直线CD经过BCA的外部,=BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)解:(1)BCA=90,=90,BCE+CBE=90,BCE+ACF=90,CBE=ACF,CA=CB,BEC=CFA;BCECAF,BE=CF;EF=|BEAF|所填的条件是:+BCA=180证明:在BCE中,CBE+BCE=180BEC=180BCA=180,CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA,CBE=ACF,又BC=CA,BEC=CFA,BCECAF(AAS)BE=CF,CE=AF,又EF=CFCE,EF=|BEAF|(2)EF=BE+AF4、(1)已知:如图,在AOB和COD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=60,求证:AC=BD;APB=60度;(2)如图,在AOB和COD中,若OA=OB,OC=OD,AOB=COD=,则AC与BD间的等量关系式为AC=BD;APB的大小为; 解:(1)AOB=COD=60,AOB+BOC=COD+BOC即:AOC=BOD又OA=OB,OC=OD,AOCBODAC=BD由得:OAC=OBD,AEO=PEB,APB=180(BEP+OBD),AOB=180(OAC+AEO),APB=AOB=60(2)AC=BD,5、如图1,在ABC中,ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF(1)如果AB=AC,BAC=90,当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直,线段CF、BD的数量关系为相等;当点D在线段BC的延长线上时,如图3,中的结论是否仍然成立,并说明理由;(2)如果ABAC,BAC是锐角,点D在线段BC上,当ACB满足什么条件时,CFBC(点C、F不重合),并说明理由证明:(1)正方形ADEF中,AD=AF,BAC=DAF=90,BAD=CAF,又AB=AC,DABFAC,CF=BD,B=ACF,ACB+ACF=90,即CFBD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF,DAF=90度BAC=90,DAF=BAC,DAB=FAC,又AB=AC,DABFAC,CF=BD,ACF=ABDBAC=90,AB=AC,ABC=45,ACF=45,BCF=ACB+ACF=90度即CFBD(2)当ACB=45时,CFBD(如图)理由:过点A作AGAC交CB的延长线于点G,则GAC=90,ACB=45,AGC=90ACB,AGC=9045=45,ACB=AGC=45,AC=AG,DAG=FAC(同角的余角相等),AD=AF,GADCAF,ACF=AGC=45,BCF=ACB+ACF=45+45=90,即CFBC6、已知ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使DAF=60,连接CF(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:BD=CF;AC=CF+CD;(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系(1)证明:菱形AFED, AF=AD,ABC是等边三角形, AB=AC=BC,BAC=60=DAF,BACDAC=DAFDAC, 即BAD=CAF,在BAD和CAF中,BADCAF, CF=BD,CF+CD=BD+CD=BC=AC, 即BD=CF,AC=CF+CD(2)解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CFCD,理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,BAC=DAF=60,BAC+DAC=DAF+DAC, 即BAD=CAF,在BAD和CAF中, BADCAF,BD=CF,CFCD=BDCD=BC=AC,即AC=CFCD(3)AC=CDCF理由是:BAC=DAF=60, DAB=CAF,在BAD和CAF中,BADCAF(SAS),CF=BD,CDCF=CDBD=BC=AC,即AC=CDCF7、(1)如图(1),已知:在ABC中,BAC=90,AB=AC,直线m经过点A,BD直线m,CE直线m,垂足分别为点D、E证明:DE=BD+CE(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为BAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若BDA=AEC=BAC,试判断DEF的形状证明:(1)BD直线m,CE直线m,BDA=CEA=90, BAC=90,BAD+CAE=90,BAD+ABD=90,CAE=ABD,在ADB和CEA中,ADBCEA(AAS),AE=BD,AD=CE, DE=AE+AD=BD+CE;(2)成立BDA=BAC=, DBA+BAD=BAD+CAE=180, CAE=ABD,在ADB和CEA中,ADBCEA(AAS),AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;(3)DEF是等边三角形由(2)知,ADBCEA,BD=AE,DBA=CAE,ABF和ACF均为等边三角形, ABF=CAF=60,DBA+ABF=CAE+CAF, DBF=FAE,BF=AF在DBF和EAF中,DBFEAF(SAS),DF=EF,BFD=AFE,DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60,DEF为等边三角形8、如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD(1)判断ABC的形状,并说明理由;(2)保持图1中ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;(3)保持图2中ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧)试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明解:(1)ABC是等腰直角三角形理由如下:在ADC与BEC中,AD=BE,D=E=90,DC=EC,ADCBEC(SAS),AC=BC,DCA=ECBAB=2AD=DE,DC=CE,AD=DC,DCA=45,ECB=45,ACB=180DCAECB=90ABC是等腰直角三角形(2)DE=AD+BE理由如下:在ACD与CBE中,ACD=CBE=90BCE,ADC=BEC=90,AC=BC,ACDCBE(AAS),AD=CE,DC=EBDC+CE=BE+AD,即DE=AD+BE(3)DE=BEAD理由如下:在ACD与CBE中,ACD=CBE=90BCE,ADC=BEC=90,AC=BC,ACDCBE(AAS),AD=CE,DC=EBDCCE=BEAD,即DE=BEAD9、如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;(2)何时PBQ是直角三角形?(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数解:(1)CMQ=60不变等边三角形中,AB=AC,B=CAP=60又由条件得AP=BQ,ABQCAP(SAS),BAQ=ACP,CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60(2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4t当PQB=90时,B=60,PB=2BQ,得4t=2t,t=;当BPQ=90时,B=60,BQ=2BP,得t=2(4t),t=;当第秒或第秒时,PBQ为直角三角形(3)CMQ=120不变在等边三角形中,BC=AC,B=CAP=60PBC=ACQ=120,又由条件得BP=CQ,PBCQCA(SAS)BPC=MQC又PCB=MCQ,CMQ=PBC=18060=12010、问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=120,B=ADC=90E,F分别是BC,CD上的点且EAF=60探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G使DG=BE连结AG,先证明ABEADG,再证明AEFAGF,可得出结论,他的结论应是EF=BE+DF;探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180E,F分别是BC,CD上的点,且EAF=BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用: 如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离解:问题背景:EF=BE+DF;探索延伸:EF=BE+DF仍然成立证明如下:如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,B+ADC=180,ADC+ADG=180, B=ADG,在ABE和ADG中,ABEADG(SAS),AE=AG,BAE=DAG,EAF=BAD, GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF,EAF=GAF,在AEF和GAF中, AEFGAF(SAS),EF=FG,FG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF;实际应用:如图,连接EF,延长AE、BF相交于点C,AOB=30+90+(9070)=140,EOF=70,EOF=AOB,又OA=OB,OAC+OBC=(9030)+(70+50)=180,符合探索延伸中的条件,结论EF=AE+BF成立,即EF=1.5(60+80)=210海里答:此时两舰艇之间的距离是210海里11、(1)问题发现如图1,ACB和DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE填空:AEB的度数为60;线段AD,BE之间的数量关系为AD=BE(2)拓展探究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点A,D,E在同一直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE,请判断AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由解:(1)ACB=DCE,DCB=DCB,ACD=BCE,在ACD和BCE中,ACDBCE(SAS),AD=BE,CEB=ADC=180CDE=120,AEB=CEBCED=60;(2)AEB=90,AE=BE+2CM,理由:如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90,ACD=BCE在ACD和BCE中,ACDBCE(SAS),AD=BE,ADC=BECDCE为等腰直角三角形,CDE=CED=45,点A、D、E在同一直线上,ADC=135BEC=135,AEB=BECCED=90CD=CE,CMDE,DM=MEDCE=90,DM=ME=CM,AE=AD+DE=BE+2CM12、在等腰直角三角形ABC中,BAC=90,AB=AC,直线MN过点A且MNBC,过点B为一锐角顶点作RtBDE,BDE=90,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:BD=DP(无需写证明过程)(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明题干引论:证明:如答图1,过点D作DFMN,交AB于点F,则ADF为等腰直角三角形,DA=DF1+FDP=90,FDP+2=90,1=2在BDF与PDA中,BDFPDA(ASA)BD=DP(1)答:BD=DP成立证明:如答图2,过点D作DFMN,交AB的延长线于点F,则ADF为等腰直角三角形,DA=DF1+ADB=90,ADB+2=90,1=2在BDF与PDA中,BDFPDA(ASA)BD=DP(2)答:BD=DP证明:如答图3,过点D作DFMN,交AB的延长线于点F,则ADF为等腰直角三角形,DA=DF在BDF与PDA中,BDFPDA(ASA)BD=DP13、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放,其中ACB=DEB=90,A=D=30,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F(1)求证:AF+EF=DE;(2)若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角,且060,其它条件不变,请在图中画出变换后的图形,并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立;(3)若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角,且60180,其它条件不变,如图你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由(1)证明:连接BF(如图),ABCDBE(已知),BC=BE,AC=DEACB=DEB=90,BCF=BEF=90BF=BF,RtBFCRtBFECF=EF又AF+CF=AC,AF+EF=DE(2)解:画出正确图形如图(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立;(3)不成立证明:连接BF,ABCDBE,BC=BE,ACB=DEB=90,BCF和BEF是直角三角形,在RtBCF和RtBEF中,BCFBEF(HL),CF=EF;ABCDBE,AC=DE,AF=AC+FC=DE+EF 14、已知:1=2,CD=DE,EF/AB,求证:EF=AC过C作CGEF交AD的延长线于点GCGEF,可得,EFDCGD; DEDC; FDEGDC(对顶角) EFDCGD EFCG CGDEFD又,EFAB ,EFD11=2CGD2 AGC为等腰三角形,ACCG 又 EFCGEFAC15、已知:AD平分BAC,AC=AB+BD,求证:B=2CA证明:延长AB取点E,使AEAC,连接DEAD平分BAC EADCAD AEAC,ADADAEDACD (SAS) ECACAB+BD AEAB+BDAEAB+BE BDBE BDEEABCE+BDE ABC2EABC2C 16、已知ABC=3C,1=2,BEAE,求证:AC-AB=2BE证明:在AC上取一点D,使得角DBC=角CABC=3CABD=ABC-DBC=3C-C=2C;ADB=C+DBC=2C; AB=ADAC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,AE垂直BD BEAE点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD点E也是BD的中点BD=2BE BD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17、如图:BEAC,CFAB,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AMAN。证明:(1)BEAC,CFABABM+BAC=90,ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC,CN=AB ABMNAC AM=AN(2) ABMNAC BAM=N N+BAN=90 BAM+BAN=90 即MAN=90 AMAN18、如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,BD平分ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。证明:延长BA,CE交于点F,在BEF和BEC中,1=2,BE=BE,BEF=BEC=90,BEFBEC,EF=EC,从而CF=2CE。又1+F=3+F=90,故1=3。在ABD和ACF中,1=3,AB=AC,BAD=CAF=90,ABDACF,BD=CF,BD=2CE。19、ABC中,BAC=60,C=40,AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ。(方法一)证明:如图(1),过O作ODBC交AB于D,ADO=ABC=1806040=80,又AQO=C+QBC=80,ADO=AQO,又DAO=QAO,OA=AO,ADOAQO,OD=OQ,AD=AQ,又ODBP,PBO=DOB,又PBO=DBO,DBO=DOB,BD=OD,又BPA=C+PAC=70,BOP=OBA+BAO=70,BOP=BPO,BP=OB,AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。(方法二)如图(2),过O作ODBC交AC于D,则ADOABO从而得以解决。(方法五)如图(5),过P作PDBQ交AC于D,则ABPADP从而得以解决。20、如图,四边形ABCD中,ADBC,DCB=45,BDCD过点C作CEAB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF求证:CF=AB+AF证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH,BDCD,BECE,EBF+EFB=90,DFC+DCF=90,EFB=DFC,EBF=DCF,DB=CD,BA=CH,ABDHCD,AD=DH,ADB=HDC,ADBC,ADB=DBC=45,HDC=45,HDB=BDCHDC=45,ADB=HDB,AD=HD,DF=DF,ADFHDF,AF=HF,CF=CH+HF=AB+AF,CF=AB+AF21、如图,在四边形ABCD中,ADBC,A90,ABAD,DECD交AB于E,DF平分CDE交BC于F,连接EF证明:CFEF解:过D作DGBC于G由已知可得四边形ABGD为正方形,DEDC ADE+EDG=90=GDC+EDG,ADE=GDC又A=DGC且AD=GD,ADEGDC,DE=DC且AE=GC在EDF和CDF中EDF=CDF,DE=DC,DF为公共边,EDFCDF,EF=CF22、已知:在ABC中,A=900,AB=AC,D是AC的中点,AEBD,AE延长线交BC于F,求证:ADB=FDC。 证明:过点C作CGCA交AF延长线于GG+GAC=90又AEBDBDA+GAC=90综合,G=BDA在BDA与AGC中,G=BDABAD=ACG=90 BA=CABDAAGCDA=GCD是AC中点,DA=CDGC=CD由1=45,ACG=90,故2=45=1在GCF与DCF中, GC=CD2=45=1 CF=CFGCFDCF G=FDC,又G=BDAADB=FDC23、如图,ABC是等边三角形,BDC是顶角BDC=120的等腰三角形,以D为顶点作一个60角NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并加以证明证明:BM+CN=NM延长AC至E,使CE=BM,连接DE,BDC是顶角BDC=120的等腰三角形,ABC是等边三角形,BCD=30,ABD=ACD=90,DB=DC,CE=BM,DCEBMD,MDN=NDE=60DM=DE(上面已经全等)DN=ND(公共边)DMNDENBM+CN=NM24、如图,已知点D为等腰直角ABC内一点,CAD=CBD=15E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;证明:AC=BC,ACB=90CAB=ABC=45CAD=CBD=15,BAD=ABD=30AD=BD在DE上截取DM=DC,连接CM,AD=BD,AC=BC,DC=DC,ACDBCDACD=BCD=45CAD=15,EDC=60DM=DC,CMD是等边三角形CDA=CME=120CE=CA,E=CADCADCEMME=ADDA+DC=ME+MD=DE即AD+CD=DE25、如图,已知P为AOB的平分线OP上一点,PCOA于C,PA=PB,求证AO+BO=2CO 证明:过点P作PQOB于Q,则PQB=90OP平分AOB,且PCOA,PQOBPC=PQ在RtPOC与RtPOQ中,PC=PQPO=PORtPOCRtPOQ(HL)OC=OQ2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在RtPCA与RtPQB中,PC=PQPA=PBRtPCARtPQB(HL)CA=QB又2OC=OC+OB+BQ2OC=OC+OB+CA=OA+OB26、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PFAP,CF平分DCE求证:PAPF 27、ABC中,ABC45,AHBC于点H,将AHC绕点H逆时针旋转90后,点C的对应点为点D,直线BD与直线AC交于点E,连接EH如图1,当BAC为锐角时,求证:BEAC; 求BEH的度数;(1)证明:AHBC于点H,ABC45,ABH为等腰直角三角形,AHBH,BAH45,AHC绕点H逆时针旋转90得BHD,BHDAHC,121分1C90,2C90,BEC90,即BEAC2分如图12,过点H作HFHE交BE于F点,FHE90,即4590又35AHB90,34在AHE和BHF中,图12AHEBHF,3分EHFHFHE90,FHE是等腰直角三角形,BEH454分 28、 (1)如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,ABC=80,A+C=180,点M是AD边上一点,把射线BM绕点B顺时针旋转40,与CD边交于点N,请你补全图形,求MN,AM,CN的数量关系;图1图2(2)如图2,在菱形ABCD中,点M是AD边上任意一点,把射线BM绕点B顺时针旋,与CD边交于点N,连结MN,请你补全图形并画出辅助线,直接写出AM,CN,MN的数量关系是;解:(1)1延长DA到点E,使AE=CN,连接BEBAD+C=180EAB=C又AB=BC,AE=CN,ABECBNEBA=CBN,BE=BN2EBN=ABCABC=80,MBN=40,EBM=NBM=40BM=BM,EBMNBMEM=NM3MN=AM+CN4(2)5MNAM+CN629、在ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为,且,连接AD、BD(1)如图1,当BAC=100,时,CBD 的大小为_;(2)如图2,当BAC=100,时,求CBD的大小;解:(1)30; 1分 (2)如图作等边AFC,连结DF、BFAF=FC=AC, FAC=AFC=60.BAC=100,AB=AC,ABC=BCA =40.ACD=20,DCB=20.DCB=FCB=20. AC=CD,AC=FC,DC=FC. BC=BC,由,得 DCBFCB,DB=BF, DBC=FBC.BAC=100, FAC=60,BAF=40.ACD=20,AC=CD,CAD=80.DAF=20.BAD=FAD=20. AB=AC, AC=AF,AB= AF. AD= AD,由,得 DABDAF.FD= BD.FD= BD=FB.DBF=60.CBD=30. 4分30、已知:如图,中,(1)请你以MN为一边,在MN的同侧构造一个与全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题: 如图,在四边形ABCD中,ACB=CAD=180,B=D, 求证:CD=AB解:(1)过点N在MN的同侧作MNR =QMN,在NR上截取NP=MQ,连结MP即为所求 (2)证明:延长BC到点E,使CE=AD,连结AE, 又AD = CE,AC = CA, D=E,CD=AE B=D ,B=EAE =AB CD=AB 31、在等腰三角形ABC中, AC=BC,点P为BC边上一点(不与B、C重合),连接PA,以P为旋转中心,将线段PA顺时针旋转,旋转角与C相等,得到线段PD,连接DB(1)当C=90时,请你在图1中补全图形,并直接写出DBA的度数;(2)如图2,若C=,求DBA的度数(用含的代数式表示);(1)如图,补全图1 DBA= (2)过点P作PEAC交AB于点E AC=BC, 又, , ,= . 32、如图,等边ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB,AC边上,且EDF=120.(1)直接写出DE与DF的数量关系;(2)若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出思路,画出图形,直接给出结果即可)(3)思考:AE+AF的长是否为定值?如果是,请求出该值,如果不是,请说明理由.解:(1)相等. (2)思路:延长FD至G,使得GD=DF,连接GE,GB.证明FCDGBD,GED为等边三角形,GED为所求三角形.最大角为GBE=120. (3)过D作DM,DN分别垂直AB,AC于M,N.DMB=DNC=DMA=DNA=90.又DB=DC,B=C,DBMDCN.DM=DN.A=60,EDF=120,AED+AFD=180.MED=AFD.DEMDFN.ME=NF.AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN=. 33、在等腰ABC中,(1) 如图1,若ABC为等边三角形,D为线段BC中点,线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE,连接DE,则BDE的度数为_;(2) 若ABC为等边三角形,点D为线段BC上一动点(不与B,C重合),连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60得到线段DE,连接BE.根据题意在图2中补全图形;小玉通过观察、验证,提出猜测:在点D运动的过程中,恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论,形成了几种证明的思路:思路1:要证明CD=BE,只需要连接AE,并证明ADCAEB;思路2:要证明CD=BE,只需要过点D作DFAB,交AC于F,证明ADFDEB;思路3:要证明CD=BE,只需要延长CB至点G,使得BG=CD,证明ADCDEG;请参考以上思路,帮助小玉证明CD=BE.(只需要用一种方法证明即可)解:(1)30; (2)思路1:如图,连接AE. 思路2:过点D作DFAB,交AC于F.思路3:延长CB至G,使BG=CD. 34、在ABC中,AB=BC,B=90,点D为直线BC上一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90,使点A旋转到点E,连结EC.(1)如果点D在线段BC上运动,如图1:依题意补全图1;求证:BAD=EDC通过观察、实验,小明得出结论:在点D运动的过程中,总有DCE=135.小明与同学讨论后,形成了证明这个结论的几种想法:想法一:在AB上取一点F,使得BF=BD,要证DCE =135,只需证ADFDEC.想法二:以点D为圆心,DC为半径画弧交AC于点F. 要证DCE=135,只需证AFDECD.想法三:过点E作BC所在直线的垂线段EF,要证DCE=135,只需证EF=CF.请你参考上面的想法,证明DCE=135.(2)如果点D在线段CB的延长线上运动,利用图2画图分析,DCE的度数还是确定的值吗?如果是,直接写出DCE的度数;如果不是,说明你的理由.(1)补全图形 (2)证明:B=90 BAD+BDA=90 ADE=90,点D在线段BC上 BAD+EDC=90 BAD=EDC 证法1:在AB上取点F,使得BF=BD,连结DF BF=BD,B=90 BFD=45 AFD=135 BA=BC AF=CD 在ADF和DEC中 ADFDEC DCE=AFD=135 证法2:以D为圆心,DC为半径作弧交AC于点F,连结DF DC=DF DFC=DCF AB=BC B=90 ACB=45 DFC=45 FDC=90 AFD=135 ADE=FDC=90 ADF=EDC 又AD=DE DF=DC ADFCDE AFD=DCE=135 证法3:过点E作EFBC交BC延长线于点F EFD=90 B=90, EFD=B BAD=CDE,AD=DE ABDDEF AB=DF BD=EF AB=BC BC=DF,BC-DC=DF-DC 即BD=CF EF=CF EFC=90 ECF=45,DCE=135 (2) DCE=45 35、在ABC中,AB=AC,A=60,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE绕点D顺时针旋转120,与直线AC交于点F(1)依题意将图1补全;(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF; 想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由BAC与EDF互补,可得AED与AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高
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