百万美元街头投篮大奖赛.doc

北美NBA赛场如火如荼，而与之配套宣传的飞利浦百万美元投篮大赛亦与此同时吸引着全球球迷的眼球。如今，这类由球迷参与的娱乐节目越来越多。投篮大赛最早可以追溯到20世纪80年代，当时的美国大陆篮球协会（Continental Basketball Association）为提高观众对比赛的兴趣，特意精心安排组织了一项球迷投篮比赛，且获得最后胜利的一位球迷选手可得到高达百万美元的奖金，称之为CBA百万美元街头投篮大奖赛，该项比赛由每个地区组织自己当地的比赛，并选出地区代表参加最后的总决赛。总决赛只有一场，获胜者也只有一名，可以获得奖金一百万美元。最后总决赛的规则如下： 一、所有参加选手抽签决定出场次序； 二、 每位选手出场时，可以选择场地内任何一个位置投篮，不管投进与否，只允许投篮一次； 三、所有选手投篮完毕后，命中的选手中投篮距离最远的一位获得最后的胜利；四、如果所有选手都没有命中，采用突然死亡法，即按照原来抽签的次序开始投篮，第一个投中的选手立刻获胜。比赛的规则是由美国大陆篮球协会制定的，他们注重的是吸引观众和比赛进行的现实性。不过，从数学家的角度来看，比赛规则似乎不够公平。比赛的结果是由上述规则三和规则四来决定的，当然主要是看规则三，很明显，后面投篮的选手比前面的选手有优势。尤其是最后一名选手，他只要看看在他投篮前的最远命中距离是多少，然后选择比那个距离远一点点，哪怕是1厘米，如果他能投中就获胜了，这显然比起前面那个最远距离命中的选手来说占了优势。对于规则四，发生的概率微乎其微，因为如果前面的选手为了要获胜选择较远距离投篮然而都失败了（这种可能性是存在的），但是到了最后一位选手，他可以随便选择一个地点投篮，只要投中就可以获胜了。如果发生这种情况，即使最后一名投篮者是笔者，恐怕也可以获得百万美元的奖金了，何况他们都是各自地区里面的获胜者。作为选手，他们的目的当然是赢得最后的百万美元。在抽签结果出来后，每位选手将采取怎样的策略来最大可能地获取胜利呢？在我们对这种比赛进行细致分析之前，先来看看以往某次比赛的结果：1985年2月11日，在佛罗里达州坦帕市（Tampa,Florida）举行了一场百万美元CBA街头投篮大奖赛，当时共有14位各个地区的代表参加了比赛。下面的表格描述了抽签后各选手一次投篮的情况。表1 1985年CBA百万美元街头投篮大奖赛赛况抽签后选手次序投篮距离（英尺）命中情况123456142424+2828+3232+命中失败命中失败命中全部失败最终获胜的是抽签后为第5位的选手，我们看到除了第一位以外，每位选手都根据当时赛场上的结果选择自己的投篮距离（这里的24+表示比24多一点距离）。很明显，规则三在一定程度上左右了比赛的结果，体育画报和联赛出版物也各自论述了后面的选手比起前面的选手有优势，因为他们可以根据前面比赛进行的情况随时调整自己的策略。那么究竟后面的选手比起前面来有多大的优势呢，或者抽签的次序对于比赛的结果影响有多大呢？下面我们在一定的假设下来回答这个问题，并且给出读者最关心的问题：每位选手应该选择在什么地方投篮才能使自己最后获胜的可能性最大。一、 合理假设我们首先假设规则四所描述的情况不可能发生，即在第一轮至少会有一个选手投篮命中，因为所有选手在第一轮中都失败的概率实在是太小了。另一方面，即使大家在第一轮中都失败了，那么从第二轮开始，每位选手的最佳投篮策略肯定就是选择在自己投篮命中率最高的位置上进行投篮，直到出现第一位投篮命中的选手为止，这里已不再存在悬念了。一个重要而实际的假设就是所有的选手投篮水平都一样。由于每位选手都是各个地区的代表，他们都有一定的投篮水平，但一般都不知道其他选手的水平如何，他们在各自地区的初赛中获得了胜利，在一定程度上说明了他们的水平都不错。为了方便对题目的讨论，这样的假设是很合理也很重要的。接下来的假设是针对规则三来考虑的。每位选手在确定自己投篮的位置时，一般都会参考当前投篮命中的最远距离（第一位例外），而且他很有可能会选择在该最远命中距离稍远一点的地方来投篮，一般远的越少它的命中率也就越高。为了避免由于不存在最小的正实数所引起的麻烦，我们给比赛增加一条规则：如果有两位选手在投篮中的命中距离相等，则出场次序在后的选手获胜。进一步我们假设每位选手在比赛中都能发挥自己的正常水平，不会受到其他因素包括天时、地利、人和等等的影响。将选手投篮的水平用概率来描述，我们设其为连续的概率函数，表明某位选手在距离为d的地点投篮失败的概率。这里我们选择了投篮失败的概率而不是投篮命中的概率是考虑到如下的假设：距离越远，命中概率越小，也就是越大，这样我们就可以假设为严格单调递增函数。读者可能会想到，在实际的篮球场中，距离为d的点不止一个，确切地说是一段圆弧，一般说来，每个距离为d的点投篮失败的概率不一定都一样，也就是说并不是一个单值函数，或者说不符合函数的定义。我们需要对做个补充，根据比赛的规则，胜负只根据距离决定而与具体位置无关。这样，选手在距离相同的情况下，会选择最有利的位置投篮，故我们可以假设为所有距离为d的点中失败概率最小的一点，这样，概率函数就有了确切的定义，最后，根据前面的假设我们知道所有选手的都是一样的。上面分析的函数是一个严格单调递增函数，距离d和投篮失败的概率一一对应，我们可以很方便地转换距离的概念，将概率函数代替篮球场上实际测量的距离。比如距离为0.5的点表示篮球场上选手投篮失败概率为0.5的那个地点，我们也无须知道到底多大的d值会使得=0.5；距离为1的点表示篮球场上选手投篮肯定失败的那个地点，也就是的时候。这样我们将篮球场上每一个到篮框的距离用0到1之间的一个具体数值来标记而无须涉及实际距离，选手在选择投篮地点时也就是从0到1之间的实数来选择，如图1。现在设共有n位选手参加最后的总决赛，为了方便讨论，我们以抽签完后的次序为他们编号，分别记为选手1，2，n，选手k在所有n位选手中第k个出场。我们引进两组有用的函数记号和,具体的定义如下：表示当前已有k-1位选手投篮完毕且最远命中距离为r，并假设所有在选手k之后的投篮者都会选择他们各自的最优投篮距离的前提下，选手k应该选择的最优投篮距离。也就是我们要着重讨论的每位选手的最优投篮决策。等于当前已有k-1位选手投篮完毕且最远命中距离为r，并假设所有在选手k之后的投篮者都会选择他们各自的最优投篮距离的前提下，选手k在最优投篮距离下投篮，其能赢得最后胜利的概率。二、 问题分析我们来具体分析一下选手k的最优投篮距离，设在选手k-1投篮完毕后的最远命中距离为r，要使得选手k能够获得最后的胜利，如果他选择投篮距离为s的点进行投篮，那么它必须在距离s（）命中，而且他之后所有的选手都在各自的最优投篮距离失败，即选手k+1在距离，选手k+2在距离失败，选手n在距离失败，所以我们得出选手k选择在距离s投篮后最后获胜的概率为：， （1）选手k的最优投篮距离应当是使得（1）是取到最大值的那个s，且有 （2）有了上面两个重要的公式，我们就可以具体分析每位选手的最优投篮距离了，先从最后一位选手n开始。选手n的最优投篮距离是明显的，它就是在前面选手的最远命中距离r进行投篮，如果在他之前所有选手都没命中，那么取r=0，所以有： （3）接着考虑选手n-1，如果，的最大值在时取到，即选手n-1的最优投篮距离为；如果，由于在区间内为严格单调递减函数，故此时最大值在s=r时取到，即选手n-1的最优投篮距离为r，所以有： （4）接着考虑选手n-2，下面考察什么时候，能达到最大值。当时，为常数，且为严格单调递增函数，所以的最大值必然在时出现，于是=。通过简单的微积分计算可知在区间内严格单调递增，在区间内严格单调递减。考虑到，所以有： （5）如果我们把写作，根据上面的三个式子（3），（4）和（5），很容易猜想有：， （6）三、 证明猜想下面我们就来证明上面的猜想（6）。的表达式与正整数k有关，这提醒了我们可以采用数学归纳法来证明，不过和一般归纳法有所不同，这个对于正整数k的归纳法应从大到小进行，（3），（4）和（5）证明了（6）的初始情况，现在假设（6）在n,n-1,n-2,k+1时候成立，我们来证明。根据上面的归纳假设，并且由（2）我们得到，而是使上式取到最大值的s。下面考察函数当时，为常数，剩下部分的最大值在时取到，所以我们只须考虑时的情况。当时，为常数，剩下部分的最大值在时取到，同样我们只需考虑时的情况。当时，为常数，剩下部分的最大值在时取到，所以我们只须考虑时的情况。当时，=，其最大值在时取到。另外当时，为严格递减函数。考虑到，当时，最大值在时取到；当时，最大值在s=r渠道。最终我们得到猜想（6）证明完毕。下面两组函数图像（图2和图3）有助于大家对（6）证明过程的理解。四、 实例分析为了帮助大家对每位选手最优投篮决策的理解，也就是每位选手如何选择自己的最优投篮距离，现在我们通过一个有14位选手参加的实例，来看看最后的总决赛。根据，即选手1选择距离为的地方（也就是他投篮失败概率为的地方），如果选手1命中，此时，所以以后出场的每位选手都将在当前的最远距离r这个地方投篮，也就是所有选手都会选择距离为，比赛的结果是最后一位在距离为的点投篮命中的选手获胜。如果选手1失败，那么选手2将在距离为的地方投篮。如果选手2命中，后面的选手都在距离为的地方投篮，如果选手2也失败，选手3将在距离为的地方投篮，以此类推。总之，只要前面有人命中，后面的选手都将会选择那个命中的距离投篮。如果前面的人都失败，那么选手k的最优投篮距离为。无论那种情况，比赛的结果总是最后一个投篮命中的选手获得百万美元。每位选手的投篮决策是解决了，可不要忘了前面我们还提过的我们当然很关心每位选手在自己的最优决策下获胜的概率，下面就来具体计算一下。记P(k)为最优决策之下选手k获胜的概率，从对上面的投篮过程的情况分析可以知道，选手k获胜可以具体分为两种情况：1。k以前的某位选手首次命中，k也在该距离命中且k以后的选手都在该距离失败。2。k是首位命中的且k以后的选手都在那个距离失败。所以有首位投篮命中）P（k在和j同一距离命中）P（k以后的选手都失败）+P（k首位投篮命中）P（k以后的选手都失败）。由于P（j首位投篮命中）=P（1在距离失败）P（j-1在距离失败）P（j在距离成功）=，于是 （7）上式中当k=n时，我们规定。（7）无法再简化，我们就14位选手参加的实例来看一下各自获胜的概率，结果如下表： 表2 14位选手参加决赛的最后获胜概率选手获胜概率选手获胜概率12345670.0270.0290.0320.0350.0380.0430.0488910111213140.0540.0620.0720.0850.1050.1380.232从上表可以明显看出，后面的选手较前面的选手优势很大。在选手实力一致的情况下，抽签次序似乎是决定最后获胜概率的唯一重要因素。那么是不是肯定有，即后面的选手肯定比前面的选手有优势呢？我们来比较一下：，由再由函数在区间上严格单调递减性可知，我们立即可以得到，证实了后面选手的优势性。我们再来看看P（n）和P（1），探讨一下抽签次序所能影响到的选手们获胜概率的最大差异。，如果把看作是平均概率的话，那么对于，当时，；而对于，当时，。这说明了如果选手足够多的话，最后一位选手所占的次序优势是特别明显的。并且当时，最后一位选手获胜的概率比起第一位选手竟是无穷大倍，即。这可是任何投篮水平上的差异不能赶得上的。上面的分析足以说明一个问题，虽然我们已开始作了选手水平没有差异的假设，但是从最后的分析来看，抽签的次序远比选手的水平对结果的影响来得大。五、 后记 看上去我们的问题已解决得相当好，有了对每位选手的最优投