8.2 椭圆的简单几何性质.doc

哈尔滨市第一中学2008级高二教学设计学案 第八章第2节 椭圆的简单几何性质第2节 椭圆的简单几何性质撰写：刘一博 审核：冬焱三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法2理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题二、重点与难点教学重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质三、本节知识理解1.学法点拨椭圆定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e0)(0)参数方程范围axa，bybaxa，byb中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)对称轴X轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bX轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （其中c=）2c （其中c=）离心率准线x=x=焦半径通径精题精讲例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程 所以，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是， 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：01234543.93.73.22.40 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。（1）（2）答：简图如下：例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。（1）（2）答：简图如下： 例4写出下列椭圆的准线方程：（1） (2) 解：方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆所以此椭圆的准线方程为 方程是焦点在轴上且，的椭圆所以此椭圆的准线方程为 例5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆过(3，0)点，离心率e=。（2）过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点。（3）长轴长与短轴长之和为10，焦距为。（4）中心在原点，离心率为，准线方程为。（5）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是。【解】 当椭圆的焦点在x轴上时，a=3,=,c=.从而b2=a2c2=96=3,椭圆的方程为=1.当椭圆的焦点在y轴上时，b=3,=,=,a2=27.椭圆的方程为=1.所求椭圆的方程为=1或=1.例6求满足下列条件的椭圆的离心率.（1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍.（2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.（3）设为椭圆的两个焦点，以为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M，若直线与圆相切.（4）若分别为椭圆的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且.例7已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MAMO,求椭圆离心率的取值范围例8椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20812例9设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，求证：例10椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得，解得，从而有 所求椭圆方程为 例11已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程.例12已知是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点.（1） 若，求的面积；（2） 若为钝角，求点P横坐标的取值范围.例13已知椭圆内一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，（1）求点M坐标，使最小；（2）求点M坐标，使最大.解：A(,0)，设M点的坐标为（），由MAMO得化简得 所以 例14把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程(1) (2).解：(1) (2) 例15已知椭圆上的点P(),求的取值范围.解：例16已知直线l与椭圆相交于A、B两点，弦AB中点坐标（1，1），求及直线l的方程。例17已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；（3） 求过点，且被平分的弦所在的直线方程.例18已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程.例19已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线被椭圆截得的弦AB的长为，且AB的中点C与椭圆中心的连线的斜率为，求这个椭圆的方程.例20已知椭圆上有两个不同点关于直线对称，求m的取值范围.基础达标1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（ ）A.(1,0)、(1,0)B.(6,0)、(6,0)C.(，0)、(,0)D.(0,)、(0,)【答案】 D2.已知点（m，n）在椭圆8x2+3y2=24上，则2m+4的取值范围是（ ）A.4-2,4+2 B.4-,4+C.4-2,4+2 D.4-,4+【解析】由8x2+3y2=24得=1.-m,4-22m+44+2.【答案】 A3.椭圆25x2+9y2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6【解析】把椭圆的方程写成标准方程：=1，知a=5，b=3，c=4.2a=10，2b=6，=0.8.【答案】B4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的设心率是（ ）A. B. C. D.【解析】椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，a=2c，=.【答案】D5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等，则（ ）A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9【解析】 椭圆+=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆+=1的短轴长为6，a2=25,b2=9.【答案】 D6.已知椭圆C：+=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C的方程可能是（ ）A.+=m2(m0)B.+=1C. +=1D.以上都不可能【解析】 把方程+=m2写成+=1,则a2=8m2,b2=4m2,c2=4m2,=,e=,而椭圆+=1的离心率为.【答案】 A7.椭圆1（ab0）的准线方程是（ ）A.y.y.y.x【解析】 椭圆焦点在y轴上，且c=椭圆的准线方程为y=.【答案】 8.若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是（ ）A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点C.不是椭圆的端点 D.以上都不对【答案】B9.已知椭圆=1(ab0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 由=,=，得a2=16,b4=4.【答案】 D10.两对称轴都与坐标轴重合，离心率e=0.8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是（ ）A.=1或=1B.=1或=1C.+=1D.=1【解】 设所求椭圆的方程为=1(ab0)或=1(ab0).由题意，得解这个方程组，得.所求椭圆的方程为：=1或=1.【答案】 A11.已知椭圆=1(ab0)的左焦点到右准线的距离为,中心到准线的距离为，则椭圆的方程为（ ）A.+y2=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】 由(c)=,=得a2=4,b2=1.【答案】 A12.椭圆=的离心率为（ ）A.B.C.D.无法确定【解析】 由=知e=.【答案】 B椭圆上一点的坐标可设为(acos,bsin).【答案】 A13.设O是椭圆的中心，P是椭圆上对应于=的点，那么直线OP的斜率为（ ）A.B.C.D.【解析】 当=时，kOP=.【答案】 D14.点（2，3）对应曲线(为参数)中参数的值为（ ）A.k+(kZ)B.k+(kZ)C.2k+(kZ)D.2k+(kZ)【解析】 由得，=2k+ (kZ).【答案】 D15.曲线(为参数)的准线方程为（ ）A.x=B.y=C.x=D.y=【答案】 A综合发展1.椭圆1与1（0k）的关系为（ ）A.有相等的长、短轴.有相等的焦距.有相同的焦点.有相同的准线【解析】 25k（k）16，焦距相等.【答案】 2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）A.=1或=1B.=1或=1C.1或=1D.椭圆的方程无法确定【解析】 由题意，a=5,c=3,b2=a2c2=259=16,椭圆的标准方程为1或=1.【答案】 C3.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D. =1【解析】 2a=18,2c=2a=6,a=9,c=3,b2=819=72.【答案】 A4.已知点（3，2）在椭圆=1上，则（ ）A.点（3，2）不在椭圆上B.点（3，2）不在椭圆上C.点（3，2）在椭圆上D.无法判断点（3，2）、（3，2）、（3，2）是否在椭圆上【解析】 点（3，2）在椭圆=1上，=1,=1.即点(3,2)在椭圆=1上.【答案】 C5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）A.=1 B.=1C. =1或=1 D.=1或=1【解析】由cosOFA=，知A是短轴的端点.长轴长是26，|FA|=13即a=13.=，c=5，b2=132-52=122=144.椭圆的方程为=1或=1.【答案】D6.曲线=xy（ ）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对【解析】同时以-x代x，以-y代y，方程不变，所以曲线关于原点对称.【答案】C7.求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率.【解】 把已知方程化成标准方程：+x2=1，这里a=5,b=1,所以c=2.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，5)、A2(0，5)、B1(1，0)和B2(1，0).椭圆的离心率是8.AA是椭圆=1(ab0)的长轴，CD是垂直于长轴的弦，求直线AC和AD的交点P的轨迹方程.【解】 设P（x,y）,C(x0,y0),D(x0,y0)由A、C、P共线得：= 由D、A、P共线得：= 由联立求出代入=1中得+=1,整理得=1.9.椭圆=1(ab0)的焦点到准线的距离为（ ）A. B. C. 或 D. 【解析】焦点到准线的距离为-c或+c，即或.【答案】C10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【解析】 椭圆的两准线之间的距离为()=.由题意，得=42c,=.【答案】 D11.椭圆=1上点P到右焦点的最值为（ ）A.最大值为5，最小值为4B.最大值为10，最小值为8C.最大值为10，最小值为6D.最大值为9，最小值为1【解析】 e=,由焦半径公式得|PF2|=5x0,5x05,当x0=5时|PF2|min=1,当x0=5时，|PF2|max=9.【答案】 D12.椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）A.8,10 B.4,5 C.6,10 D.2,8【解析】由2a=10，2b=8，得a=5，b=4.【答案】B13.若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是（ ）A.40,160 B.0,100 C.40,100 D.80,100【解析】由题知2a=200，2b=160，a=100，b=80，c=60.椭圆上的点到焦点的距离范围是100-60,100+60，即40,160.【答案】A14.P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差是 .【解析】设P（x，y），则|PF1|PF2|=4-x2.|PF1|PF2|的最大值为4，最小值为3.【答案】115.椭圆(ab0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.【解】椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，a-c=2-.又e=，a=2.故b=1.椭圆的方程为+x2=1.16.已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是x+y4=0,离心率为，求椭圆的方程.【解】设P（x,y）为椭圆上任意一点，椭圆的一个焦点是F（1，1）与它相对应的准线是x+y4=0,离心率为,4(x1)2+4(y1)2=(x+y4)2.即3x2+3y22xy8=0为所求.17.已知点P在椭圆=1上（ab0),F1、F2为椭圆的两个