例说基底的应用.doc

例说基底的应用 摘要：向量的基底是中学数学中的一颗明珠；基底在共面向量，线线、线面垂直，夹角与距离等方面存在一定的通用性与优越性，成为立体几何中的得力工具，如同平面法向量一样璀璨。方法简单，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想象能力的不足，发挥代数运算的长处； 关键字：基底的概念；平行、垂直的证明与角、距离的求解的通用性与优越性。立体几何问题的研究、解决离不开计算，有时候成功与否都取决于计算。教材改革，向量的加入更体现了立体几何问题转化到代数化的加强，计算也不可避免，其中基底的转化突出了其代数化。但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实向量的基底是中学数学中的一颗明珠，如同平面法向量一样璀璨，是解立体几何题的锐利武器，开发向量基底的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角与距离及平行、垂直的难题，也能顺利解决高考中立体几何试题提供另一个解决的平台。一、基底的概念 空中任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，可见基底有无数个。根据空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使。只要适当选取已知三个不共面的向量（三个不共面的向量的模、夹角都知道）作为基底，题中任意向量都可找到一个唯一的有序实数组，用该基底来表示。可见基底在共面向量，线线、线面垂直，夹角与距离等方面存在一定的通用性与优越性，成为立体几何中的得力工具。 如：已知平行六面体中，AE=2EB，AF=FD，交平面于点G，求的值。 ABCDEFG 分析:若先分析点G的位置比较困难,用基底则可避之不谈。解：以为基底，设则 四点共面 二、 利用基底解决高考中立体几何试题 下面就高考热点垂直、平行、夹角、距离来加以阐述.（一） 垂直、平行 若且,则.所以要证线线垂直,有另一途径,只需证明两直线所在的向量的数量积为零,线面垂直就可转化到线线垂直.若,则例1：如图，已知，且SA=SB=SC=a,D为BC的中点，求证： 分析：本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线面垂直，可用传统的几何方法证明，也可利用基底证明。下面就出基底的证明。SABCD 解：以为基底，则 =0 例2：已知正三棱柱，D为AC的中点，求证： ABCDABC 分析: 要证，只需证与平面内的一条直线平行，但有时这条直线比较难找，不妨设直线为d，可找到 解：设，以为基底，则 假设，则 解得满足该方程组 （二）、角例3：如图，在正方体中，棱长为1，且，；（2） 分析：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难快而准的找到具体哪个角，有时还得作角，这又是一个难点，但我们可以用向量法避免这些问题。法向量固然可做，用基底也是另一种通法，也无须分析垂足点的位置，只要先求ABCDEFABCDH （1） 解：过E作，设，以作为基底，则 （2）根据三垂线法，先将平面角作出来，作，根据三垂线逆定理，。则，由（1）已知，（三）、距离例4：在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成角，求B、D间的距离。ABCDABCD解：适当选取为基底，则 =以上介绍了基底的概念及其应用，以此为工具，解决了立体几何的部分难题，利用基底解题，方法简单，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想象能力的不足，发挥代数运算的长处；深入开发它的解题功能，基底将在数学解题中起