微积分第七章 无穷级数.doc

第七章 无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。（2） 掌握几何级数与p级数的收敛性。（3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。（5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。（6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10） 掌握函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。（11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开成傅氏级数，会将定义在上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开7.1常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数收敛于和s，则级数也收敛，且其和为ks(证明) 性质2：若级数、分别收敛于和s、s，则级数也收敛，且其和为ss(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性(证明) 性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数收敛，则它的一般项un趋于零，即(证明)；一、 概念定义:设已给定数列, ,称形式加法+为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为, 即 =+, 其中称为一般项.将其前项的和: =+称为级数的前项的部分和,或简称部分和.注1: 由上我们便得到一个数列, ,从形式上不难知道 =,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当时,若部分和数列有极限,即 =,就称常数项级数收敛,且称为其和,并记为: =+ , 若数列没有极限,就称发散.注1: 当级数收敛时,其部分和又可看成为的近似值. 两者之差 =+ 称为级数的余项.用代替所产生的误差就是它的绝对值,即 .注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设为一数列,令=,=,=, , 则 这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.例1 讨论一个简单级数几何级数(等比级数):的敛散性.其中解: 我们先考虑其部分和: = 利用中学知识,得 = (时)(I) 当时,由于 =, 故几何级数收敛,且收敛于.(II) 当时,由于=不存在,故此时几何级数发散.(III) 当时,此时几何级数为: ,=()此时级数发散.(IV) 当时,级数为,=, 不存在.故此时级数发散. 综上所述,几何级数在时收敛,在时发散.例2 证明级数收敛.证: 首先,由于 = =+ = = = 原级数收敛,且收敛于.例3 证明调和级数发散.证: = =+ + =当时,.显然不存在. 故原级数发散.一、 性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即 收敛,则.证: 设收敛于. 即=. 注1: 若反之,则不一定成立.即, 原级数不一定收敛. 如调和级数发散,但.注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若,则原级数一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: +的部分和序列为 +的部分和序列为.则 , 由于为有限数,则为一个有限数.则 与同敛散. 若原级数收敛,则=. 则收敛. 即+收敛 若原级数发散,则不存在, 故也不存在. 则发散. 即+发散.性质3: 若级数收敛于,则它的各项都乘以一常数所得的级数收敛于.即=性质4: 若级数和分别收敛于和,则级数收敛于.注1: 称为级数与的和与差.注2: 若级数和之中有一个收敛,另一个发散,则发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: 是发散的, 但 是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.例4 判别级数的敛散性.解: 因级数与级数均收敛,由性质4可知=+ 收敛.7.2常数项级数的审敛法一、内容要点 正项级数及其审敛法： 1正项级数的概念； 2基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界(证明) 3比较审敛法：设和都是正项级数，且un vn (n = 1, 2, )若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散(证明)推论：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使当n N时有un kvn (k 0)成立，则级数收敛；如果级数发散，且当n N时有un kvn (k 0)成立，则级数发散 4比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数，(1) 如果，且级数收敛，则级数收敛； (2) 如果或，且级数发散，则级数发散(证明) 5比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设为正项级数，如果，则当r 1(或)时级数发散；r = 1时级数可能收敛也可能发散(证明)； 6根值审敛法(柯西判别法)：设为正项级数，如果，则当r 1(或)时级数发散；r = 1时级数可能收敛也可能发散(证明)； 7极限审敛法：设为正项级数，(1) 如果(或)，则级数发散； (2) 如果p1，而，则级数收敛(证明) 交错级数及其审敛法:1交错级数的概念：2莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件：(1) un un + 1 (n = 1, 2, 3, )； (2) 则级数收敛，且其和s u1，其余项rn的绝对值| rn | un + 1 (证明) 绝对收敛与条件收敛： 1. 绝对收敛与条件收敛的概念； 2. 定理：如果级数绝对收敛，则级数必定收敛(证明) 一、 教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设为一正项级数, 为其部分和.显然部分和序列是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理.定理: 正项级数收敛有界.证: “” 收敛收敛有界. “” 有界,又是一个单调上升数列存在收敛.定理1(比较审敛法) 设与是两个正项级数,且 .那么1) 如果收敛,则收敛.2) 如果发散,则发散. 证: 设和分别表示和的部分和,显然由(1) 收敛有界有界也收敛.(2) 发散无界无界也发散.推论: 设两个正项级数与,如果对于(为某一自然数)的,恒成立不等式(的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论.例1: 讨论-级数 的敛散性.其中常数.解 (1) 当时,因,而发散, =发散 (2) 当时,对于任意实数,总存在自然数,使得 ,因此, ,于是 = =.这表明有上界,又单调上升,故存在-级数 收敛. 综上所述,当时, -级数发散;当时-级数收敛.例2 若正项级数收敛,则 (1) 收敛, (2)收敛, (3)收敛.证: (1)由, 由于正项级数收敛,则由比较审敛法, 知收敛 (2), 由于正项级数收敛,收敛,则收敛, (3)由于收敛,则,则,当时,从而,则由比较审敛法,则收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数与,如果存在极限:(1) 当,则级数与同时收敛或同时发散.(2) 当时,如果收敛,则级数必收敛.(3) 当,如果发散,则必发散.证: 1)因,根据极限的定义,对于,必存在正整数,当时,恒成立不等式,即 由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.2) ,即,则存在,当时,得 ,由比较审敛法知,如果级数收敛,则级数必收敛.3) ,即,则存在,当时, ,得 ,比较审敛法知,当发散,则必发散.例3 证明收敛.证: 由,又 收敛,则由比较审敛法的极限形式 收敛定理2: (达朗贝尔DAlembert判别法) 设正项级数,如果极限,则1) 当时,级数收敛;2) 当或时,级数发散.3) 当时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.例4 证明收敛.证: , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.例5 讨论 ()的敛散性.解: 当时, 由比值审敛法知,原级数收敛. 当时, 由比值审敛法知,原级数发散. 当时,判别法失效.但此时原级数= 发散. 时,原级数收敛.;时,原级数发散.定理3: (Cauchy判别法) 设为正项级数,如果,则1) 当时,级数收敛;2) 当(或为)时,级数发散.3) 当时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy判别法为根值审敛法.例6 证明收敛.证: ,故由根值审敛法知,原级数收敛. 任意项级数的敛散性一、 交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:或,其中 定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数满足:1) , 2) 则级数收敛,其和,余项的绝对值.证: 先考察交错级数前项的和,并写成,或 根据条件(1)可知:是单调增加的,且,即有界,故 再考察级数的前项的和,显然,由条件(2),得最后,由于,得 ,即交错级数收敛于,且,其余项的绝对值仍为收敛得交错级数,所以 .例1 证明交错级数收敛.证: (1) , (2) .由上述定理知, 交错级数收敛.且其和.一、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数,其中()为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数收敛,就称绝对收敛;若收敛,但不收敛,就称为条件收敛.定理2: 若任意项级数绝对收敛,则收敛.证: 因,且级数收敛,由正项级数的比较判别法知,级数收敛,再由级数的性质4知级数 = 收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: 收敛,但为调和级数是发散的.例2 证明 =对都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明是收敛的.事实上,对, =.由比值判别法知, 是收敛的,所以 对都是绝对收敛的.例3 证明在时为条件收敛,而在时为绝对收敛.证: 首先,我们知道为一个莱布尼兹级数,且有当时,单调下降趋于零.故对,原级数总是收敛的. 其次,考虑其绝对值级数,也就是-级数.由上一节的例1的结果知,当时发散, 时收敛. 综上所述, 在时为条件收敛,而在时为绝对收敛.绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如=, 而 注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:其中.如果两个级数与都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛.且当,时, .若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.7.3幂级数一、内容要点函数项级数的概念： 函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数幂级数及其收敛性：1幂级数的概念； 2幂级数的收敛性： (1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数当x = x0(x0 0)时收敛，则适合不等式| x | | x0 |的一切x使这幂级数发散(证明) 推论：如果幂级数不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得 当| x | R时，幂级数发散；当x = R或x = -R时，幂级数可能收敛也可能发散 (2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念； (3) 幂级数的收敛半径的求法: 定理：如果，其中an、an + 1 是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 (证明).3幂级数的运算： 幂级数的加法、减法、乘法、除法； 4幂级数的和函数的性质：性质1：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续性质2：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质3：幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R , R)内可导，并有逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径二、 教学要求和注意点一、 函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数.设 , 是定义在区间I上的函数,序列,是一个函数列,对于I上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:, (1)简记为.称为定义在I上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如-级数,等等.对于I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:= (2)若级数(2)收敛,就称是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于,不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I中的每一点,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I上收敛.对于收敛域中的每一个点,函数项级数为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点的函数.记为.则=. 又称为和函数.若将其部分和函数记为, 则.同理,称为的余项.为代替时的误差.显然,也有 (为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式:(3) ,其中叫做幂级数的系数.显然,幂级数在上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在处总是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel定理) 设幂级数 = (3)若幂级数(3)在处收敛,则对于满足条件的一切,级数(3)绝对收敛.反之,若它在时发散,则对一切适合不等式的,级数(3)发散.证: 收敛 = , 对,有又 当时, 收敛. 收敛.绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设为任一收敛点,为任一发散点.则必有。若将收敛点处染成兰色,发散点处染成红色,显然兰点必集中在原点附近,R上其它点就是红点.这样,兰色与红色就必有一个分界点.从而有: 推论:如果幂级数(3)不是在上每一点都收敛,也不是只在处收敛,那么必存在一个唯一的正数R,使得:(1) 当时,幂级数(3)收敛;(2) 当时,幂级数(3)发散;(3) 当或,幂级数(3)可能收敛,也可能发散.可由此得幂级数(3)的收敛域是一个以原点为中点的区间,称为幂级数(3)的收敛区间.区间的半径为R,故R称为收敛半径.而收敛区间可能是开的,可能是闭的,也可能是半开半闭的.若幂级数(3)在上每一点都收敛,就规定R=;若幂级数(3)仅在处收敛,就规定R=.下面来求R.定理2: 设幂级数,其系数当时(为某一个正整数),且存在极限则 (1) 当时,收敛半径; (2) 当时,收敛半径; (3) 当时,收敛半径.证: 当时级数必收敛.下面考察的情形,对幂级数,各项取绝对值,组成级数= (5)对级数(5)直接用比值审敛法,得 .(1) 如果,则当,即 时,级数(5)收敛,从而级数收敛,即绝对收敛;当时,即时,从某一个n开始,有,因此,级数(5)的通项当时不趋于零.所以当时也不趋于零,从而级数发散.于是得收敛半径=.(2) 当时,则对任一,因此对任一(包括)级数(5)收敛,从而级数(3)绝对收敛,于是收敛半径.(3) 当,对一切及充分大的n,都有,此时, =,则当n趋向无穷大时幂级数(3)的一般项不趋于零,从而级数(3)也必发散,于是得.例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间.解: 收敛半径为. 又当时,收敛, 绝对收敛.收敛区间为例2 求的收敛半径及收敛区间.解: , 收敛区间为原点.例3 求的收敛区间.解: 观察幂级数的形式发现, 是缺项级数.那么就不能直接利用定理2求级数的收敛半径.方法一: 令,所给级数变为,收敛半径故级数当时收敛; 当时发散.当或时,级数分别为及,前者发散,后者收敛,因此的收敛域为.因,所以 当时,原级数收敛; 当时,原级数发散. 收敛区间为.方法二:对原级数直接用比值审敛法.当时,原级数收敛; 当时,原级数发散 收敛区间为.例4 求的收敛区间.解: 同上题,可用两种解法,方法一: 令,所给级数转化为收敛半径 .故级数 当当时收敛; 当时发散; 当或时,级数分别为和, 前者发散, 后者收敛. 故的收敛域为.又, 所以. 收敛区间为.方法二:直接用比值审敛法.这里就不详细的讲了,可参照本节例3的方法来解.三、幂级数的运算性质定理3:设幂级数和的收敛半径分别为和(均为正数) ,取,则在区间内成立:1) 加法与减法: =2) 乘法:.定理4: 设幂级数在内的和函数,则1) 在内连续.若幂级数在(或)也收敛,则在处左连续(或在处右连续).2) 在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式: 求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.3) 在内可以积分,且有逐项积分公式: ,其中是内任一点,积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径.注1: 若逐项求导或逐项积分后的幂级数在或处收敛,则或对或处也成立.注2: 反复应用结论2)可得:幂级数的和函数在收敛区间内具有任意阶导数.例5 证明.证: 不难知 .逐项从0到进行积分,得 = 上式右端级数对也收敛.由注1知,令上式成立.=例6 求的和函数以及收敛半径.解: 令=, =.显然 =. 现在对求积分:. 令, 又对求积:. 显然的和函数为,收敛半径为1,进而由性质2,3知的收敛半径也为1.下求和函数由=. 即为所求和函数.7.4函数展开成幂级数 一、内容要点泰勒级数(Taylor) 1泰勒级数和麦克劳林级数的概念；2定理：设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，即 (证明)函数展开成幂级数的方法：1直接展开法: 例1 (e x的展开)；例2 (sinx的展开)2间接展开法：例3 (ln(1+x)的展开)，例4 (cosx的展开) , 例5例9近似计算： 例1 例3；欧拉(Euler)公式： (1) 复数项级数的概念：复数项级数、复数项级数收敛与绝对收敛； (2) 欧拉(Euler)公式：eix = cosx + I sinx .二、 教学要求和注意点（略）说明1：这部分只强调应用，理论分析不必说得太多，多了反而容易产生不必要的问题。说明2：用幂级数运算求级数和、求解微分方程的题型可适当地多选些。一、泰勒(Tayler)级数以前我们学过一个函数的泰勒公式,具体是:如果在点的某一个邻域内具有直到n+1阶的导数,则有其n阶泰勒公式: =其中 为Lagrange型余项: ,介于与之间.换而言子,就是用代替时所产生的误差.如果随着n的增大,误差越来越小,则说明近似代替的效果越来越佳.特别地,若在的某一个邻域内具有各阶的导数, ,且其余项有,则有.即 从而 .=这时说明可以用来精确表示.反之,若可以用上面这个式子来精确表示,即有. 下面我们系统地